◇周衛(wèi)東

一節(jié)“準(zhǔn)、深、透、高”的數(shù)學(xué)課
——評(píng)張齊華老師“解決問題的策略——一一列舉”一課

◇周衛(wèi)東

聽齊華的課，是一種享受。能為他的課作些點(diǎn)評(píng)，是我樂意做的！

蘇教版教材從第二學(xué)段開始，每一冊(cè)都編排了“解決問題的策略”，目的是讓學(xué)生把解決問題的一些具體經(jīng)驗(yàn)上升為數(shù)學(xué)思考，不斷增強(qiáng)運(yùn)用策略解決問題的有效性和自覺性，進(jìn)一步提高解決問題的能力，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),滲透初步的數(shù)學(xué)思想,發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神。齊華關(guān)于 “解決問題的策略——一一列舉”一課的教學(xué)，正是在深刻洞悉教學(xué)內(nèi)容意蘊(yùn)的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)著符合自身教學(xué)追求和風(fēng)格的一種完美呈現(xiàn)。細(xì)細(xì)品味，這是一節(jié)“準(zhǔn)、深、透、高”的數(shù)學(xué)課。

一 準(zhǔn)，關(guān)注策略機(jī)理的形成過程

美國著名的數(shù)學(xué)教育家赫斯認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)的問題并不在于尋找最好的教學(xué)方式，而在于明白數(shù)學(xué)是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便永遠(yuǎn)解決不了教學(xué)上的爭議?！睌?shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)屬性。對(duì)策略的體驗(yàn)與理解,是學(xué)生形成解決問題策略的中心環(huán)節(jié)，亦是保底環(huán)節(jié)，必須讓學(xué)生充分經(jīng)歷策略機(jī)理的形成過程，在“理”上做足文章。在齊華的這節(jié)課中，一方面,重視讓學(xué)生探索相關(guān)解題策略的思考過程與操作步驟；另一方面，引導(dǎo)學(xué)生逐步把握相關(guān)策略的主要含義與基本特征，讓學(xué)生在充分經(jīng)歷應(yīng)用相關(guān)策略解決問題的探索過程中,獲得對(duì)解決問題策略的直觀感受,并形成初步的理性認(rèn)識(shí),逐步完成對(duì)策略的自主建構(gòu)。為幫助學(xué)生理解“一一列舉”的策略機(jī)理，首先，齊華安排學(xué)生進(jìn)行前置性研究，給予學(xué)生充裕的時(shí)間和空間進(jìn)行探索，以獲得充分的感性認(rèn)識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；然后在課堂上對(duì)“木條多余”“利用圍墻”“添加支架”等原生態(tài)錯(cuò)例進(jìn)行剖析，并加以提煉和升華，幫助學(xué)生建立起“吃透、吃準(zhǔn)有用信息是建構(gòu)策略的前提”的心理基礎(chǔ)，進(jìn)而通過算式、列表、畫圖等途徑，從計(jì)算周長的維度找到問題的答案；最后，再從計(jì)算面積的維度反證 “王大伯的任務(wù)不可能實(shí)現(xiàn)”的推想。三大環(huán)節(jié)正推反證，逐層推進(jìn)，形成了強(qiáng)大的“思維場”，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)策略機(jī)理的深度理解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的有效建構(gòu)。

二 深，關(guān)注數(shù)學(xué)思想的有機(jī)滲透

對(duì)“解決問題的策略”的教學(xué)，許多教師把教學(xué)目標(biāo)定位于引導(dǎo)學(xué)生“如何列舉”“如何畫圖”等具體方法，而忽視對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于 “體會(huì)策略的價(jià)值”“增強(qiáng)學(xué)生使用策略的意識(shí)”的教學(xué)建議和要求。其實(shí)，解決問題的策略不僅僅對(duì)應(yīng)的是某一種具體的方法，其背后蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。如，畫圖，蘊(yùn)涵數(shù)形結(jié)合的思想和具體畫圖的方法；倒推，蘊(yùn)涵過程或者運(yùn)算的可逆性思想以及相應(yīng)的互逆思想；替換，蘊(yùn)涵過程中不變量的思想和相對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系……

在齊華看來，方法、策略、思想是三個(gè)遞進(jìn)的層次，數(shù)學(xué)方法上升到一定的高度形成策略，數(shù)學(xué)策略的進(jìn)一步凝練形成了數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心元素。眼界決定境界，高度決定力度，因而，齊華的數(shù)學(xué)課總是因充滿著濃濃的“思想味”而煥發(fā)出無窮的張力。在本課中，圍繞“周長是22米”這一條件，讓學(xué)生對(duì)各種可能的方法進(jìn)行排序，突出“有序”“一一列舉”，滲透了分類思想；把各種周長等于22米的算式與相應(yīng)的圖形進(jìn)行匹配，讓學(xué)生感受一道算式對(duì)應(yīng)著一個(gè)長方形，滲透了對(duì)應(yīng)的思想；對(duì)各種可能的算式進(jìn)行排序后再進(jìn)行對(duì)比，得出“一個(gè)加數(shù)在依次增大，另一個(gè)加數(shù)在依次減小，而兩個(gè)加數(shù)的和是不變的”的結(jié)論，滲透了“變與不變”的思想；在第一個(gè)學(xué)生回答“如果長是7米、寬是4米，面積不等于20平方米，所以王大伯的愿望不可能實(shí)現(xiàn)”的結(jié)論后，引導(dǎo)學(xué)生萌發(fā)“你只舉了一個(gè)例子是不能說明問題的，因?yàn)橹荛L是22米的長方形有好幾種，萬一另外有一種長方形的面積正好是20平方米呢”的辯證思想，形成了初步的邏輯推理、科學(xué)歸納的啟蒙意識(shí)。

三 透，關(guān)注知識(shí)教學(xué)的隱性價(jià)值

齊華深知，每一種策略都具有戰(zhàn)略性的思想價(jià)值，也就是說，它背后有著更強(qiáng)大的現(xiàn)實(shí)意義和運(yùn)用意義。因而他倡導(dǎo)：學(xué)習(xí)每一種策略，都要力求揭示這種策略的價(jià)值和意義，不僅讓學(xué)生了解到運(yùn)用一些策略能夠解決一些典型的問題，而且力求找尋知識(shí)的“附加值”，尋找知識(shí)的隱性教學(xué)功能，帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)那種登高遠(yuǎn)眺、“一覽眾山小”的快感。

教材中的例題是：“王大叔用22根1米長的木條圍成一個(gè)長方形花圃，怎樣圍面積最大？”齊華把它改編成：“王大伯想用22根1米長的木條，圍一個(gè)面積是20平方米的長方形花圃。如果22根木條要全部用完，而且不能折斷，你覺得他能完成這一任務(wù)嗎？”文字變化似乎不大，但細(xì)細(xì)琢磨，深感意蘊(yùn)無窮。稍稍改動(dòng)，使例題有了較大的“增值”空間，為學(xué)生思維的自由馳騁、知識(shí)之間的溝通創(chuàng)造了更多的可能。原本的例題，只要在周長維度上實(shí)現(xiàn)列舉，就能找到面積最大的一種情況，而改編后的問題，不僅具有原來的功能，而且可以從面積的維度來反證列舉的各種可能；原本的例題，以直白的求解的姿態(tài)呈現(xiàn)，而改編后的問題，以“你覺得他能完成這一任務(wù)嗎”這種“判斷式”的方式呈現(xiàn)，又使思考、求解的路徑多了許多；原本的例題帶來的只有“周長一定，面積在變化”的規(guī)律，而改編后的例題，除此之外還多了“面積一定，周長在變化”的規(guī)律。

在練習(xí)階段，齊華精心設(shè)計(jì)了“兩枚硬幣同時(shí)拋起，落地后，會(huì)出現(xiàn)幾種不同的情況”這一問題，題目雖短卻掀起 “軒然大波”：究竟是正正、反反和一正一反3種情況，還是正正、反反、正反和反正4種情況呢？正反與反正是1種情況還是2種情況呢？再次“撩”起學(xué)生的興趣和探求欲，并進(jìn)而在實(shí)驗(yàn)操作中達(dá)成了共識(shí)：兩枚硬幣落下后，正反與反正不是一回事，而是兩回事。這樣的訓(xùn)練，使學(xué)生在鞏固應(yīng)用了“一一列舉”策略的同時(shí)，更為深刻地理解了在 “一一列舉”中可能涉及的概率問題。

這樣的設(shè)計(jì)，不是奔著理解某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或找到一種解決問題方法的單一目標(biāo) “匆匆而去”，而是具有“慢慢走，欣賞啊”的從容心態(tài)，有著更為宏觀的學(xué)科視野。

四 高，關(guān)注教學(xué)方式的根本改變

對(duì)于課堂教學(xué)狀況，數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾戲稱：“每一個(gè)人都在睡覺，僅有一個(gè)人在講，這種狀態(tài)就是教學(xué)?！蔽阌怪M言，當(dāng)前的數(shù)學(xué)課走進(jìn)了一個(gè)怪圈，要走出這個(gè)怪圈，需要勇氣，需要才氣，更需要底氣。這方面，齊華做到了：“齊華義無反顧地轉(zhuǎn)身了，如果他不轉(zhuǎn)，我們就欣賞不到今天這么精彩的課了。你看，齊華都把課堂還給學(xué)生了，我們還死死把控著課堂的每個(gè)環(huán)節(jié)，何苦呢？ ”[陳洪杰，《小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）》2016年第1期]

在這節(jié)課中，齊華“訥于言而敏于行”，話真的很少，沒有了我們所習(xí)慣且嘆為觀止的“齊華式”語言，而更多的是一些提示性的、啟發(fā)式的、鼓勵(lì)式的提示語。齊華很善于“造勢”，讓學(xué)生主動(dòng)出擊，充分表達(dá)各自的所思所想，并“順其勢而改其路，四兩撥千斤”。這種相機(jī)穿插于學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中的引導(dǎo)，把握方向性，具備整體觀，做到服務(wù)學(xué)生的學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)，而不是遮蔽學(xué)生的學(xué)、替代學(xué)生的學(xué)。

美國經(jīng)濟(jì)學(xué)界和政界劃時(shí)代的學(xué)者約翰·肯尼思·加爾布雷有一句名言：“當(dāng)人們證明改變思想和沒有必要改變思想的選擇時(shí)，人人都忙著證明后者?！笔堑?，思想的改變是行動(dòng)改變的前提。齊華課堂的改變，讓我們承認(rèn)，學(xué)習(xí)在本質(zhì)上是學(xué)生自己的事情，教學(xué)所應(yīng)發(fā)揮的作用應(yīng)該是幫助、促進(jìn)和催生，而不是替代；讓我們承認(rèn)，教學(xué)促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，興趣和好奇心、方法和能力對(duì)學(xué)習(xí)力的培養(yǎng)至關(guān)重要；讓我們承認(rèn)，學(xué)習(xí)不只是知識(shí)的累積，更是自我的完善與創(chuàng)造。只有會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)思考、會(huì)探索，愛提問、愛溝通、愛合作、善交流，學(xué)生的靈性才能得到舒展，智慧才能得到綻放。

（作者單位：江蘇南京市長江路小學(xué)）