高 普,杜永昌,王宇健

(1. 北京理工大學(xué)機(jī)械與車(chē)輛學(xué)院，北京 100081； 2. 清華大學(xué),汽車(chē)安全與節(jié)能?chē)?guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

2016214

盤(pán)式制動(dòng)器閉環(huán)耦合模型耦合剛度的優(yōu)化

高 普1,杜永昌2,王宇健2

(1. 北京理工大學(xué)機(jī)械與車(chē)輛學(xué)院，北京 100081； 2. 清華大學(xué),汽車(chē)安全與節(jié)能?chē)?guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

為確定盤(pán)式制動(dòng)器關(guān)鍵耦合界面的耦合剛度，首先進(jìn)行制動(dòng)器靜態(tài)加壓加載工況下的模態(tài)試驗(yàn)得到其模態(tài)參數(shù)，然后運(yùn)用非線性?xún)?yōu)化方法使模型計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果間的誤差達(dá)到最小，從而得到與實(shí)際使用工況盡量一致的耦合剛度。最后將優(yōu)化后的模型和原模型計(jì)算結(jié)果與臺(tái)架試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，利用本文優(yōu)化后的耦合剛度計(jì)算得到的不穩(wěn)定模態(tài)結(jié)果與臺(tái)架制動(dòng)噪聲試驗(yàn)結(jié)果更接近，驗(yàn)證了本文方法的合理性和有效性。

盤(pán)式制動(dòng)器；制動(dòng)噪聲；閉環(huán)耦合模型；耦合剛度；優(yōu)化

前言

車(chē)輛制動(dòng)時(shí)動(dòng)能通過(guò)摩擦副間的相對(duì)滑動(dòng)作用轉(zhuǎn)化為熱能耗散，如果制動(dòng)器設(shè)計(jì)不合理、摩擦材料老化或制動(dòng)工況改變，制動(dòng)時(shí)就可能引起強(qiáng)烈的振動(dòng)，并伴隨著噪聲。制動(dòng)噪聲不僅降低汽車(chē)舒適性、造成噪聲污染，而且會(huì)造成承載零部件的早期磨損,降低壽命。

對(duì)制動(dòng)噪聲的診斷和有效抑制是汽車(chē)行業(yè)一直面臨的問(wèn)題。由于制動(dòng)器具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性，且制動(dòng)噪聲產(chǎn)生與多變的使用工況和環(huán)境因素密切相關(guān)，迄今為止對(duì)該問(wèn)題的研究仍沒(méi)得到一致的結(jié)論[1-2]。然而，在過(guò)去的二三十年，大量試驗(yàn)和分析的方法被應(yīng)用到分析診斷和抑制制動(dòng)噪聲問(wèn)題中，并取得了顯著成果，大大降低了汽車(chē)產(chǎn)品的制動(dòng)噪聲水平[3-7]。

復(fù)特征值分析方法是對(duì)制動(dòng)噪聲進(jìn)行建模分析的行之有效的方法。文獻(xiàn)[8]中首先將盤(pán)式制動(dòng)器制動(dòng)片與制動(dòng)盤(pán)之間的摩擦耦合作為非對(duì)角項(xiàng)引入系統(tǒng)剛度矩陣，以其不穩(wěn)定復(fù)特征根表征系統(tǒng)振動(dòng)的發(fā)散。文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[9]～文獻(xiàn)[12]中利用有限元和模態(tài)綜合法建立了盤(pán)式制動(dòng)器閉環(huán)耦合模型，并提出了子結(jié)構(gòu)模態(tài)組成分析、子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)靈敏度分析、制動(dòng)能量饋入分析等方法，可有效地分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)噪聲的影響，尋找抑制噪聲的途徑，其分析結(jié)果與試驗(yàn)有較好的一致性。

在制動(dòng)器閉環(huán)耦合模型中，子結(jié)構(gòu)(零部件)的動(dòng)態(tài)特性以模態(tài)參數(shù)表示，而子結(jié)構(gòu)之間的相互作用以耦合節(jié)點(diǎn)間的彈性和摩擦耦合表示。耦合剛度是模型的重要參數(shù)，其取值對(duì)建模準(zhǔn)確性有決定性影響。但公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)對(duì)此問(wèn)題論述很少。文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[13]中認(rèn)為耦合剛度的取值應(yīng)盡量在力學(xué)上與原結(jié)構(gòu)等效，文獻(xiàn)[14]中則認(rèn)為應(yīng)以耦合部位局部剛度的1 000倍作為接觸界面的耦合剛度值，文獻(xiàn)[15]中在建立盤(pán)式制動(dòng)器整體有限元噪聲分析模型時(shí)給出了以下原則：(1)兩子結(jié)構(gòu)之間存在相對(duì)滑動(dòng)，接觸界面的切向耦合剛度設(shè)置很小的值，約為0.5N/m；(2)兩子結(jié)構(gòu)之間存在嚴(yán)格的相互約束時(shí)，耦合剛度設(shè)定為較大值，其數(shù)量級(jí)為1010N/m；(3)兩子結(jié)構(gòu)之間存在連續(xù)性接觸，且材料參數(shù)相近時(shí)，耦合剛度值數(shù)量級(jí)設(shè)定為109N/m；(4)兩子結(jié)構(gòu)之間存在間隔性接觸時(shí)，耦合剛度值的數(shù)量級(jí)設(shè)定為106N/m。

可見(jiàn)，上述文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[13]～文獻(xiàn)[15]中只是給出了一些原則性的建議，在具體建模時(shí)需進(jìn)行大量的試算和調(diào)整，并根據(jù)模型計(jì)算結(jié)果判斷取值的合理性。這一過(guò)程不僅費(fèi)力、耗時(shí)，而且極大地依賴(lài)個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和判斷。

本文中為一盤(pán)式制動(dòng)器建立了閉環(huán)耦合模型，并在確定子結(jié)構(gòu)耦合剛度方面進(jìn)行研究。首先根據(jù)不同耦合界面耦合剛度對(duì)模型影響的大小分為關(guān)鍵和次要耦合界面兩類(lèi)。對(duì)于次要耦合界面的耦合剛度，參照文獻(xiàn)給出的原則和以往的建模經(jīng)驗(yàn)確定；對(duì)于關(guān)鍵耦合界面的耦合剛度，則進(jìn)行制動(dòng)器靜態(tài)加壓加載工況下的模態(tài)試驗(yàn)得到其模態(tài)參數(shù)，然后運(yùn)用非線性?xún)?yōu)化算法，使模型計(jì)算與試驗(yàn)得到的結(jié)果間的誤差達(dá)到最小，從而得到與實(shí)際使用狀況盡量一致的耦合剛度。最后對(duì)利用優(yōu)化得到的耦合剛度和現(xiàn)有根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定的耦合剛度參數(shù)計(jì)算出的不穩(wěn)定模態(tài)，與臺(tái)架制動(dòng)噪聲試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，利用本文中優(yōu)化得到的耦合剛度計(jì)算得到的不穩(wěn)定模態(tài)結(jié)果與臺(tái)架制動(dòng)噪聲試驗(yàn)結(jié)果的一致性有顯著提高，證明了本文中方法的合理性和有效性，應(yīng)用于后續(xù)的噪聲分析，可提高分析結(jié)果的可信度，并有助于制定更有效的噪聲抑制措施。

1 盤(pán)式制動(dòng)器閉環(huán)耦合模型

閉環(huán)耦合模型是基于制動(dòng)器結(jié)構(gòu)閉環(huán)耦合理論和模態(tài)綜合方法建立的分析模型[5,9,12]。

在忽略子結(jié)構(gòu)本身的小阻尼的情況下，制動(dòng)器的振動(dòng)方程為

(1)式中：M和K分別為有限元離散化后的質(zhì)量陣和剛度陣，它們分別由各子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣組合而成；u為所有節(jié)點(diǎn)的位移矢量；Kf為摩擦耦合剛度陣，是非對(duì)稱(chēng)陣，由子結(jié)構(gòu)間的相互作用關(guān)系確定。

設(shè)q為子結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)矢量，則

u=Φq

(2)

式中Φ為由各子結(jié)構(gòu)對(duì)各自模態(tài)質(zhì)量歸一化的模態(tài)振型矩陣組合而成的矩陣。

利用式(2)對(duì)式(1)進(jìn)行坐標(biāo)變換可得

(3)

其中：

Ksys=λ-ΦTKfΦ

(4)

式中λ為各子結(jié)構(gòu)的模態(tài)角頻率平方組成的對(duì)角陣。

對(duì)式(3)進(jìn)行復(fù)特征分析，可得到系統(tǒng)的復(fù)特征值和相應(yīng)的特征向量。復(fù)特征值虛部表示噪聲頻率，實(shí)部代表模態(tài)阻尼。因此實(shí)部大于零的模態(tài)為負(fù)阻尼，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)中不穩(wěn)定的、存在產(chǎn)生尖叫傾向的模態(tài)，稱(chēng)為噪聲模態(tài)。噪聲模態(tài)復(fù)特征值實(shí)部越大，說(shuō)明發(fā)生噪聲的傾向越大。

由式(4)可以看出，在子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)已經(jīng)確定的情況下，建模質(zhì)量取決于摩擦耦合矩陣Kf。要得到可信度高的復(fù)特征值分析結(jié)果，就必須使Kf與噪聲發(fā)生時(shí)的實(shí)際狀況盡量一致。

2 耦合剛度矩陣

制動(dòng)器閉環(huán)耦合模型以子結(jié)構(gòu)間的耦合表示零部件之間的相互作用。本文中所建模型包含7種耦合界面，如表1所示。

表1 子結(jié)構(gòu)間的耦合類(lèi)型

耦合剛度矩陣具體描述耦合界面內(nèi)節(jié)點(diǎn)之間的耦合。制動(dòng)片摩擦材料和制動(dòng)盤(pán)之間的耦合界面同時(shí)存在彈性和摩擦耦合，其耦合節(jié)點(diǎn)對(duì)間的耦合剛度矩陣[5-6]可表述為

(5)

其他的耦合界面只存在彈性耦合，其耦合矩陣[5]簡(jiǎn)化為

(6)

式(5)和式(6)中:μ和K分別為摩擦因數(shù)和節(jié)點(diǎn)耦合剛度。

3 次要耦合界面參數(shù)

不同的耦合界面參數(shù)對(duì)模型有不同的影響。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，相比其它耦合界面，制動(dòng)片摩擦材料與制動(dòng)盤(pán)之間和內(nèi)制動(dòng)片背板與制動(dòng)鉗之間的耦合參數(shù)對(duì)閉環(huán)耦合模型的計(jì)算結(jié)果影響巨大，細(xì)微的取值變化會(huì)使后續(xù)的計(jì)算結(jié)果發(fā)生質(zhì)變，在本文中稱(chēng)為關(guān)鍵耦合界面，而其它耦合界面被稱(chēng)為次要耦合界面。針對(duì)這兩種不同的耦合界面，本文中分別采用不同的方法確定其耦合剛度的取值。

對(duì)于次要耦合界面的耦合剛度可根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)和文獻(xiàn)給出的原則確定取值范圍：

(1)某些耦合界面為性質(zhì)接近的兩個(gè)平整金屬表面連續(xù)性接觸，如制動(dòng)鉗與外制動(dòng)片背板接觸界面、制動(dòng)片背板耳槽與支架安裝凸臺(tái)的接觸界面等，其取值范圍在109N/m附近；

(2)某些耦合界面存在油膜潤(rùn)滑，如制動(dòng)導(dǎo)向銷(xiāo)與支架導(dǎo)向銷(xiāo)孔壁接觸界面，其耦合剛度值取決于油膜，大體估計(jì)接觸剛度值為106N/m左右。

4 關(guān)鍵耦合界面參數(shù)

關(guān)鍵耦合界面指同時(shí)存在彈性和摩擦耦合的制動(dòng)盤(pán)與兩個(gè)制動(dòng)片的接觸界面和內(nèi)制動(dòng)片背板與制動(dòng)鉗的接觸界面。本文中首先對(duì)制動(dòng)器進(jìn)行靜態(tài)加壓加載工況下的模態(tài)試驗(yàn)，得到其模態(tài)參數(shù)，然后運(yùn)用非線性?xún)?yōu)化算法，使模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差最小，優(yōu)化得到與實(shí)際狀況盡量一致的耦合剛度取值。

4.1 制動(dòng)總成靜態(tài)加壓加載模態(tài)試驗(yàn)

靜態(tài)加壓加載模態(tài)試驗(yàn)在制動(dòng)器靜止工況下進(jìn)行。制動(dòng)器固定在牢固的支架上，在安裝輪輞的位置安裝加載橫桿。試驗(yàn)時(shí)，制動(dòng)管路內(nèi)施加并保持穩(wěn)定的制動(dòng)壓力，制動(dòng)盤(pán)靜止并使加載橫桿保持水平，在加載桿末端吊裝一定數(shù)量的砝碼以模擬制動(dòng)力矩，這樣可使各個(gè)零部件之間的耦合受力狀態(tài)與實(shí)際制動(dòng)時(shí)盡量接近。采用力錘對(duì)制動(dòng)盤(pán)進(jìn)行垂直方向激勵(lì)，在制動(dòng)盤(pán)、制動(dòng)鉗和支架上安裝三向加速度傳感器，利用LMS數(shù)據(jù)采集設(shè)備采集試驗(yàn)數(shù)據(jù)，試驗(yàn)裝置如圖1所示。

圖1 制動(dòng)器靜態(tài)加壓加載試驗(yàn)裝置

通過(guò)試驗(yàn)提取了6.5kHz內(nèi)的5階模態(tài)，其模態(tài)參數(shù)見(jiàn)表2。由于多數(shù)模態(tài)制動(dòng)盤(pán)在軸向的振型幅值較大，形狀規(guī)則，因此只給出了制動(dòng)盤(pán)的外廓的軸向振型并在振型圖中以放大的徑向變形表示。

表2 制動(dòng)器靜態(tài)加載模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果

本文中挑選后3階辨識(shí)度高的振型的模態(tài)，作為后續(xù)優(yōu)化工作的目標(biāo)。

4.2 制動(dòng)器模型調(diào)整

由于試驗(yàn)是在靜態(tài)加壓加載條件下進(jìn)行的，因此必須對(duì)制動(dòng)器閉環(huán)耦合模型進(jìn)行調(diào)整使之與試驗(yàn)條件相符。模態(tài)試驗(yàn)時(shí)制動(dòng)器各部件只存在高頻小振幅的振動(dòng)，可認(rèn)為耦合界面間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，只有靜摩擦力，因此式(5)矩陣中的不對(duì)稱(chēng)項(xiàng)不再出現(xiàn)，而是以等效剛度耦合的形式存在。經(jīng)此變換后，系統(tǒng)特征矩陣變?yōu)閷?duì)稱(chēng)陣，式(3)的特征值實(shí)部全部為0，即此工況下系統(tǒng)的各階模態(tài)全部為穩(wěn)定模態(tài)。

4.3 優(yōu)化方法

優(yōu)化的目的是尋找關(guān)鍵界面耦合剛度的最優(yōu)解使模型計(jì)算得到的模態(tài)參數(shù)與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果之間的誤差最小，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)[16-17]設(shè)定為

(7)

其中：

Wjf=(ω1e/ωje)2，j=1,…,N

(8)

式中：ωjl和ωje分別為模型計(jì)算和模態(tài)試驗(yàn)得到對(duì)應(yīng)的N個(gè)模態(tài)頻率；Wjf為第j階加權(quán)系數(shù)。

優(yōu)化變量為關(guān)鍵耦合界面耦合剛度，包括制動(dòng)盤(pán)與制動(dòng)片摩擦材料界面耦合剛度和制動(dòng)鉗與內(nèi)制動(dòng)片背板界面耦合剛度。在優(yōu)化前首先需要確定優(yōu)化變量的初始值和取值范圍。

(1)制動(dòng)盤(pán)與制動(dòng)片界面耦合剛度：根據(jù)有限元靜力計(jì)算和以往研究經(jīng)驗(yàn)確定其初始值為5×107N/m，取值范圍為2×107～1×108N/m。

(2)制動(dòng)鉗與內(nèi)制動(dòng)片背板界面耦合剛度，代表制動(dòng)管路的彈性，與制動(dòng)液壓系統(tǒng)的體積彈性模量成正比，可估算為

(9)

式中：CT為剛度；E為液壓系統(tǒng)的體積彈性模量；A為制動(dòng)缸截面積；V為制動(dòng)缸和制動(dòng)管路內(nèi)的制動(dòng)液總?cè)莘e。根據(jù)文獻(xiàn)[18]，E大致范圍為500～1 400MPa，因此可估算耦合剛度范圍為5×106～5×107N/m，初始值為3×107N/m。

對(duì)于優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化變量初始值的取值范圍，運(yùn)用序列二次規(guī)劃算法(SQP)進(jìn)行尋優(yōu)。其基本思想為：在某個(gè)近似解處將原來(lái)的非線性規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)化為一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題，求其最優(yōu)解[19]。對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題，可把非線性目標(biāo)函數(shù)與其約束條件相結(jié)合，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，進(jìn)行二次近似求解，將求得最優(yōu)解代替原函數(shù)的解。在優(yōu)化過(guò)程中涉及的拉格朗日函數(shù)的海賽矩陣，可利用擬牛頓法的近似計(jì)算，這里采用BFGS變尺度方法構(gòu)造其近似值，其中優(yōu)化步長(zhǎng)則利用一維線性搜索獲取。

4.4 優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化過(guò)程中，目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)增加的變化曲線如圖2所示。

圖2 目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化趨勢(shì)

由圖可見(jiàn)，隨著迭代次數(shù)的增加，目標(biāo)函數(shù)收斂于一穩(wěn)定值，說(shuō)明優(yōu)化問(wèn)題達(dá)到了最優(yōu)解。表3為優(yōu)化前后模型計(jì)算得到的模態(tài)頻率與對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果之間的對(duì)比。

表3 優(yōu)化前后計(jì)算模態(tài)頻率與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

從表3可以看出，經(jīng)過(guò)耦合剛度優(yōu)化后模型計(jì)算結(jié)果更加接近試驗(yàn)得到的模態(tài)頻率。可以推斷，這時(shí)的關(guān)鍵耦合界面的耦合剛度取值更加接近制動(dòng)器的實(shí)際情況。

耦合剛度最優(yōu)值：制動(dòng)盤(pán)與制動(dòng)片耦合界面為4.9×107N/m；制動(dòng)鉗與內(nèi)制動(dòng)片耦合界面為2.6×107N/m。

表4列出了最終確定的兩類(lèi)耦合界面的耦合剛度取值。

表4 耦合剛度最終取值

5 復(fù)特征分析結(jié)果

本文中最后將優(yōu)化得到的耦合剛度參數(shù)代入制動(dòng)器閉環(huán)耦合模型，進(jìn)行復(fù)特征值分析，得到其不穩(wěn)定模態(tài)，與根據(jù)文獻(xiàn)[5]中經(jīng)驗(yàn)選定的耦合剛度計(jì)算出的不穩(wěn)定模態(tài)和目標(biāo)制動(dòng)器臺(tái)架試驗(yàn)得到的制動(dòng)噪聲結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖3所示，圖3(a)為臺(tái)架噪聲試驗(yàn)結(jié)果，圖3(b)為優(yōu)化前后模型仿真計(jì)算出不穩(wěn)定模態(tài)的兩組結(jié)果。

首先觀察圖3中的臺(tái)架噪聲試驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)不同頻率處發(fā)生高聲壓噪聲的頻次判斷制動(dòng)器的噪聲產(chǎn)生傾向，可以看出，在1.6，2.7，4.3，5.5，7.5，8.5，8.7，10和13kHz處測(cè)得多次的制動(dòng)噪聲，其中1.6，2.7，8.5和13kHz附近出現(xiàn)頻次最高。然后對(duì)比優(yōu)化前后兩模型計(jì)算出的不穩(wěn)定模態(tài)，前者計(jì)算出了2.7，7.5，10和13kHz附近的不穩(wěn)定模態(tài)，且10和13kHz這兩階不穩(wěn)定模態(tài)的復(fù)特征根實(shí)部最大；而后者比前者多計(jì)算出了1.6，4.3，8.5和8.7kHz附近的不穩(wěn)定模態(tài)，且1.6，8.5和13kHz這3階不穩(wěn)定模態(tài)的復(fù)特征根實(shí)部最高。因此可以看出，利用優(yōu)化得到的耦合剛度建立的模型所得到的不穩(wěn)定模態(tài)無(wú)論在頻率的分布上，還是復(fù)特征根實(shí)部所指示的不穩(wěn)定傾向上，都比原模型與臺(tái)架試驗(yàn)結(jié)果一致性更好，說(shuō)明此模型更加接近目標(biāo)制動(dòng)器的實(shí)際情況。

圖3 臺(tái)架試驗(yàn)及模型計(jì)算結(jié)果

6 結(jié)論

本文中利用結(jié)構(gòu)閉環(huán)耦合理論建立盤(pán)式制動(dòng)器分析模型，并通過(guò)制動(dòng)器靜態(tài)加壓加載工況模態(tài)試驗(yàn)和參數(shù)優(yōu)化得到了更接近制動(dòng)器實(shí)際情況的耦合參數(shù)。與臺(tái)架制動(dòng)噪聲試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比表明，利用本文中優(yōu)化得到的參數(shù)建立的制動(dòng)器模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的一致性有顯著提高，證明了本文中方法的合理性和有效性，應(yīng)用于后續(xù)的噪聲分析，可提高分析結(jié)果的可信度，并有助于制定更有效的噪聲抑制措施。

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Optimization of Coupling Stiffness Obtained from Closed-loop Coupling Model for a Disk Brake

Gao Pu1, Du Yongchang2& Wang Yujian2

1．SchoolofMechanicalandVehicularEngineering,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081;2.TsinghuaUniversity,StateKeyLaboratoryofAutomotiveSafetyandEnergy,Beijing100084

For determining the coupling stiffness of key coupling interfaces in a disk brake, firstly a modal test is performed on a stationary disc brake with both hydraulic pressure and braking torque applied to get modal parameters. Then non-linear optimization method is used to minimize the differences between the results of model calculation and stationery modal test, thus a coupling stiffness is obtained which is as close as possible to the real operation condition. Finally the results with optimized model and original model are compared with bench test results. The outcomes show that the unstable modes calculated with the coupling stiffness obtained from optimized model are closer to the results of brake squeal bench test than that with original model, verifying the rationality and effectiveness of the method proposed.

disc brake; braking squeal; closed-loop coupling model; coupling stiffness; optimization

*原稿收到日期為2015年7月31日，修改稿收到日期為2015年12月9日。