江蘇省如皋市港城實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 王 麗

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中推理能力的理解與培養(yǎng)

江蘇省如皋市港城實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 王 麗

推理能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力，推理在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)與問題解決的過程中無處不在。推理能力的培養(yǎng)有顯性和隱性兩種方式，通常情況下應(yīng)當(dāng)遵循先隱性后顯性的教學(xué)思路，這樣可以讓學(xué)生在推理過程中生成推理能力，在學(xué)習(xí)反思中提升推理能力。

初中數(shù)學(xué)；推理能力；合情推理；演繹推理

數(shù)學(xué)在以數(shù)與形作為研究對象的時(shí)候，邏輯關(guān)系已經(jīng)蘊(yùn)含其中，于是推理就成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最基本的內(nèi)容。具體的說，推理是建立在命題基礎(chǔ)上的，命題是判斷的產(chǎn)物，當(dāng)課堂上出現(xiàn)給出“有理數(shù)包括正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零”的判斷的時(shí)候，實(shí)際上就是給出了一個(gè)命題，而由一個(gè)或一個(gè)以上的命題推出一個(gè)新的命題的過程，就是推理。這一點(diǎn)遷移到解題中，正是通常所說的由已知推出未知的過程，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中問題解決的過程，可以視作是推理的另一種說法。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，推理能力的培養(yǎng)往往是一個(gè)隱藏在知識(shí)建構(gòu)與問題解決背后的自然過程，如何在這個(gè)過程中更好地培養(yǎng)學(xué)生的這種能力，或者說尋找新的途徑培養(yǎng)這種能力，筆者進(jìn)行了不懈的努力與探究。

一、兩種基本推理形式概述

推理是一個(gè)宏觀概念，其有合情推理與演繹推理兩種形式。但筆者并不喜歡這樣的分類，因?yàn)檫@樣的分類過于學(xué)術(shù)，沒有靠近學(xué)生的“人情味”，事實(shí)上這兩種推理完全可以用另外一種形式來描述，那就是學(xué)生視野下的兩種不同形式的推理，而且這樣的理解還可以讓推理這種數(shù)學(xué)思想方法范疇的理解變得更加顯性。筆者具體的做法是這樣的：給學(xué)生呈現(xiàn)不同形式的推理材料（這與具體的知識(shí)教學(xué)順序有關(guān)，實(shí)際教學(xué)的時(shí)候并不意味著兩種推理需要同時(shí)進(jìn)行，但在呈現(xiàn)后一種推理的時(shí)候，有必要跟學(xué)生一起回憶之前曾經(jīng)有過的推理），如在探究圓的兩條切線長度關(guān)系的時(shí)候，學(xué)生一般會(huì)根據(jù)圖形的形狀去猜想兩條切線可能相等，這就是典型的合情推理，這種推理往往不需要嚴(yán)密的邏輯，而是憑著學(xué)習(xí)者原有的經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)識(shí)，憑著歸納、類比以及或然的認(rèn)識(shí)，對所需要判斷的對象做出的一種直覺性的判斷，其不一定正確，但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中卻起著重要的先導(dǎo)作用，因?yàn)楹锨橥评砟軌蚪o學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供可能的方向，因而數(shù)學(xué)探究的魅力也就彰顯出來，可以說沒有合情推理，就不可能體驗(yàn)到完整的數(shù)學(xué)魅力。而從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的角度來看，合情推理與直覺推理有一定的關(guān)系，限于篇幅，筆者這里不對兩者進(jìn)行詳細(xì)的比對。

演繹推理則是嚴(yán)密的推理辦法，其是根據(jù)已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)規(guī)律去對新情境中的問題做出演繹，以推理出可能的結(jié)果。只要推理的前提是正確的，且推理的邏輯是沒有問題的，那推理的結(jié)果就一定是正確的。比如說上面所舉的例子中，當(dāng)學(xué)生用切線定義以及三角形全等的知識(shí)證實(shí)了過圓外一點(diǎn)所作的圓的兩條切線的長度相等時(shí)，就完成了一個(gè)演繹推理的過程。在這個(gè)過程中，切線定義所代表的垂直關(guān)系，以及三角形全等所代表的相等關(guān)系，就是演繹推理的前提，有了這個(gè)前提，證實(shí)了兩個(gè)三角形全等，那兩條切線的長度相等就是一個(gè)正確的結(jié)果。

很多時(shí)候，合情推理與演繹推理又是共同存在的，尤其是在數(shù)學(xué)探究的過程中，通常是合情推理開路，為學(xué)生提供符合其經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)與邏輯的猜想，然后用演繹推理去探究并證實(shí)（如上面的例子）。數(shù)學(xué)教學(xué)中多引導(dǎo)學(xué)生從推理的角度關(guān)注知識(shí)的形成，可以為推理能力的培養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、推理能力培養(yǎng)隱性途徑

推理能力的培養(yǎng)很多時(shí)候都是隱性的，這是由推理本身的特征決定的，但是需要明確的是，這里所說的隱性其實(shí)是相對學(xué)生而言的，只是說在推理的過程中并不給出推理的概念，但推理本身就在進(jìn)行。因而這就與“在游泳中學(xué)會(huì)游泳”的隱喻是一樣的，小孩子未必知道這就是游泳中的什么具體名稱，但在狗刨中就有可能學(xué)會(huì)蛙泳，在蹬仰仰中就有可能學(xué)會(huì)仰泳。

具體的說，初中數(shù)學(xué)中隱性的推理能力培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)有這樣三個(gè)層面的理解：

其一，隱性的推理能力培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)成為整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的主線，無論是剛剛開始時(shí)的有數(shù)理的學(xué)習(xí)與運(yùn)算，還是其后的圖形與幾何知識(shí)，或是將來的統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)，在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的同時(shí)，一定要從推理角度進(jìn)行分析，具體判斷哪些知識(shí)的建構(gòu)過程中用到什么樣的推理。筆者的一個(gè)習(xí)慣是在教案上明確注明是合情推理還是演繹推理，這樣的習(xí)慣可以讓推理能力的培養(yǎng)在教師這里是一根明線，而在學(xué)生那里則是一根暗線。

其二，隱性的推理能力培養(yǎng)，意味著在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建過程中的具體運(yùn)用。相對于上一點(diǎn)的闡述而言，這一點(diǎn)的闡述更具體，比如說在有理數(shù)的教學(xué)中，當(dāng)給出有理數(shù)可以從正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零分類，或者從整數(shù)與分?jǐn)?shù)的角度分類時(shí)，給出的就是不同分類標(biāo)準(zhǔn)下的不同結(jié)果，于是學(xué)生對有理數(shù)的認(rèn)識(shí)也就有了雙重視角，而分類標(biāo)準(zhǔn)與分類結(jié)果之間也就存在了一種推理關(guān)系，這種推理關(guān)系對于學(xué)生來說沒有特別的感覺，但教師需要知道隱性的推理正在進(jìn)行。

其三，隱性推理更需要貫穿于所有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，其實(shí)從最簡單的四則運(yùn)算開始，到復(fù)雜的函數(shù)運(yùn)算與概率計(jì)算，推理無時(shí)不在。從這個(gè)角度講，推理確實(shí)更適合以隱性方式存在。筆者以為，有隱性推理之水的存在，就不怕學(xué)生形不成推理之能力。

三、推理能力培養(yǎng)顯性途徑

但是推理能力的培養(yǎng)以隱性形式進(jìn)行又不是絕對的，很多時(shí)候顯性的培養(yǎng)途徑也是不能忽視的。

筆者在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中特別強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)反思，而反思往往是需要進(jìn)行交流的，這個(gè)交流包括師生之間、生生之間的交流，由于交流常常是指向?qū)W習(xí)過程的，所以必須借助于概念來進(jìn)行。因此，到了初二年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，筆者就開始明確地提出合情推理與演繹推理的概念，并結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的具體例子來輔助學(xué)生理解，有了這些概念之后，學(xué)生在具體交流某個(gè)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中哪些是合情推理，哪些是演繹推理的時(shí)候，就會(huì)方便很多。

從學(xué)習(xí)方法的角度來看，顯性的推理能力的培養(yǎng)方式，實(shí)際上是借助于概念的綜合性作用，讓學(xué)生通過兩種具體的推理概念，去總結(jié)歸納曾經(jīng)進(jìn)行過的推理實(shí)例。也正是在這個(gè)過程中，筆者聽到了學(xué)生有這樣的評價(jià)——“原來推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中是無處不在的”，筆者以為這樣的評價(jià)，恰恰是將隱性教學(xué)過程中的種種推理努力顯現(xiàn)了出來，也說明學(xué)生已經(jīng)將具體的推理形式與實(shí)例對上了號，這顯然是利于學(xué)生的推理能力形成的。

總之，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要高度重視推理能力的培養(yǎng)，要多途徑培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。