朱俊杰，余雄慶，羅東明，王宇

南京航空航天大學(xué) 飛行器先進設(shè)計技術(shù)國防重點實驗室，南京 210016

空天飛機再入軌跡的變精度序列優(yōu)化方法

朱俊杰，余雄慶*，羅東明，王宇

南京航空航天大學(xué) 飛行器先進設(shè)計技術(shù)國防重點實驗室，南京 210016

為提高空天飛機再入軌跡優(yōu)化方法的穩(wěn)健性和精度，提出一種變精度序列優(yōu)化方法。優(yōu)化計算過程分為3個步驟：首先進行預(yù)優(yōu)化，即在粗離散情況下，應(yīng)用混合優(yōu)化方法進行軌跡優(yōu)化，獲得各時間點設(shè)計變量的最優(yōu)解；然后對預(yù)優(yōu)化的結(jié)果進行一元全區(qū)間插值處理，獲得細離散情況下設(shè)計變量的初值；最后進行精細優(yōu)化，獲得精度更高的計算結(jié)果。算例結(jié)果表明，變精度序列優(yōu)化方法能穩(wěn)健地求解空天飛機再入軌跡優(yōu)化問題,并能以較少的計算量獲得滿足精度要求的優(yōu)化結(jié)果。

空天飛機；再入軌跡；優(yōu)化；混合優(yōu)化；插值

空天飛機軌跡優(yōu)化是在飛行動力學(xué)和物理學(xué)約束的條件下，尋求最優(yōu)解的過程，它貫穿于整個空天飛機設(shè)計過程中，影響著總體、氣動布局、制導(dǎo)控制、動力和結(jié)構(gòu)等多個分系統(tǒng)的設(shè)計，對空天飛機的研制具有重要意義。

軌跡優(yōu)化是一類最優(yōu)控制問題，屬于復(fù)雜的大規(guī)模非線性優(yōu)化范疇。軌跡優(yōu)化設(shè)計方法主要有基于極大值原理的間接法和基于非線性規(guī)劃理論的直接法。間接法的優(yōu)點是計算精度高，并且能夠滿足最優(yōu)必要性條件，但由于繁雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和難于求解的兩點邊值問題，目前已很少使用間接法求解軌跡優(yōu)化問題。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，目前的研究更傾向于使用直接法求解。在采用直接法求解軌跡優(yōu)化問題時，先將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題(Nonlinear Programming, NLP)，對控制變量和狀態(tài)變量進行離散，對狀態(tài)方程、端點約束以及路徑約束進行節(jié)點轉(zhuǎn)化，再選擇優(yōu)化算法求解決策向量和目標(biāo)函數(shù)。

對于優(yōu)化算法來說，目前主要采用兩種優(yōu)化算法：1)經(jīng)典優(yōu)化算法，例如序列二次規(guī)劃算法(Sequential Quadratic Programming， SQP)[1]、梯度下降法、罰函數(shù)方法[2]等；2)智能優(yōu)化算法，例如遺傳算法[3-4](Genetic Algorithm，GA)、進化策略(Evolution Strategy， ES)、粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization， PSO)等。經(jīng)典優(yōu)化算法的優(yōu)點是收斂速度快，但是需要給出合理的初始值，才能收斂到最優(yōu)解。對于空天飛機再入軌跡問題，有數(shù)百甚至數(shù)千個設(shè)計變量。面對這么多變量，以人工方式給出一個合理的初始值幾乎不可能。智能優(yōu)化算法的優(yōu)點是無需給出初值，穩(wěn)健性好，但收斂速度慢，優(yōu)化結(jié)果不夠精確。為了克服經(jīng)典優(yōu)化算法和智能優(yōu)化算法的缺點，近年來有學(xué)者提出了混合優(yōu)化方法[5]，即首先用智能優(yōu)化算法獲得一個初步優(yōu)化結(jié)果，然后以該結(jié)果為初始點，利用經(jīng)典優(yōu)化算法，快速搜尋最優(yōu)解。如Vavrina采用GA與SQP相結(jié)合的方法求解低推力軌跡優(yōu)化問題[6]。但是，對于空天飛機再入軌跡優(yōu)化問題，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時間配點數(shù)較多時，混合優(yōu)化方法也不能可靠地求解軌跡優(yōu)化問題，其穩(wěn)健性不能令人滿意。

本文借鑒計算流體力學(xué)中預(yù)處理思路(變精度網(wǎng)格方法[7])，提出了一種變精度序列優(yōu)化方法，目的是為空天飛機再入軌跡優(yōu)化提供一種穩(wěn)健的、收斂速度快且精度高的方法。

1 再入軌跡優(yōu)化問題的描述

1.1 運動方程的建立

空天飛機再入大氣層時的三自由度運動學(xué)和動力學(xué)方程組為[8-9]

(1)

式中：m為空天飛機質(zhì)量；R為空天飛機質(zhì)心到地心的距離；φ為經(jīng)度；θ為緯度；v為速度；γ為航跡角；ψ為航跡方向角；β為傾側(cè)角；D為阻力；L為升力；g為重力加速度。

D,L，g,H分別為

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：g0=9.8 m/s2為地球表面的重力加速度；ρ為大氣密度；H為空天飛機離地面高度；R0=6 357 km為地球半徑；S為空天飛機參考面積；CD和CL分別為阻力系數(shù)與升力系數(shù)。

在大氣飛行過程中的熱流密度為[10]

(6)

式中：RN為飛行器頭部前緣半徑。

動壓為

(7)

過載為

(8)

1.2 歸一化處理

對于再入軌跡優(yōu)化問題，不同變量之間的數(shù)值量級相差較大，例如R是106級別，而經(jīng)度和緯度化為弧度后是1～10級別，二者數(shù)值上相差太大，會導(dǎo)致數(shù)值奇異，使優(yōu)化計算失敗。為了增加優(yōu)化計算的穩(wěn)健性，需要對原始模型進行歸一化處理。令

(9)

升力和阻力按如下方法歸一化處理：

(10)

(11)

1.3 空天飛機再入軌跡優(yōu)化問題

(1)設(shè)計變量

對于升力式再入航天器的軌跡優(yōu)化問題，由于航天器再入后依靠升力在大氣層內(nèi)做較長時間的滑翔，通過改變姿態(tài)來控制氣動力的變化，以完成軌跡的調(diào)整和機動，因此通常將迎角α和傾側(cè)角β作為控制變量。再入航天器的飛行軌跡可由航天器質(zhì)心到地心的距離R、經(jīng)度φ、緯度θ、速度v、航跡角γ、航跡方向角ψ等參數(shù)來描述，這組參數(shù)即為狀態(tài)變量?？刂谱兞亢蜖顟B(tài)變量均是時間的函數(shù)，而狀態(tài)變量隨時間的變化是由微分形式的飛行動力學(xué)方程支配的。軌跡優(yōu)化問題的設(shè)計變量由每個時間微段的控制變量和狀態(tài)變量組成。

(2)優(yōu)化目標(biāo)

優(yōu)化目標(biāo)的選擇主要由航天器的設(shè)計及任務(wù)要求確定，通常有如下幾種優(yōu)化目標(biāo)：1)以飛行航程最大作為性能指標(biāo)；2)以再入過程中總吸熱量最小作為性能指標(biāo)[12]；3)以最小能量消耗作為性能指標(biāo)[13]；4)以到達指定目標(biāo)點飛行時間最短為優(yōu)化的性能指標(biāo)。

(3)約束條件

再入軌跡優(yōu)化中的約束包括終端約束、過載、動壓及熱流峰值約束和控制量約束[12]等。

(4)空天飛機再入段描述

再入段是引導(dǎo)空天飛機從巡航高度轉(zhuǎn)至末端區(qū)域能量管理段的無燃料消耗飛行階段，可視為常質(zhì)量的無動力滑翔，再入段內(nèi)無論高度還是速度都表現(xiàn)出遞減的趨勢，飛行包線呈收斂的走廊狀。再入過程的初始段保持大迎角飛行姿態(tài)，且大氣密度較小，空氣動力作用不明顯，但此時空天飛機具有很高的速度，因此首先受到熱流約束的限制。再入飛行應(yīng)最大限度地利用機體表面的防熱材料，使空天飛機處于熱流峰值的合理范圍，并利用地球大氣降低飛行速度，使其盡快通過高熱流區(qū)域。再入過程的后半段處于稠密大氣層中，空氣動力的作用明顯增強，動壓和過載的共同約束逐漸加強。

2 變精度序列優(yōu)化方法

“變精度”是指用粗離散(離散配點數(shù)較少)和細離散(離散配點數(shù)較多)2種方式對飛行時間進行離散。變精度序列優(yōu)化方法的思路是：首先在粗離散情況下，應(yīng)用混合優(yōu)化方法進行軌跡優(yōu)化，獲得各時間點設(shè)計變量的初步優(yōu)化結(jié)果；然后對初步優(yōu)化結(jié)果應(yīng)用插值處理方法，獲得細離散情況下各設(shè)計變量的初始值；最后，在細離散情況下，應(yīng)用經(jīng)典優(yōu)化算法，獲得精度更高的優(yōu)化結(jié)果。

智能優(yōu)化算法采用一種最近新發(fā)展的優(yōu)化方法——子集模擬優(yōu)化算法[14]。有關(guān)研究表明：與GA相比，子集模擬優(yōu)化算法具有更快的收斂速度[15]。經(jīng)典優(yōu)化算法采用SNOPT程序[16]，該程序采用了一種改進的SQP，適用于求解大規(guī)模非線性稀疏優(yōu)化問題。

變精度序列優(yōu)化方法的主要步驟如下：

(1)預(yù)優(yōu)化

將飛行時間進行粗離散，應(yīng)用混合優(yōu)化算法求解軌跡優(yōu)化問題。在粗離散過程中，離散時間段過多，則優(yōu)化效率比較低；而離散點太少的話，得到的原始優(yōu)化結(jié)果則不能足夠準(zhǔn)確地反應(yīng)整個飛行過程，將這個原始優(yōu)化結(jié)果作為后續(xù)SNOPT運算的初始值時SNOPT程序可能不會收斂。對于本文的問題，建議將飛行時間劃分成20個時間微段。具體來說，首先采用智能優(yōu)化算法迭代計算若干步(比如迭代100步、200步等)，計算結(jié)果不一定收斂，可以得到一個原始優(yōu)化結(jié)果；然后以該原始優(yōu)化結(jié)果作為SNOPT優(yōu)化過程的初始值，進行優(yōu)化計算直至收斂，獲得初步優(yōu)化結(jié)果。

(2)插值計算

根據(jù)軌跡設(shè)計精度的要求，進行細離散。對預(yù)優(yōu)化的結(jié)果進行一元全區(qū)間插值處理，獲得細離散情況下設(shè)計變量的值，然后將這個值設(shè)為精細優(yōu)化的初始值。

(3)精細優(yōu)化

在細離散情況下，應(yīng)用SNOPT程序獲得精度更高的計算結(jié)果。其中優(yōu)化計算的初值為上一步插值計算中確定的初始值。變精度序列優(yōu)化算法的流程如圖1所示。

圖1 變精度序列優(yōu)化算法流程Fig.1 Variable-fidelity sequential optimization method flowchart

上述優(yōu)化策略的優(yōu)點是：既解決了空天飛機軌跡優(yōu)化過程迭代初始值不易給定的問題，又可避免現(xiàn)有混合優(yōu)化方法在離散配點數(shù)較大情況下不夠穩(wěn)健的缺點。

3 算例與驗證

3.1 算例

空天飛機再入軌跡優(yōu)化算例取自文獻[17-18]，并在原始算例基礎(chǔ)上增加了熱流密度約束、動壓約束和過載約束。

該飛行器的氣動模型為

空天飛機參考面積和質(zhì)量分別為S=250.237 m2、m=92 162 kg?？仗祜w機前緣半徑為RN=1 m。不同高度下大氣相關(guān)參數(shù)參考文獻[19]。

該優(yōu)化問題的初始狀態(tài)為R=6 436 100 m，φ=0°,θ=0°,v=7 808 m/s,γ=-1°,ψ=90°。

末端狀態(tài)為R=6 381 200 m,v=762.5 m/s,γ=-5°。

狀態(tài)變量的約束為[17]

需要注意的是，這里的變量約束范圍并未考慮工程實際情況，而是默認為在理想狀態(tài)下，控制系統(tǒng)可以達到要求。

熱流密度、動壓、過載約束分別為

優(yōu)化目標(biāo)通過控制迎角α和傾側(cè)角β使航程Ra最遠。事實上，對于本算例來說，只需使末端緯度達到最大，就能使航程最遠。故為方便起見，以末端緯度最大作為優(yōu)化目標(biāo)J：

J=maxθ(tf)

式中：θ(tf)為末端時刻tf的緯度。設(shè)計變量包括控制變量(迎角和傾側(cè)角)和狀態(tài)變量(參見1.3節(jié))。

3.2 計算過程和結(jié)果分析

本算例中離散方法采用辛普森離散法。優(yōu)化計算過程如下：

1)預(yù)優(yōu)化。將時間離散成20段，采用子集模擬優(yōu)化算法，迭代計算100步，得到原始優(yōu)化結(jié)果(10s內(nèi)就能計算完畢)。子集模擬優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)定為：單層樣本量取為100；條件概率取為0.51；最大層數(shù)取為100；終止精度取為10-6。

將子集模擬優(yōu)化算法得到的原始優(yōu)化結(jié)果作為SNOPT優(yōu)化的初始點，進行優(yōu)化計算，得到初步優(yōu)化結(jié)果。

2)插值計算。將整個飛行時間離散為更多的時間微段。本算例考察了多種細離散情況，將整個飛行時間分別離散為30、50、60，80、100、150、200個時間微段。根據(jù)預(yù)優(yōu)化后得到的結(jié)果，利用插值計算，獲得各種細離散情況下設(shè)計變量的初始值。

3)精細優(yōu)化。對于各種細離散情況，進行精細優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果見表1。計算機配置為3.10GHz,內(nèi)存為2GB。從表1中可以看出，隨著時間離散微段的增加，迭代步數(shù)總的趨勢是逐漸增加的，精細優(yōu)化時間也逐漸增加，得到的優(yōu)化結(jié)果略有不同，目標(biāo)值逐漸小幅上升。當(dāng)時間離散為150個微段以上后，優(yōu)化結(jié)果幾乎不變，說明該離散段數(shù)足以滿足精度要求。

表1 不同離散情況下精細優(yōu)化結(jié)果

精細優(yōu)化(細離散為200個時間微段)的優(yōu)化結(jié)果軌跡如圖2～圖7所示。

圖2 高度、航程時間關(guān)系Fig.2 Trajectory time histories for height and range

圖3 速度、熱流密度時間關(guān)系Fig.3 Trajectory time histories for velocity and heat flux

圖4 經(jīng)度、緯度時間關(guān)系Fig.4 Trajectory time histories for longitude and latitude

圖5 航跡角、航跡方向角時間關(guān)系Fig.5 Trajectory time histories for flight path angle and azimuth

圖6 迎角、傾側(cè)角時間關(guān)系Fig.6 Trajectory time histories for angle of attack and bank angle

圖7 動壓、過載時間關(guān)系Fig.7 Trajectory time histories for dynamic pressure and overload

從圖2～圖5可以看出隨著再入飛行過程的進行，高度、速度、航跡方向角均呈現(xiàn)下降趨勢；航程、經(jīng)度、緯度呈上升趨勢；航跡角變化平穩(wěn)，逐漸下降，且始終保持在小角度范圍內(nèi)，易于滿足飛行過程的平衡要求。從圖6可以看出下滑初期迎角較大，隨著再入飛行過程的繼續(xù)，迎角急劇減小，最后穩(wěn)定在大約17°左右。這是由于在下滑初期，大氣密度很低，操縱面氣動效率較低，需要采用大迎角飛行。隨著高度的降低，大氣密度增大，當(dāng)氣動力能夠克服重力后，軌跡進入一種近似滑翔的狀態(tài)，迎角穩(wěn)定在相對較小的角度；從傾側(cè)角的變化曲線可以看出傾側(cè)角變化相對平滑，易于控制，且滿足控制量約束條件，下滑初始段，大傾側(cè)角(絕對值最大達到78°左右)可防止再入時的軌跡跳躍，有利于盡快建立動壓進入近似平衡滑翔狀態(tài)，最后隨著迎角降低，航向穩(wěn)定性增大，橫航向耦合下降，慢慢恢復(fù)至小傾側(cè)角狀態(tài)。從圖3可知，在開始階段，由于速度過大，熱流密度急劇增加，一直增加到了約束最大值。雖然此后速度在減小，但是隨著高度的降低，大氣密度卻在增加，所以導(dǎo)致熱流密度一直保持在較大值。隨著飛行過程的延續(xù)，在速度和大氣密度的共同作用下，熱流密度才逐漸減小。從圖7中動壓曲線可以看出，返回初期在很大的高度范圍內(nèi)動壓較低，高度的降低導(dǎo)致大氣密度呈指數(shù)增加，使動壓呈指數(shù)增大，后來隨著密度和速度的相互作用，動壓呈現(xiàn)出一定的振蕩特征，但始終在約束范圍內(nèi)；過載也呈現(xiàn)出遞增趨勢，由于在下滑初始階段，迎角和速度比較大，大氣密度也急劇增加，導(dǎo)致氣動力急劇增大，過載急劇增加；后來在迎角、速度和大氣密度的共同作用下，過載增加逐漸變緩，也呈現(xiàn)出一定的振蕩現(xiàn)象，但仍在約束值3.0以內(nèi)。

4 結(jié)束語

為了提高空天飛機再入軌跡優(yōu)化的穩(wěn)健性和精度，提出了一種變精度序列優(yōu)化方法。變精度序列優(yōu)化方法不僅可以用于空天飛機軌跡優(yōu)化，其他大規(guī)模非線性優(yōu)化問題也可以參考這種新的優(yōu)化策略。最后用典型算例驗證了這種方法的有效性，結(jié)果表明：

1)通過預(yù)優(yōu)化，可為精細優(yōu)化提供一個合理的初始值，解決了空天飛機優(yōu)化過程迭代初始值難以給定的問題。對于不同配點數(shù)的細離散情況，精細優(yōu)化計算過程均可收斂，獲得優(yōu)化結(jié)果，說明該方法具有很好的穩(wěn)健性。

2)在精細優(yōu)化中，當(dāng)離散成200個時間微段時(離散后有1 609個設(shè)計變量，有1 803個約束方程)，僅僅迭代了223步就能收斂，優(yōu)化計算效率高。

3)通過細離散和精細優(yōu)化，可獲得滿足精度要求的優(yōu)化結(jié)果。

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(編輯：車曉玲、范真真)

A variable-fidelity sequential optimization method for reentry trajectory of space plane

ZHU Junjie,YU Xiongqing*,LUO Dongming, WANG Yu

KeyLaboratoryofFundamentalScienceforNationalDefense-AdvancedDesignTechnologyofFlightVehicle,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China

A variable-fidelity sequential optimization method for reentry trajectory design of a space plane was proposed to increase robustness and accuracy of the optimization. The optimization process consisted of three steps. Firstly,there was a pre-optimization, in which for a coarse discrete case, the optimal solution of design variables for each discretized point was obtained by using a hybrid optimization method. Secondly,initial values of the discretized points in a refined discrete case were obtained by using linear interpolation from the pre-optimization solution. Finally, the trajectory optimization in the refined discrete case was conducted, and more accurate optimization results were obtained. A demonstration example was used to validate the proposed method. The results indicate that the reentry trajectory optimization problem can be solved robustly with satisfied accuracy and less computational burden.

space plane; reentry trajectory; optimization; hybrid optimization; interpolation

10.16708/j.cnki.1000-758X.2016.0032

2015-09-01；

2015-11-11；錄用日期：2016-02-24；

時間：2016-04-29 10:49:39

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20160429.1049.003.html

朱俊杰(1989-)，男，碩士研究生，1248400207@qq.com，主要研究方向為飛行器總體設(shè)計

*通訊作者：余雄慶(1965-)，男，教授，yxq@nuaa.edu.cn，主要研究方向為飛行器多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計和總體設(shè)計理論

朱俊杰,余雄慶,羅東明,等.空天飛機再入軌跡的變精度序列優(yōu)化方法[J].中國空間科學(xué)技術(shù),2016, 36(3):

50-56.ZHUJJ,YUXQ,LUODM,etal.Avariable-fidelitysequentialoptimizationmethodforreentrytrajectoryofspaceplane[J].ChineseSpaceScienceandTechnology, 2016, 36(3)：50-56(inChinese).

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