李蒙，陳偉躍，楊勝，高旭

中國空間技術(shù)研究院 載人航天總體部，北京 100094

月球天梯力學(xué)特性研究

李蒙*，陳偉躍，楊勝，高旭

中國空間技術(shù)研究院 載人航天總體部，北京 100094

月球天梯的構(gòu)型對其力學(xué)特性和質(zhì)量特性起決定性作用，直接關(guān)系到天梯建造材料的選取。目前對月球天梯的研究集中在組合橫截面積構(gòu)型上，未對其他構(gòu)型天梯的特性展開深入研究。針對這一問題，文章進(jìn)行了不同構(gòu)型月球天梯的力學(xué)特性研究。建立了月球天梯動(dòng)力學(xué)模型，分別將天梯纜繩線密度和應(yīng)力作為常值，推導(dǎo)了等橫截面積和變橫截面積兩種新構(gòu)型月球天梯的動(dòng)力學(xué)方程和質(zhì)量特性方程，進(jìn)行了不同構(gòu)型天梯關(guān)鍵特性參數(shù)的計(jì)算和對比分析。研究結(jié)果表明，變橫截面積天梯可將最大應(yīng)力設(shè)計(jì)為任意恒定值，降低了對材料極限應(yīng)力的要求，其總質(zhì)量小于等橫截面積和組合橫截面積天梯，為最優(yōu)構(gòu)型方案。

月球天梯；力學(xué)特性；質(zhì)量特性；組合橫截面積；等橫截面積；變橫截面積；拉格朗日點(diǎn)

天梯(Space Elevator)通常指從地球或其他星體表面向宇宙中延伸，可達(dá)到一定高度的高塔結(jié)構(gòu)。由于隨星體以一定角速度自轉(zhuǎn)，天梯上不同高度處具有不同的線速度。利用這一特性可通過其向太空運(yùn)輸載荷，或發(fā)射進(jìn)行星際探測任務(wù)的航天器。利用天梯運(yùn)輸僅需克服載荷自身的重力勢能，與傳統(tǒng)采用運(yùn)載火箭運(yùn)輸?shù)姆绞较啾?，能夠大幅降低單次運(yùn)輸成本。

1895年俄羅斯物理學(xué)家Tsiolkovski提出了地球天梯概念[1]，并計(jì)算了天梯上重力與離心力相等處(天梯平衡點(diǎn))的高度，即地球靜止軌道高度。蘇聯(lián)工程師Yuri Artsutanov于20世紀(jì)60年代完善了這一概念并給出了天梯的建造方案[2]。1975年，美國工程師Jerome Pearson系統(tǒng)性地給出了利用地球天梯運(yùn)輸載荷、發(fā)射航天器的方案，進(jìn)行了天梯動(dòng)力學(xué)分析[3]。隨后，Pearson又將天梯理論推廣至月球，將拉格朗日點(diǎn)作為天梯平衡點(diǎn)，提出了月球天梯的概念[4]。在NASA先進(jìn)概念研究所(Institute of Advanced Concept，NIAC)的資助下，Brad Edwards對地球天梯展開了系統(tǒng)研究，詳細(xì)闡述了設(shè)計(jì)、建造和運(yùn)營天梯需要考慮的各種因素，提出了近期和遠(yuǎn)期的地球天梯建造和運(yùn)營規(guī)劃[5-9]。P.K.Aravind建立了地球天梯的力學(xué)模型，計(jì)算了無配重的等橫截面積和變橫截面積地球天梯高度，給出了地球天梯高度和配重質(zhì)量的關(guān)系[10]。E.M.Levin建立了月球天梯的力學(xué)模型，提出了一種組合橫截面積構(gòu)型的天梯方案，進(jìn)行了天梯關(guān)鍵參數(shù)計(jì)算[11]。Burov于2013年研究了月球天梯長度變化對纜繩運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響[12]，2014年Burov等人又對月球天梯的鐘擺運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析[13]。中國近年來廣泛開展了利用運(yùn)載火箭運(yùn)送航天器進(jìn)行月球探索的研究工作[14-15]，但目前尚未發(fā)現(xiàn)關(guān)于月球天梯的公開文獻(xiàn)。

不同構(gòu)型月球天梯的力學(xué)特性和質(zhì)量特性各不相同，選擇建造材料時(shí)應(yīng)充分考慮這些特性并進(jìn)行權(quán)衡。月球天梯構(gòu)型選取時(shí)可充分借鑒目前已有的地球天梯構(gòu)型，但二者存在一定差異，地球天梯建模為二體問題，而月球天梯建模需考慮三體動(dòng)力學(xué)。目前發(fā)表的文獻(xiàn)中只涉及了組合橫截面積構(gòu)型的一種月球天梯方案。本文分別將天梯纜繩線密度和應(yīng)力作為常值，推導(dǎo)了無配重等橫截面積和有配重變橫截面積兩種月球天梯構(gòu)型的動(dòng)力學(xué)方程和質(zhì)量特性方程，并與現(xiàn)有的組合橫截面積構(gòu)型月球天梯的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行了對比，給出了分析結(jié)論。為月球天梯構(gòu)型方案提供了新的選擇，對月球天梯的總體方案確定和建造材料的選取具有一定的參考價(jià)值。

1 月球天梯原理及系統(tǒng)組成

月球天梯系統(tǒng)組成如圖1上半部分所示，其主要結(jié)構(gòu)為經(jīng)過拉格朗日點(diǎn)L1的纜繩，其一端向月球延伸，固定于月球赤道；另一端遠(yuǎn)離月球方向，終端與配重連接，以保持纜繩處于拉伸狀態(tài)。纜繩上配置若干依靠太陽能驅(qū)動(dòng)的爬升器往返于月面與纜繩終端。由于月球天梯系統(tǒng)隨月球一起繞地球公轉(zhuǎn)，纜繩上任意一點(diǎn)均具備一定的軌道能量，通過爬升器可將月球上的資源運(yùn)送至月球天梯上一定高度處，釋放后進(jìn)入地球軌道，最終經(jīng)過數(shù)次變軌到達(dá)地球。也可將宇航員和其他載荷由地球軌道經(jīng)過天梯轉(zhuǎn)移至月球，進(jìn)行月球基地建造。

圖1 月球天梯示意Fig.1 System configuration of lunar space elevator

由于受到地球引力、月球引力及公轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力，月球天梯系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)受力平衡。天梯上任意一微元k(可看作質(zhì)點(diǎn))受力情況如圖1下半部分所示。其中，Tk+為k點(diǎn)以上部分對k點(diǎn)施加的向上拉力，Tk-為k點(diǎn)以下部分對k點(diǎn)施加的向下的拉力，F(xiàn)c為公轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力，mkgk為k點(diǎn)由于地月引力產(chǎn)生的重力。若要維持k點(diǎn)受力平衡，所有力的矢量和應(yīng)為零，即Tk++mkgk=Fc+Tk-。

當(dāng)k點(diǎn)位于拉格朗日點(diǎn)L1時(shí)，mkgk=Fc，因此Tk+=Tk-。L1點(diǎn)以下(靠近月球方向)，mkgkTk-；L1點(diǎn)以上，mkgk>Fc，Tk+

2 月球天梯動(dòng)力學(xué)模型

為簡化分析，可將月球天梯等效為由纜繩連接的若干質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 月球天梯等效簡化示意Fig.2 Simplification of lunar space elevator

其中，A為天梯末端連接的質(zhì)點(diǎn)(即配重)，B為天梯與月球表面連接點(diǎn)；OXYZ為原點(diǎn)位于地球質(zhì)心的任一慣性參考坐標(biāo)系，X、Y、Z軸成右手直角坐標(biāo)系。

月球天梯上任意一點(diǎn)在慣性參考坐標(biāo)系OXYZ的動(dòng)力學(xué)方程可描述為[6]

(1)

(2)

式中：μ為地球引力常數(shù)；R為地心指向該點(diǎn)的矢徑；μL為月球引力常數(shù)；r為該點(diǎn)指向月心的矢徑。

根據(jù)式(1)，A點(diǎn)和k點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(3)

為了定量分析月球天梯力學(xué)特性，需做如下假設(shè)：月球運(yùn)行軌道為圓軌道；天梯僅受地球和月球的牛頓引力；地月系統(tǒng)質(zhì)心與地球質(zhì)心的偏差忽略不計(jì)；不考慮纜繩產(chǎn)生的彈性形變?；谏鲜黾僭O(shè)，月球天梯可實(shí)現(xiàn)受力平衡，并隨月球以角速度ω繞地球旋轉(zhuǎn)，動(dòng)力學(xué)方程可進(jìn)一步表示為

(4)

當(dāng)A點(diǎn)位于L1與地球質(zhì)心O連線上，且距離月心足夠遠(yuǎn)或具有較大質(zhì)量時(shí)，纜繩呈拉緊狀態(tài)且與地月連線重合，此時(shí)A點(diǎn)拉力TA：

(5)

式中：uA表示A點(diǎn)對應(yīng)的拉力系數(shù)；u為無量綱拉力系數(shù)：

(6)

式中：χ=r/RL，RL≈384 400 km為月球公轉(zhuǎn)軌道半徑；χ1=r1/RL，r1≈58 021 km為拉格朗日點(diǎn)L1到月球質(zhì)心的距離；ε=μL/μ≈1/81.3為月球與地球質(zhì)量比，可見u為月心距r的函數(shù)。圖3給出了u隨r的變化曲線。

圖3 參數(shù)u和q隨r變化曲線Fig.3 Variations of parameters u and q with r

根據(jù)式(4)可以得到月球天梯內(nèi)部拉力T動(dòng)力學(xué)方程：

(7)

由式(4)可知，T在拉格朗日點(diǎn)L1(r=r1)達(dá)到最大值。r0，r>r1時(shí)dT/dr<0。這一結(jié)論與第1節(jié)受力分析一致。對式(7)進(jìn)行積分，即可得到T的表達(dá)式。在式(7)右端，u為r的函數(shù)，ω為常數(shù)，因此r和ρ為變量。

由式(7)可知，T的變化規(guī)律由r和ρ確定。線密度ρ還可表示為ρ=Sρb，其中S為天梯纜繩的橫截面積，ρb為纜繩材料的體密度。線密度ρ決定了天梯橫截面積變化規(guī)律，從而決定了天梯構(gòu)型。因此，利用式(7)即可計(jì)算不同構(gòu)型天梯的內(nèi)部拉力，在天梯建造總體方案確定過程中，為天梯的構(gòu)型和材料的選擇提供依據(jù)。

3 月球天梯關(guān)鍵特性參數(shù)推導(dǎo)

ρ為常數(shù)時(shí)，表示天梯纜繩為等橫截面積；ρ為變量時(shí)，表示天梯纜繩為變橫截面積。不同構(gòu)型的天梯質(zhì)量、拉力不同，對纜繩材料特性的要求也不同。下面分別進(jìn)行分析。

3.1 等橫截面積天梯(構(gòu)型A)

ρ為常數(shù)時(shí)，天梯纜繩為等橫截面積。式(7)右端變量僅為r，兩端分別進(jìn)行積分可得：

(8)

式中：T1為拉格朗日點(diǎn)L1處的拉力，q：

(9)

由式(9)可知，q也為r的函數(shù)且無量綱，其變化曲線見圖3。

下面討論不加配重時(shí)等橫截面積天梯的長度。將纜繩看做一個(gè)整體，不加配重時(shí)若要實(shí)現(xiàn)平衡，則僅受地月引力和離心力。此時(shí)纜繩A、B端的拉力為零[7]。對于B點(diǎn)(即r=r0處，r0≈1 737.4 km為月球半徑)，由于T=0，可通過式(8)解出T1/ρ：

(10)

將r=r0代入后，得到T1/ρ=σ1/ρb=2.697 6×106(σ1=T1/S，為纜繩在L1處的應(yīng)力，也即纜繩內(nèi)部最大應(yīng)力)。對于A點(diǎn)有：

(11)

將T1/ρ值代入式(11)，即可解出A點(diǎn)對應(yīng)的月心距rA=2.923×105km。則天梯長度L=rA-r0=2.905 6×105km。由上述分析可知，對于不加配重的等橫截面積月球天梯，σ1/ρb為定值，當(dāng)材料一定時(shí)，體密度ρb、可承受的極限應(yīng)力σmax、L1處的應(yīng)力σ1即可確定。若σ1<σmax，則該材料可用作建造月球天梯。表1給出了不同材料對應(yīng)的的ρb、σ1、極限應(yīng)力σmax。

表1 不同材料的密度及應(yīng)力

由表1可見，鋼鐵的σ1可達(dá)到21.3 GPa，σmax僅為5 GPa，不能作為建造材料。同樣，合成纖維σ1>σmax，也不能作為建造材料。而蜂窩狀聚合物和碳毫微管均滿足要求。

3.2 變橫截面積天梯(構(gòu)型B)

由月球天梯內(nèi)部拉力T變化規(guī)律式(7)可知，T隨月心距r變化。若天梯纜繩橫截面積S(或線密度ρ)也隨T按同樣規(guī)律變化，可保證天梯內(nèi)部應(yīng)力σ=σ1=T/S=Tρb/ρ為常值，則有dT=σdS。利用這一條件，將式(7)積分，得到：

(12)

根據(jù)式(12)，ρ和S的變化規(guī)律為

(13)

式中：ρ1和S1分別為拉格朗日點(diǎn)L1處的線密度和橫截面積。

由式(12)、(13)可以看出，T、ρ和S均隨r以指數(shù)形式變化。由等橫截面積天梯內(nèi)部應(yīng)力分析可知，一旦材料確定，σ1即確定，有可能大于材料本身的極限應(yīng)力σmax。而變橫截面積天梯的優(yōu)勢在于，對于特定材料，σ1=T1/S1理論上可設(shè)計(jì)為任意值，考慮一定安全余量，設(shè)計(jì)時(shí)一般將σ1取為σmax/3。

值得注意的是，材料確定后，vt即確定，天梯在L1處的橫截面積S1與月面處橫截面積S0的比：

(14)

不同材料的S1/S0見表1。由表1中結(jié)果可以看出，不同材料對應(yīng)的面積比不同，考慮到可實(shí)施性，不適宜選用面積比過大的材料(如鋼鐵)。

由第3.1節(jié)分析可知，等橫截面積天梯長度為2.905 6×105km。若在天梯終端A施加配重，可在一定程度上減少天梯長度。聯(lián)立式(5)和式(12)，可得配重質(zhì)量mA的表達(dá)式：

(15)

下標(biāo)A表示u、q、r在A點(diǎn)處的取值。將式(13)中的線密度對r積分，得到天梯纜繩質(zhì)量mt的表達(dá)式：

(16)

mA+mt即為天梯總質(zhì)量。

3.3 組合橫截面積天梯(構(gòu)型C)

若天梯在拉格朗日點(diǎn)L1至月面B點(diǎn)之間部分采用變橫截面積，L1至終端A點(diǎn)之間采用等橫截面積，構(gòu)成組合橫截面積天梯。天梯內(nèi)部拉力T為：

(17)

線密度為

(18)

聯(lián)立式(5)和式(8)可得配重質(zhì)量mA的表達(dá)式：

(19)

將式(18)積分，得到天梯纜繩質(zhì)量mt的表達(dá)式：

mt=ρ1(rA-r1)+

(20)

3.4 月球天梯關(guān)鍵參數(shù)對比分析

本節(jié)進(jìn)行變橫截面積天梯(構(gòu)型B)和組合橫截面積天梯(構(gòu)型C)的關(guān)鍵參數(shù)對比。為定量分析，將兩種構(gòu)型的天梯在L1處橫截面積S1取相同值，則二者T1相同。建造材料均選為蜂窩狀聚合物，其特性參數(shù)見表1。

根據(jù)式(12)和式(17)，圖4給出了兩種構(gòu)型天梯內(nèi)部的拉力變化曲線。由于二者T1相同，圖4中對T進(jìn)行了無量綱化處理，縱坐標(biāo)為T/T1。由圖4可見，在月面B點(diǎn)至L1點(diǎn)部分，拉力單調(diào)遞增，到達(dá)L1時(shí)達(dá)到最大值1，隨后單調(diào)遞減。由于B點(diǎn)至L1點(diǎn)部分構(gòu)型一致，兩種天梯這一部分拉力相同。經(jīng)過L1點(diǎn)之后，構(gòu)型C天梯拉力小于構(gòu)型B天梯，二者拉力差隨月心距r增加而增加。

圖4 天梯內(nèi)部拉力變化曲線Fig.4 Tension of space elevator

根據(jù)式(13)和式(18)，圖5給出了兩種構(gòu)型天梯的橫截面積變化曲線。由于二者S1相同，圖5中對S進(jìn)行了無量綱化處理，縱坐標(biāo)為S/S1。由圖5可見，由于B點(diǎn)至L1點(diǎn)部分構(gòu)型一致，兩種天梯這一部分橫截面積相同。經(jīng)過L1點(diǎn)之后，構(gòu)型C天梯橫截面積為恒定值S1，構(gòu)型B天梯橫截面積隨月心距r增加而減小。圖6給出了兩種構(gòu)型天梯的應(yīng)力變化曲線，同樣進(jìn)行了無量綱化處理。由圖6可見，構(gòu)型B天梯應(yīng)力為恒定值；構(gòu)型C天梯應(yīng)力在L1點(diǎn)以下為恒定值，經(jīng)過L1點(diǎn)之后，應(yīng)力隨月心距增加而減小。

根據(jù)式(19)和式(20)，圖7給出了構(gòu)型C天梯的纜繩質(zhì)量mt、配重質(zhì)量mA及總質(zhì)量m。由于天梯長度至少應(yīng)高于L1點(diǎn)才可保持平衡，圖7中給出了L1點(diǎn)高度以上的質(zhì)量變化曲線，并將質(zhì)量做了無量綱化處理，縱坐標(biāo)為m/(ρ1RL)。由圖7可見，天梯長度越長，纜繩質(zhì)量越大，維持平衡所需配重越小。由于配重質(zhì)量起主導(dǎo)作用，天梯總質(zhì)量隨長度增加而減小。構(gòu)型B天梯質(zhì)量特性具有相同特質(zhì)。

圖8給出了構(gòu)型B和構(gòu)型C天梯總質(zhì)量變化曲線。由圖8可見，構(gòu)型C天梯總質(zhì)量略大于構(gòu)型B，二者質(zhì)量差異隨天梯長度增加而增加。

圖5 天梯橫截面積變化曲線Fig.5 Cross sectional area of space elevator

圖6 天梯應(yīng)力變化曲線Fig.6 Stress of space elevator

圖7 構(gòu)型C天梯質(zhì)量Fig.7 Mass of space elevator in type C

下面給出特定天梯長度、橫截面積下構(gòu)型B和構(gòu)型C天梯的特性參數(shù)，材料仍選擇為蜂窩狀聚合物。初始條件如下：ρb=1.7×103kg/m3，σ1=σmax/3=3.17 GPa，S0=0.2 mm2，r=2×105km，L=rA-r0=1.98×105km。

圖8 不同構(gòu)型天梯質(zhì)量對比Fig.8 Mass comparison between different types of space elevator

根據(jù)面積比公式(14)可得S1=0.86 mm2，從而T1=2.72×103N。根據(jù)式(15)、(16)，構(gòu)型B天梯總質(zhì)量m=449.2×103kg，構(gòu)型天梯總質(zhì)量m=456.2×103kg，二者總質(zhì)量相差7×103kg。

3.5 工程應(yīng)用

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，月球天梯的長度由地月間載荷運(yùn)輸?shù)娜蝿?wù)需求給出，可看作月球天梯總體方案設(shè)計(jì)的輸入。長度確定后，即可根據(jù)第3.1～3.3節(jié)推導(dǎo)的關(guān)鍵特性參數(shù)公式進(jìn)行月球天梯總體參數(shù)的確定。月球天梯建造時(shí)，由航天器將天梯纜繩運(yùn)載至拉格朗日點(diǎn)并向月球表面釋放，考慮到航天器的運(yùn)載能力及運(yùn)載成本，應(yīng)盡量降低月球天梯的總質(zhì)量。

由式(15)、(16)、(19)、(20)及圖8可知，月球天梯總質(zhì)量與構(gòu)型、長度、L1點(diǎn)橫截面積相關(guān)，對于相同長度和L1點(diǎn)橫截面積的月球天梯，本文推導(dǎo)的構(gòu)型B比構(gòu)型C具有更低的總質(zhì)量。因此，在確定構(gòu)型時(shí)，應(yīng)選擇可減輕系統(tǒng)總質(zhì)量的構(gòu)型。

當(dāng)天梯長度、構(gòu)型、材料確定后，便可根據(jù)式(12)、(14)、(15)、(16)分別計(jì)算月球天梯系統(tǒng)的內(nèi)部拉力、面積比、纜繩質(zhì)量、配重質(zhì)量以及總質(zhì)量等參數(shù)，從而確定總體設(shè)計(jì)方案。

4 結(jié)束語

本文建立了月球天梯動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了等橫截面積天梯和變橫截面積天梯兩種不同構(gòu)型的動(dòng)力學(xué)方程和質(zhì)量特性方程，進(jìn)行了不同構(gòu)型天梯關(guān)鍵特性參數(shù)的計(jì)算和對比分析。根據(jù)分析結(jié)果，可以得到如下結(jié)論：

月球天梯關(guān)鍵特性參數(shù)與建造材料、天梯構(gòu)型有關(guān)。對于等橫截面積天梯，當(dāng)建造材料確定時(shí)，天梯內(nèi)部最大應(yīng)力一定，這就需要材料可承受的極限應(yīng)力必須大于這一值，因而對材料要求較為嚴(yán)苛。而本文推導(dǎo)的變橫截面積天梯可將最大應(yīng)力設(shè)計(jì)為任意恒定值，降低了對材料極限應(yīng)力的要求，可完全替代等橫截面積天梯。采用變橫截面積構(gòu)型，利用現(xiàn)有材料即可實(shí)現(xiàn)月球天梯的建造。由質(zhì)量特性分析可知，變橫截面積天梯總質(zhì)量小于組合橫截面積天梯，因此為最優(yōu)構(gòu)型方案。

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(編輯：車曉玲)

Research on mechanical characteristics of lunar space elevators

LI Meng*，CHEN Weiyue，YANG Sheng，GAO Xu

InstituteofMannedSpaceSystemEngineering,ChinaAcademyofSpaceTechnology，Beijing100094，China

The mechanical and mass characteristics are determined by the structure of lunar space elevator. Most of current researches about lunar space elevators only focus on combined-cross-section structure. Various structures of lunar space elevators were investigated. To analyze the mechanical and mass characteristics, the dynamic model of the space elevator was established. By supposing the density and stress as constant respectively, two different kinds of lunar space elevators called fixed-cross-section structure and tapered-cross-section structure were obtained and compared.The results show that the maximum stress of tapered-cross-section structure can be designed as any constant value, which reduces the requirement of margin stress of the material. As a result, tapered-cross-section structure also has the least mass, which could be considered as the optimal choice.

lunar space elevator；mechanical characteristics；mass characteristics；combined-cross-section；fixed-cross-section structure；tapered-cross-section；Lagrangian point

10.16708/j.cnki.1000-758X.2016.0030

2015-08-17；

2015-12-29；錄用日期：2016-02-24；

時(shí)間：2016-04-29 10:49:57

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20160429.006.html

李蒙，陳偉躍，楊勝,等.月球天梯力學(xué)特性研究[J].中國空間科學(xué)技術(shù),2016,36(3):63-69.LIM,

CHENWY,YANGS,etal.Researchonmechanicalcharacteristicsoflunarspaceelevators[J].ChineseSpaceScienceandTechnology, 2016,36(3):63-69(inChinese).

V411

A

http:∥zgkj.cast.cn

*通訊作者：李蒙(1984-)，男，工程師，博士，Arahms@foxmail.com，主要研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)