程金元

摘 要：習(xí)題課教學(xué)強(qiáng)調(diào)解題能力的培養(yǎng)和提高，但并不是意味在課堂中或課下要進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)，而是要通過一些具有典型性、全面性的習(xí)題的探究，幫助學(xué)生形成一種學(xué)習(xí)方式，形成探究意識和方法，挖掘習(xí)題中隱藏的各種知識的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系，加強(qiáng)對知識的理解和掌握.

關(guān)鍵詞：習(xí)題課；探究性學(xué)習(xí)；發(fā)散；化歸；引申；變式

習(xí)題課是我們?nèi)粘＝虒W(xué)中很常見的一種課型，它是根據(jù)學(xué)生近期學(xué)習(xí)中對于概念公式性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識模糊，或數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)方法模糊的學(xué)情，特定安排的有針對性的解題教學(xué)課程，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要環(huán)節(jié). 問題是數(shù)學(xué)的心臟，習(xí)題教學(xué)就是教師根據(jù)學(xué)生的平時作業(yè)練習(xí)中暴露的問題引導(dǎo)學(xué)生探究解題的方法和技能，并形成數(shù)學(xué)意識和方法. 通過探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生的思維方式，提升學(xué)生的探究意識和合作意識，激活思維，啟迪智慧，增強(qiáng)學(xué)生的成功感和成就感. 它是新授課的補(bǔ)充和延續(xù)，以達(dá)到進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，形成解題技能、技巧和培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題.

發(fā)散探究，一題多解

發(fā)散探究學(xué)習(xí)是教師在教學(xué)的過程中，指導(dǎo)學(xué)生以類似科學(xué)研究的方法去分析問題、解決問題，獲取知識，形成能力，要求學(xué)生對問題能從不同角度進(jìn)行探索，開闊視野，激活思維，也即是對同一問題盡可能地鼓勵學(xué)生超越常規(guī)，提出多種設(shè)想和解答，一題多解的訓(xùn)練.它不僅可以加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，達(dá)到熟練運(yùn)用的目的，更重要的是擴(kuò)大學(xué)生認(rèn)識的空間，激發(fā)靈感，提高思維的創(chuàng)造性. 如在上完《圓錐曲線》中雙曲線一節(jié)的新課后，教師不妨在習(xí)題課中選擇以下例題學(xué)習(xí)，通過探究性學(xué)習(xí)以達(dá)到既復(fù)習(xí)鞏固舊知，又挑戰(zhàn)高考的目的.

例1 [2014·福建卷]已知雙曲線E：-=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=-2x.

（1）求雙曲線E的離心率.

（2）如圖1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8. 試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由.

分析（1）：已知漸近線求雙曲線的離心率，一般學(xué)生會想到利用離心率公式直接解題，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，聯(lián)想其變形公式，會自然產(chǎn)生另一種解法.發(fā)散思維，使學(xué)生既掌握知識，又形成常見的解題方法.

解：方法一：（1）雙曲線E的漸近線分別為y=2x，y=-2x，

故=2，所以=2，所以c=a，所以e==.

方法二：e=====.

第（2）問本身的高考要求就是探究，要求考生在有限的時間內(nèi)，根據(jù)題意及所學(xué)知識探究發(fā)現(xiàn)結(jié)論，這種要求只有在平時的習(xí)題課中加強(qiáng)訓(xùn)練，不斷提升學(xué)生探究意識，優(yōu)化學(xué)生探究方法，才能達(dá)到.

（2）存在這樣的雙曲線E，使得總與l有且只有一個公共點(diǎn). 理由如下：由（1）知，雙曲線E的方程為-=1. 探究方法，先特殊后一般. 先考慮特殊情況，即直線l與雙曲線E在右頂點(diǎn)相切.不妨設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C.

當(dāng)l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn)，則

若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為-=1.

所以Δ=0，即l與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn).

因此，存在總與l有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為-=1.

以上教師對同一問題盡可能地鼓勵學(xué)生超越常規(guī)探究，提出不同的設(shè)想和解答，從而一題多解，不僅可以加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，達(dá)到熟練運(yùn)用的目的，更重要的是擴(kuò)大學(xué)生認(rèn)識的空間，激發(fā)靈感，提高思維的創(chuàng)造性.

方法二：（1）同方法一.

（2） 當(dāng)l⊥x軸時，S△OAB=8，可得l：x=2，且l與雙曲線E：-=1有且只有一個公共點(diǎn).

當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，與漸近線4x2-y2=0交于A（x1，y1），B（x2，y2），依題意得k>2或k<-2.

化歸轉(zhuǎn)化，多題一解

化歸與轉(zhuǎn)化是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法. 學(xué)生在探究學(xué)習(xí)中研究或解決問題的過程中，通過觀察、類比、聯(lián)想、分析、對比等手段，將待解決的問題歸結(jié)轉(zhuǎn)換成已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，其目的就是將數(shù)學(xué)中的問題由復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，陌生新鮮的轉(zhuǎn)化為熟悉成熟的. 運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化探究時要遵循化繁為簡、化生為熟、等價轉(zhuǎn)換、正難則反、形象具體等原則. 如在學(xué)習(xí)完圓錐曲線一節(jié)后，習(xí)題中出現(xiàn)有多種不同類型曲線中點(diǎn)弦問題，教師不妨就這種問題設(shè)專題上習(xí)題課.

例2 已知雙曲線方程2x2-y2=2.

（1）過定點(diǎn)P（2，1）作直線交雙曲線于P1，P2，當(dāng)點(diǎn)P（2，1）是P1，P2中點(diǎn)時，求此直線方程.

（2）過定點(diǎn)Q（1，1）能否作直線l，使l與此雙曲線交于Q1，Q2，且Q是Q1Q2的中點(diǎn)？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.

此類題有很多解法，其中比較優(yōu)化的方法是“設(shè)點(diǎn)作差法”，即設(shè)弦與二次曲線的交點(diǎn)為（x1，y1），（x2，y2）代入二次曲線方程，通過作差，結(jié)合斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，“設(shè)而不求”求直線方程的一種方法. 但也可以用“對稱變換”法求解，具體如下：

解：（1）若直線斜率不存在，即P1，P2垂直于x軸，根據(jù)雙曲線的對稱性，知弦P1，P2的中點(diǎn)應(yīng)該在x軸上，而點(diǎn)P（2，1）不在x軸上，故直線的斜率存在.

設(shè)雙曲線方程2x2-y2=2①上一動點(diǎn)為（x，y），則該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P（2，1）的對稱曲線為

2（4-x）2-（2-y）2=2②，①-②得，2x-y-7=0，此為所求曲線方程.

“對稱變換”解法轉(zhuǎn)化策略為：若以點(diǎn)P（a，b）為中點(diǎn)的二次曲線分f（x，y）=0①的弦存在，則它關(guān)于P（a，b）的中心對稱曲線為f（2a-x，2b-y）=0②，①-②得到的方程即是以點(diǎn)P（a，b）為中點(diǎn)的弦所在的直線的方程.

這種轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，使學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)解決第二問的辦法.

中點(diǎn)弦問題（含中點(diǎn)弦所在直線方程，弦中點(diǎn)軌跡問題）都可以轉(zhuǎn)化這種方法解決，當(dāng)然，除此之外，還可以用“待定系數(shù)法”、“設(shè)點(diǎn)作差法”.

以下題目均為多題一解：

例3 已知拋物線y2=8x，過點(diǎn)P（4，1）作一直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，試求弦AB的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P的AB所在直線方程.

例4 求過橢圓+=1內(nèi)一點(diǎn)P（2，-1）且被點(diǎn)P平分的弦AB的所在的直線方程.

引申推廣，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

這一環(huán)節(jié)可設(shè)計與本節(jié)知識有密切聯(lián)系的綜合應(yīng)用題，使學(xué)生通過練習(xí)明確本節(jié)知識點(diǎn)在整個單元數(shù)學(xué)中的作用，為拓展學(xué)生智能進(jìn)行教學(xué)擴(kuò)充、知識延伸. 教師要在課前精心設(shè)計教學(xué)過程，從學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣出發(fā)，使學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)好的問題情境下，帶有激勵性和挑戰(zhàn)性地進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，達(dá)到認(rèn)知過程和情感過程的統(tǒng)一，達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)、學(xué)會方法、訓(xùn)練能力、培養(yǎng)素質(zhì)的目的. 還是以中點(diǎn)弦問題為例.

例5 橢圓+=1（a>b>0）弦AB的中點(diǎn)P（x0，y0），則弦AB與OP斜率之積為e2-1（斜率存在且不為0）.

運(yùn)用“設(shè)點(diǎn)作差法”，學(xué)生不難探究出以下結(jié)論：

通過探究，師生發(fā)現(xiàn)優(yōu)美的公式定理. 然后，教師再利用以上結(jié)論，解決例4. 達(dá)到舉一反三，回避題海戰(zhàn)術(shù)的目的.

變式遷移，訓(xùn)練求同

學(xué)生對知識和技能的掌握，有時要經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練才能熟練應(yīng)用. 教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對知識的變式訓(xùn)練，達(dá)到對本節(jié)練習(xí)知識熟練理解并形成正確遷移的功效. 只有在變式比較中，學(xué)生才能學(xué)會求同存異，才能學(xué)會一分為二地認(rèn)識問題、分析問題、解決問題. 在變式中比較，從而突出教學(xué)重點(diǎn)，突破破教學(xué)難點(diǎn)，避免新舊知識間的混淆，提高學(xué)生知識的遷移能力，培養(yǎng)學(xué)生的反思能力. 變式訓(xùn)練探究，還應(yīng)該通過對原題目的變化延伸出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題，從而深刻挖掘例題、習(xí)題的教育功能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

例2變式拓展1

已知斜率為3的直線與等軸雙曲線x2-y2=6相交于P1，P2，求PP的中點(diǎn)P的軌跡方程.

例2變式拓展2

已知橢圓+=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓上存在兩個不同的點(diǎn)關(guān)于該直線對稱.

例3的變式1

已知拋物線y2=2x，過點(diǎn)P（2，1）作一直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，試求弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.

例3的變式2

已知拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對稱，試求k的取值范圍.

限于篇幅，部分例題及變式解法省略.總之，習(xí)題課探究中離不開發(fā)散、轉(zhuǎn)化、引申、變式訓(xùn)練，由此促進(jìn)學(xué)生遷移. 建構(gòu)主義認(rèn)為，遷移是認(rèn)知結(jié)構(gòu)在新條件下的重新建構(gòu)，當(dāng)一種學(xué)習(xí)對另一種遷移起促進(jìn)作用就是正遷移，否則就是負(fù)遷移，這種習(xí)題教學(xué)中探究就是要充分使學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維從模仿向創(chuàng)造的轉(zhuǎn)移，由單向思維向多元思維的過度，形成正遷移，同時使學(xué)生不僅掌握知識，形成技能，而且提升數(shù)學(xué)思維水平，優(yōu)化思維方法.