函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)中核心內(nèi)容，其概念以及反應(yīng)函數(shù)思想方法早已滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)領(lǐng)域，逐漸成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具。其中二次函數(shù)的最值問題在中學(xué)數(shù)學(xué)試題是常考不衰，這類題型主要考查學(xué)生解題技巧，多以壓軸題形式存在于各類考卷當(dāng)中。因此有必要研究區(qū)間范圍內(nèi)求二次函數(shù)最值、含有字母系數(shù)的二次函數(shù)最值問題及日常生活中二次函數(shù)求解問題，望給學(xué)生提供一些參考幫助。

1 區(qū)間范圍內(nèi)求二次函數(shù)最值

初中函數(shù)學(xué)習(xí)中難度最大的問題之一即區(qū)間范圍內(nèi)的二次函數(shù)最值問題，除了要求學(xué)生掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)還要求學(xué)生具備一定的應(yīng)用技巧。通常在一般情況下，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），在頂點(diǎn)處取最值，即當(dāng) 時(shí)，較易求解其最值為 ，在這種情況下求解二次函數(shù)最值問題相對(duì)簡單，尤其限定了x的取值范圍，例如當(dāng)對(duì)稱軸不在自變量x的取值范圍內(nèi)時(shí)，求解最值比較麻煩，針對(duì)上述情況需分情況討論并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、圖像進(jìn)行求解。

1.1 定軸定區(qū)間

定軸定區(qū)間指函數(shù)區(qū)間、對(duì)稱軸均為固定，一般求解此類問題相對(duì)簡單，只需根據(jù)函數(shù)圖像可判斷最大值和最小值。

例如：求二次函數(shù) 在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值。

解析：二次函數(shù)的最值在閉區(qū)間上可能出現(xiàn)在閉區(qū)間的端點(diǎn)上，也有可能出現(xiàn)在函數(shù)的頂點(diǎn)上，該二次函數(shù)的開口向上，不管是在頂點(diǎn)還是兩個(gè)端點(diǎn)都有可能取得結(jié)果，同時(shí)還可根據(jù)區(qū)間范圍以及函數(shù)對(duì)稱軸畫出函數(shù)圖像，觀察函數(shù)圖像可得知最小值和最大值的問題，最后根據(jù)解析式可得知對(duì)稱軸為x=1，觀察圖可得知其最大值在 取得，即 ，最小值應(yīng)在x=1處取得，即 。

1.2 定軸動(dòng)區(qū)間

定軸動(dòng)區(qū)間指可以確定函數(shù)的對(duì)稱軸，然而不能確定其閉區(qū)間，區(qū)間內(nèi)有變量存在，一般這類問題主要查考學(xué)生是否清楚區(qū)間及其對(duì)稱軸之間的相對(duì)位置關(guān)系。

例如，求y= -x2+2x-2在區(qū)間[t，t+1]的最大值和最小值

解析：該例題為函數(shù)的區(qū)間為變量，要求在解題過程中進(jìn)行分類討論，根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離關(guān)系同時(shí)利用函數(shù)圖像確定最大值和最小值的取值點(diǎn)。根據(jù)原函數(shù)可得知，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x=1，當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間的右側(cè)時(shí)即t+1<1時(shí)，當(dāng)x=t+1時(shí)，ymax = -t2-1，當(dāng)x=t時(shí)，ymin = -t2+2t-2，當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)時(shí)讀者可以自己嘗試去求，當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間范圍內(nèi)，即 時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，ymax = -1，當(dāng)x=t+1時(shí)，ymin = -t2-1。

2 系數(shù)含有字母的二次函數(shù)最值問題

二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)的一般表達(dá)式為 ，當(dāng)系數(shù)a、b、c中存在變動(dòng)系數(shù)時(shí)，通常這種情況下二次函數(shù)特指為含“字母系數(shù)”的二次函數(shù)，函數(shù)值y的取值會(huì)受系數(shù)取值變化影響。處理此類二次函數(shù)最值問題會(huì)將字母看作常數(shù)，通過求解出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式并結(jié)合自變量的變化，最后分類討論求解。

例如：已經(jīng)二次函數(shù) ，分別求（1） <-2；（2）-2≤a≤2.（3）a>2三種情況時(shí)，求函數(shù)的最大值。

解析：根據(jù)題設(shè)可得知，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

首先當(dāng) <-2，即 <-1，即 ，在-1≤x≤1上為單調(diào)遞減函數(shù)，則當(dāng)x=-1時(shí)，其函數(shù)最大值為-1-a.

其次，-2≤a≤2，即-1≤ ≤1時(shí)，則二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在-1≤x≤1范圍內(nèi)，則 時(shí)，函數(shù)最大值為 。

總而言之，在確定自變量范圍情況時(shí)求解最值主要針對(duì)字母系數(shù)a的取值范圍，之后再結(jié)合二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)展開分析，判斷自變量范圍和頂點(diǎn)之間的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)在一定區(qū)間范圍內(nèi)單調(diào)性，從而判斷出最值，也可畫出圖形進(jìn)行直觀性討論，進(jìn)一步提高解題效率。

3 二次函數(shù)在日常生活實(shí)際應(yīng)用

日常生活中利潤最大、耗費(fèi)最低及材料最省的問題常常和二次函數(shù)的最值問題掛鉤，由于此類問題的背景以日常生活實(shí)際和社會(huì)熱點(diǎn)為主，因此一直是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

例：某服裝店正在銷售市場上流行的彈力褲，此彈力褲店主進(jìn)價(jià)為40元1條，出售則以60元1條，每周銷量300條，經(jīng)市場調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，每條彈力褲價(jià)格上漲1元，每周銷量減少10條，那么每條褲子價(jià)格下降1元，一周銷量則會(huì)增加18件，求該彈力褲每條定價(jià)多少才可讓店家盈利。

解析：根據(jù)題目本意應(yīng)分兩種情況討論，即價(jià)格上漲和價(jià)格下降

首先，價(jià)格上漲，設(shè)每條褲子漲價(jià)x元，

則每周銷售利潤

則當(dāng)

其次，價(jià)格下降，設(shè)每條褲子降價(jià)x元，

則每周銷售利潤為

則當(dāng) 時(shí)，

得知，當(dāng)彈力庫定價(jià)為65元時(shí)，利潤最大。

（作者單位：深圳市百合外國語學(xué)校）