著名心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為“科學(xué)知識(shí)永遠(yuǎn)在演進(jìn)中，它是一個(gè)不斷構(gòu)造和改組的過(guò)程”。新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)觀念就是接受這種辯證的認(rèn)識(shí)，而學(xué)習(xí)過(guò)程可以看成是信息加工的過(guò)程，是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組過(guò)程，而不是單純地積累知識(shí)的過(guò)程。因此高中的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)該注重學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建，引導(dǎo)學(xué)生逐步形成科學(xué)的思維方式和思維習(xí)慣，進(jìn)而發(fā)展各種數(shù)學(xué)能力。教師應(yīng)把這種觀念滲透到平時(shí)的教學(xué)中，充分地挖掘教材知識(shí)背后所蘊(yùn)涵的思維方式、方法，特別是對(duì)一道習(xí)題的再推廣，更能讓學(xué)生真正主動(dòng)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，切實(shí)發(fā)揮新課標(biāo)在新時(shí)期教學(xué)改革中的科學(xué)性、引領(lǐng)性，使學(xué)生在新課改中獲得能力的提高.下面通過(guò)幾道習(xí)題的再研究加以說(shuō)明。

例題一：橢圓S： ，左焦點(diǎn)為 ，過(guò)點(diǎn) 作一斜率大于零的直線 與S交于 兩點(diǎn)，延長(zhǎng) 交橢圓S于C.

（1）求S的離心率；（2）若 ，求直線 的斜率；

（3）由（2），能否得出本題的推廣結(jié)論，并加以證明。

解：（1）離心率為 ，過(guò)程略；

（2）直線 的方程為 （ ），代入S的方程并整理得

（3）本題結(jié)論可推廣為“橢圓S： 的左焦點(diǎn)為 ，過(guò)點(diǎn) 做斜率為正的直線交橢圓S于 兩點(diǎn)，延長(zhǎng) 交橢圓S于C，則 與 的傾斜角互余。

證明：直線 的方程為 （ ），

代入S的方程并整理得

等價(jià)結(jié)論1：“橢圓S： 的左焦點(diǎn)為 ，過(guò)點(diǎn) 做動(dòng)直線交橢圓S于 兩點(diǎn)，延長(zhǎng) 交橢圓S于C，則直線AB與直線MC的傾斜角互補(bǔ)（關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)）；

等價(jià)結(jié)論2“過(guò)橢圓S： 的左焦點(diǎn) 做動(dòng)直線交S于 兩點(diǎn)，A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，則直線BC與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)（ ；

等價(jià)結(jié)論3：“過(guò)點(diǎn) 做動(dòng)直線交橢圓S： 于 兩點(diǎn)，A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，則直線BC恒過(guò)S的左焦點(diǎn) ；

………………

例題二：設(shè) 是數(shù)列 的前n項(xiàng)和，對(duì)任意 總有

.

① 求數(shù)列的 通項(xiàng)公式 ；② 試比較 與 的大小；

③當(dāng) 時(shí)，試比較 與 的大小.

拓展1：已知等差數(shù)列 的首項(xiàng) ，公差 ，前n項(xiàng)和為 ，設(shè)m，n，p∈N*，且 （1）求證： ；（2）求證： ；

（3）若 ，求證：

拓展2：首項(xiàng)為 的正項(xiàng)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， 為非零常數(shù)，已知對(duì)任意正整數(shù) ，

總成立.

（2）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列；

（2）若不等的正整數(shù) 成等差數(shù)列，試比較 與 的大?。?/p>

（3）若不等的正整數(shù) 成等比數(shù)列，試比較 與 的大小.

解：（1）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù) ， 總成立，

在教學(xué)中精心研究各類(lèi)習(xí)題的解答，重視課本習(xí)題例題的輻射作用，重視課本習(xí)題的研究對(duì)學(xué)生分析能力和解題能力都是非常有利的，對(duì)于教師自身能力的提高也起了重要作用.

（作者單位：福建省泉州市德化第一中學(xué)）