☉江蘇省無錫市南長實驗中學(xué)　胡曉紅

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理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的變式教學(xué)嘗試

☉江蘇省無錫市南長實驗中學(xué)胡曉紅

現(xiàn)代教育強調(diào)“知識結(jié)構(gòu)”與“學(xué)習(xí)過程”，目的在于發(fā)展學(xué)生的思維能力，而把知識作為思維過程的材料和媒介，把掌握知識、技能作為中介來發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)才符合素質(zhì)教育的基本要求.教師“理解數(shù)學(xué)”的目的是讓學(xué)生“理解數(shù)學(xué)”，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù).初中是學(xué)生的學(xué)習(xí)能力及創(chuàng)新和思維能力培養(yǎng)的關(guān)鍵階段，具有較強的可塑造性，這一階段創(chuàng)新意識、思維能力的培養(yǎng)，為學(xué)生以后的發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ).因此，開發(fā)初中生的思維潛能，提高思維品質(zhì)，具有十分重大的意義，而變式教學(xué)恰好提供了一個非常好的途徑——為了達到“理解數(shù)學(xué)”的效果，變式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用就顯得尤為重要.實際上變式教學(xué)作為連接雙基與創(chuàng)新、知識與思維的紐帶，已經(jīng)被大多數(shù)教師在課堂上廣泛應(yīng)用.下面筆者就簡單地談一下在教學(xué)中運用變式教學(xué)的一點嘗試.

一、理解教學(xué)內(nèi)容間的聯(lián)系，在概念體系中理解概念

在概念學(xué)習(xí)中，利用變式啟發(fā)學(xué)生積極觀察、分析、歸納，培養(yǎng)學(xué)生正確概括的思維能力.從培養(yǎng)學(xué)生思維能力的要求來看，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時提示其內(nèi)涵與外延，比數(shù)學(xué)概念的定義本身更重要，所以在形成概念的過程中，可以利用變式引導(dǎo)學(xué)生積極參與形成概念的全過程，利用變式讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)不同概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，通過多樣化的變式提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析及概括能力和思維的嚴謹性.

一節(jié)課的教學(xué)效果最終會如何，新知引入的方法起著關(guān)鍵作用，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)亦是如此.在數(shù)學(xué)概念引入時就讓學(xué)生接受變式訓(xùn)練，既可以拉近現(xiàn)實與概念兩者的距離，也可以讓學(xué)生對概念的最初印象更加準(zhǔn)確和全面理解.

數(shù)學(xué)概念是一種延伸性比較強的理論知識，并且每一條概念都具有其自身的理論界限，只有使學(xué)生能夠深入理解和掌握概念的規(guī)律，才能在實際應(yīng)用中判斷對象是否屬于該界限范圍內(nèi).所以說，實施變式教學(xué)的最佳措施就是將數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化延伸為變異空間，以其對象為主要變式，并通過對擁有統(tǒng)一屬性但類型不同的變式進行對比，從而突出該變式的特性.

問題：如圖1，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊，在AB的同側(cè)作兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是_______.

圖1

思路1：代數(shù)法——建立函數(shù)關(guān)系式求解.

解法1：設(shè)AC=x，則BC=2-x.

由△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，得∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=（2-x），所以∠DCE=90°.

則DE2=DC2+CE2=2=（x-1）2+1.

則當(dāng)x=1時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

思路2：幾何法——利用“垂線段最短”求解.

解法2：如圖2，延長AD、BE交于點G，連接CG，則△AGB為等腰直角三角形，四邊形GDCE為矩形，則DE=GC.

圖2

評注：此解法通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將DE轉(zhuǎn)化為GC，利用“垂線段最短”直接求解，避免了復(fù)雜的代數(shù)運算，較為簡潔.

二、理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，弄清來龍去脈

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認知不透徹，不能揭示問題的本質(zhì)，造成思維的不完整性和模糊性，影響思維的發(fā)散創(chuàng)新性和聚合能力.如學(xué)生在解題過程中對某些解題方法的認知只是停留在表面上的理解，沒抓住解題方法的實質(zhì)，從而造成不能靈活應(yīng)用的情況，這時可利用一題多解、一題多變、多題一解來設(shè)計變式題.回到上面的問題，從本質(zhì)上進行深入挖掘，問題的解決會更直觀.

解法3：如圖3，作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，DH⊥EG于H，則DH=FG=AB=1.

圖3

顯然DE≥DH，故DE的最小值為1.

評注：此解法通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，利用“垂線段最短”直接求解，十分簡潔.通過教師不斷地點撥，揭示了知識的發(fā)生過程，把學(xué)生的思維自然地引到了知識發(fā)生和形成的軌道中，激發(fā)了學(xué)生積極觀察、思考.在探索最佳解法中培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.此時，為了提高對數(shù)學(xué)的理解水平，我們應(yīng)當(dāng)跳出問題的固然模式，從更加全面的角度來審視這個問題的結(jié)構(gòu)和特點，于是在此基礎(chǔ)上進行深入研究.

變式1：如圖4，將原題中的兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE換成等邊三角形，DE的長還存在最小值嗎？如果存在，怎樣求DE長的最小值呢？

圖4

仿上面解法1，可得答案.

解：設(shè)AC=x，則CD=x，CE=BC=2-x.作DH⊥CE于H，則CH=

則DE2=DH2+HE2=3（x-1）2+1.

則當(dāng)x=1時，DE2取得最小值，即DE取得最小值，最小值為1.

仿解法3，還可簡潔求解.

解：如圖5，作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，DH⊥EG于H，則DH=

圖5

顯然DE≥DH，故DE的最小值為1.

變式2：如圖6，將原題中的等腰直角三角形△ACD和△BCE換成分別以AC、BC為底的等腰三角形，DE的長還有最小值嗎？怎樣求DE長的最小值呢？

本題仿解法1、解法2均難以求解，但仿解法3，依然能簡潔求解.

解：作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，DH⊥EG于H，則DH=FG=

圖6

顯然DE≥DH，故DE的最小值為1.

一道練習(xí)，如果教師不進行深度加工，廣度挖掘，學(xué)生得到的收獲是有限的，解題思維也會逐步定勢，再加上講不得法，還會使學(xué)生產(chǎn)生錯誤的思維定勢，若對例題的條件、結(jié)論進行變化，或改變題目的陳述，將會產(chǎn)生一種“新情景”，在此情景下進行變式訓(xùn)練，則對學(xué)生準(zhǔn)確掌握知識與方法，提高他們的變通能力和創(chuàng)造性，促進認知結(jié)構(gòu)的內(nèi)化是相當(dāng)有益的，于是提升層次的目標(biāo)已經(jīng)達到.

三、理解數(shù)學(xué)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法

一般地，數(shù)學(xué)思想是對教學(xué)對象的本質(zhì)認識，是對具體的數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律方法等的認識過程中概括的基本觀點和基本想法，對數(shù)學(xué)活動具有普遍的指導(dǎo)意義.從上述問題中不難看出解法3利用“垂線段最短”直接求解具有一般性，同時仿解法3不難得到下列兩個命題.

推廣1：設(shè)線段AB的長為a，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為底邊，在AB的同側(cè)作兩個等腰三角形△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是a.

推廣2：設(shè)線段A2B1的長為a，C為A1B1上一個動點，分別以A1C、B1C為邊，在A1B1的同側(cè)作兩個正（2n+1）邊形A1A2…A2nC和B1B2…B2nC，那么An+1Bn+1長的最小值是a.

從上面這一系列的題目中，大家不難看出，一題多解，有利于溝通各知識的內(nèi)涵和外延，深化知識，培養(yǎng)發(fā)散性和創(chuàng)造性思維；多解歸一，有利于提煉分析問題和解決問題的通性、通法，從中擇優(yōu)，培養(yǎng)學(xué)生的聚合思維能力.從思維理論上看，一題多變是命題和解題方法的同時發(fā)散，一題多解是命題角度的集中、解法角度的發(fā)散，多題一解則是命題角度的發(fā)散、解法角度的集中，它能訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的集中思維，揭示各方面知識的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，從而加深對各方面的理解和運用，使知識融會貫通.

變式教學(xué)可以促使學(xué)生的思維向多層次、多方向發(fā)散，幫助學(xué)生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現(xiàn)教學(xué)過程中教師與學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動的過程，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，主動地參與教學(xué)的全過程，培養(yǎng)學(xué)生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實處.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范學(xué)大出版社，2012.

2.呂愛生.一則數(shù)學(xué)問題的解法再探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（10）.