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生長型構(gòu)架下實數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實踐與思考

☉江蘇省南京市寧海中學(xué)分校卜以樓

近日，筆者在“第39屆浙派名師暨全國初中數(shù)學(xué)名師經(jīng)典課堂教學(xué)藝術(shù)展”活動中，演繹了一節(jié)“實數(shù)”復(fù)習(xí)課.這節(jié)課以生長型構(gòu)架為理念，智慧地、立體地呈現(xiàn)數(shù)系及其運算發(fā)生、發(fā)展的過程，不留痕跡地再創(chuàng)數(shù)學(xué)運算發(fā)展進(jìn)程，由淺入深，由易到難，循序漸進(jìn)展開教學(xué)活動，為單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)打開了一個創(chuàng)新的通道.本文擬對這節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)價值、活動設(shè)計及實踐反思作一個簡單梳理，現(xiàn)與同仁們交流，以期得到更多、更好單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)成果.

一、生長理念下復(fù)習(xí)課的價值判斷

1.對教材體系編排的基本認(rèn)識

實數(shù)這部分內(nèi)容，在不同的版本中被安排在不同的學(xué)段、不同的章節(jié).如“青島版”安排在八（下），將“實數(shù)”安排在“勾股定理”之前.“蘇科版”“北師大版”“湖南版”“華師大版”“湖北版”等都安排在八（上），且“蘇科版”“北師大版”將“實數(shù)”安排在“勾股定理”之前，“湖南版”“華師大版”“湖北版”將“實數(shù)”安排在“勾股定理”之后.“人教版”“上教版”“上科版”等將“實數(shù)”安排在七（下），且都將“實數(shù)”安排在“勾股定理”之前.只有“浙教版”將“實數(shù)”安排在七（上），將“實數(shù)”安排在“有理數(shù)的概念”和“有理數(shù)的運算”之后，成為初一學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第三章內(nèi)容.

教材這樣安排各有千秋.將“實數(shù)”安排在八（下），能讓學(xué)生在已有“勾股定理”這個知識貯備和經(jīng)歷過三個學(xué)期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗積累下，更加深刻地認(rèn)識實數(shù).安排在八（上）并且將“實數(shù)”編排在“勾股定理”之后，也是為了讓學(xué)生用正方形的面積和勾股定理這兩個路徑來認(rèn)識實數(shù).安排在八（上）和七（下）并且將“實數(shù)”編排在“勾股定理”之前，則是為了讓實數(shù)為運用勾股定理解決問題提供必備的知識支撐.而安排在七（上），讓“實數(shù)”成為初一學(xué)生學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)的第三章內(nèi)容，這樣的編排，可以讓學(xué)生借助剛學(xué)完的有理數(shù)系，自然地將數(shù)集延伸到無理數(shù)系、實數(shù)系，符合最近發(fā)展區(qū)理論和知識系統(tǒng)化理念，唯一不足的是剛上初一的學(xué)生認(rèn)知心理和知識基礎(chǔ)對研究實數(shù)來說略顯稚嫩.

2.對實數(shù)復(fù)習(xí)課教學(xué)的價值分析

“如果說新授課是數(shù)學(xué)教學(xué)的‘畫龍’之作，那么復(fù)習(xí)課則是‘點睛’之處.而在實際教學(xué)中，復(fù)習(xí)課往往上成了新授課的再現(xiàn)，時有‘炒冷飯’之嫌，影響了復(fù)習(xí)課的效益，阻礙了學(xué)生在復(fù)習(xí)課上進(jìn)一步發(fā)展”［1］.基于上述對教材編排體系的認(rèn)識、浙教版教材的編排特點及復(fù)習(xí)課功能，對浙教版教材下實數(shù)復(fù)習(xí)課的價值作如下分析.

（1）讓學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)歷成長.

實數(shù)這一章內(nèi)容，知識比較零散，它有開方運算、方根概念、無理數(shù)和實數(shù)概念及分類、實數(shù)的表示方法、實數(shù)的運算、近似數(shù)及估算等知識.這些知識如果處理得不好，那么就只是新授課的一個機(jī)械重復(fù)，學(xué)生只能在已有的知識上團(tuán)團(tuán)轉(zhuǎn)，不會在更高的思維層次上得到更好的發(fā)展，特別是對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，他們基本上得不到更多的收獲，而對于基礎(chǔ)相對薄弱的學(xué)生，也只能是在復(fù)習(xí)的過程中靠記憶來獲取一些零散的知識，這樣的復(fù)習(xí)顯然不會出現(xiàn)理想的效果.

筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)課除了要對所學(xué)的知識進(jìn)行查漏補缺，還要讓學(xué)生所學(xué)的知識結(jié)構(gòu)化，以凸顯“讓學(xué)生又一次發(fā)展”的教學(xué)理念.如何在教學(xué)中實踐這一理念，需要教師智慧地整合教學(xué)資源.就浙教版教材下實數(shù)復(fù)習(xí)這一內(nèi)容而言，一是要根據(jù)初一學(xué)生知識貯備有待進(jìn)一步提升的教學(xué)實際，有效選擇學(xué)材；二是要根據(jù)學(xué)生剛進(jìn)入初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起步階段，學(xué)生身心與初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要進(jìn)一步調(diào)整的教學(xué)實際，合理選擇方法.根據(jù)這兩個基本訴求，“數(shù)系及其運算”這一能夠讓學(xué)生成長的主題進(jìn)入了筆者的教學(xué)視野.即讓學(xué)生根據(jù)小學(xué)學(xué)習(xí)過的加法、減法、乘法、除法和初中剛學(xué)習(xí)過的乘方、開方這六種運算，經(jīng)歷數(shù)及其運算的發(fā)生、發(fā)展進(jìn)程，感受數(shù)系的擴(kuò)展過程，讓學(xué)生與數(shù)學(xué)知識一起成長，并在此過程中感受無理數(shù)的本質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)的發(fā)展與人的思維發(fā)展的協(xié)同性、一致性與和諧性.

（2）讓數(shù)學(xué)思維講述故事.

數(shù)學(xué)教學(xué)在某種程度上說就是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動就是用數(shù)學(xué)思維講述數(shù)學(xué)故事，凸顯數(shù)學(xué)主題，體悟數(shù)學(xué)道理，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課上有數(shù)學(xué)的獲得感.可以這樣認(rèn)為，講述數(shù)學(xué)故事就是構(gòu)建一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，也是“一個思維層層遞進(jìn)、論證步步為營、收獲粒粒歸倉的學(xué)習(xí)場”［1］.要讓課堂講述數(shù)學(xué)故事，那么就必須設(shè)計好一條主線，在這條主線上來開展數(shù)學(xué)思維活動，上述確定的“數(shù)系及其運算”這一主線恰好能擔(dān)負(fù)起這樣的教育功能.數(shù)的運算，從結(jié)果上看，往往能達(dá)到“數(shù)怎么又不夠用”的思維效果，這正是數(shù)學(xué)思維所要講述的數(shù)學(xué)故事.

（3）讓復(fù)習(xí)課堂走向遠(yuǎn)方.

怎樣讓復(fù)習(xí)課上得有新意、有品位，怎樣讓復(fù)習(xí)課走向遠(yuǎn)方？這是個值得探究的“老”課題.筆者認(rèn)為，堅守“讓復(fù)習(xí)課不再是新授課的機(jī)械重復(fù)，而是復(fù)習(xí)課的思維提升；不再是復(fù)習(xí)課的平面增長，而是活動課的理性探究；不再是活動課的單一探究，而是數(shù)學(xué)課的光芒萬丈”［1］的教學(xué)理念，并不斷踐行這些理念，才能使復(fù)習(xí)課走向遠(yuǎn)方.就這節(jié)課來說，不應(yīng)是些散件的簡單堆砌，而應(yīng)是知識的邏輯生成，讓學(xué)生感受無理數(shù)、實數(shù)與以前學(xué)過的有理數(shù)一樣，它是實實在在、真真切切存在的，讓學(xué)生明白無理數(shù)、實數(shù)究竟是一些什么樣的數(shù)，讓學(xué)生會用無理數(shù)、實數(shù)去解決問題，讓學(xué)生運用無理數(shù)、實數(shù)去講新的數(shù)學(xué)故事.能做到這些，就是將學(xué)生從課堂中帶向遠(yuǎn)方，這樣的課堂就有范兒.

二、價值判斷下實數(shù)復(fù)習(xí)課的構(gòu)架

基于上述的教育理念，筆者在教學(xué)中設(shè)計了下列教學(xué)活動，來凸顯實數(shù)這節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)價值.

開頭話：今天和同學(xué)們復(fù)習(xí)第三章“實數(shù)”這一內(nèi)容.這節(jié)課老師為同學(xué)們準(zhǔn)備了一張長方形的紙片，現(xiàn)在我們就從這小小的長方形紙片開始這節(jié)課的復(fù)習(xí)之旅.

【設(shè)計意圖】開門見山，直接點明這節(jié)課需要復(fù)習(xí)的內(nèi)容，需要借助的載體，需要解決的問題，讓學(xué)生心中有數(shù)，讓目的更明確.

活動1如下所示.

回憶與思考：如圖1，一張長方形紙片，長為1.5，寬為1.

圖1

問題1：長與寬的和是多少？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生用加法來解決這個問題，并通過下列預(yù)設(shè)生成中的追問，開始本節(jié)課的行程之旅，以此來講述思維故事.

【生成預(yù)設(shè)】如果學(xué)生回答是2.5，可追問學(xué)生，你是怎么得到這個結(jié)果的.待學(xué)生說出1.5+1=2.5時，再追問，你能將這個算式用字母表示出來嗎？逼學(xué)生得到a+b=c.繼續(xù)追問，在這個算式中，如果知道c和a（或b），求b（或a），該如何列式計算呢？逼學(xué)生得到算式c-a=b（或c-b= a），再繼續(xù)追問，加法的結(jié)果叫什么？減法的結(jié)果叫什么？加法和減法這兩種運算是什么關(guān)系？

在上述活動中形成下列板書：

關(guān)系　　運算　　結(jié)果加法　a+b=c和減法　c-a=b 差互逆

問題2：這個長方形的面積是多少？

【設(shè)計意圖】本問題的設(shè)置意圖同問題1.

【生成預(yù)設(shè)】同樣，在這個活動中也要形成下列板書.

關(guān)系　　運算　　結(jié)果乘法　a×b=c 積除法　c÷a=b 商互逆

問題3：將此長方形按圖2所示，折出一個邊長為1的正方形，則正方形的面積是多少？

圖2

【設(shè)計意圖】通過本問題，將運算的視角引入到乘方運算，并通過如問題1中的生成預(yù)設(shè)，讓學(xué)生感受乘方與開平方互為逆運算.即讓學(xué)生感受開方運算同小學(xué)學(xué)習(xí)過的減法運算、除法運算一樣，分別是乘方運算、加法運算、乘法運算的逆運算.通過這樣的活動，降低對開方運算的認(rèn)識難度，同時讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)中的某些規(guī)則同生活中的規(guī)則一樣，往往具有一致性、相容性、和諧性.

【生成預(yù)設(shè)】如果學(xué)生用算式“1×1=1”來計算面積，可追問還可以將“1×1=1”寫成什么形式，逼學(xué)生說出可以寫成“12=1”的形式，進(jìn)而得到“a2=b”的一般形式.

通過上述活動，同樣要形成下列板書的形式.

關(guān)系　　運算　　結(jié)果乘方　a2=c　 　　冪開方　a=± c互逆■　　平方根

類似地，還可以得到開立方運算、立方根的概念.

活動2如下所示.

操作與思考：如圖3，將邊長為1的兩個同樣的正方形拼成一個新正方形.

問題1：這個新正方形的邊長是多少？

圖3

【生成預(yù)設(shè)】如果學(xué)生不會求新正方形的邊長，可啟發(fā)學(xué)生，拼成的新正方形的面積可求嗎？進(jìn)而讓學(xué)生通過新正方形的面積求出邊長.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生感受并體會無理數(shù)與有理數(shù)一樣，也可以在數(shù)軸上表示出來，反之?dāng)?shù)軸上的點表示的數(shù)可能是有理數(shù)，也可能是無理數(shù)，從而進(jìn)一步理解“數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的”這一結(jié)論.

【設(shè)計意圖】通過這個問題，讓學(xué)生再次感受無理數(shù)的絕對值的意義.

活動3如下所示.

探究與思考：如圖4，我們沿邊長為1的正方形的對角線剪出一個等腰直角三角形，給它起一個名字叫三角形ABC，沿CE折疊三角形ABC紙片，使A點落在BC邊上的D點處.

圖4

問題1：求BD的長度.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在操作的過程中，感受實數(shù)的運算.

【生成預(yù)設(shè)】如果學(xué)生不會求BD的長度，可再次讓學(xué)生感受操作的過程，并提出問題：在折疊的過程中，重合的線段，在數(shù)量上表示什么意思？

問題2：繼續(xù)折疊，使點B與點D重合，折痕為FQ，請你求出此時線段DQ的長度，并比較此時DQ的值與的大小關(guān)系.

圖5

【設(shè)計意圖】一是繼續(xù)延伸解決問題1的經(jīng)驗，求出線段DQ的長度為；二是深化估算的思想，合理選擇比較大小的方法，對學(xué)生進(jìn)行“算理”的再教育.

結(jié)束語如下所示.

延伸與思考：本節(jié)課，我們從互為逆運算的角度，重溫數(shù)系的發(fā)展進(jìn)程，重走發(fā)現(xiàn)之路，講述數(shù)學(xué)故事.下課后，請同學(xué)們繼續(xù)思考：對于an=b，我們知道，若給出a、n，求b，是乘方運算；若給出b、n，求a，則是開方運算；若給出a、b，求n，你怎樣來思考這種新的運算呢？

【設(shè)計意圖】在學(xué)生感受了加法、減法、乘法、除法、乘方、開方六種運算的發(fā)展過程后，再次將學(xué)生研究運算的視角延伸到一個新的背景之中，讓學(xué)生感受到要研究這種運算的必要性和可能性.接下來就要發(fā)揮學(xué)生自己的聰明才智，定義這種運算的規(guī)則和方法了.設(shè)置這樣一個開放的空間，就是讓學(xué)生延續(xù)本節(jié)課研究運算的一般方法與規(guī)律，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上都能得到良好的發(fā)展.所要注意的是，不是將高中的“對數(shù)”運算全盤下放到這里，而是讓學(xué)生有一種研究運算的意識呈現(xiàn)，有一種怎樣定義運算的方法傾向，有一種研究問題的經(jīng)驗積累，這才是教學(xué)的價值之所在.

三、生長構(gòu)架下復(fù)習(xí)課的實踐思考

生長型構(gòu)架理念下的復(fù)習(xí)課，是一個讓學(xué)生在更高視野下構(gòu)建知識的過程，也是一個讓學(xué)生在更深思維下感受生長的過程，還是一個讓學(xué)生在更精文化下發(fā)展自我的過程，在實際操作中，要在以下四個方面謀篇布局.

1.要選準(zhǔn)一條主干

用生長型構(gòu)架進(jìn)行復(fù)習(xí)，“要有打破教材結(jié)構(gòu)的勇氣，深刻反思和總結(jié)教學(xué)中相近或相鄰的知識，從知識體系和知識結(jié)構(gòu)上去把握初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求”［2］，要選準(zhǔn)一條復(fù)習(xí)的主干.這條主干，要根據(jù)復(fù)習(xí)的知識、已學(xué)習(xí)過的知識和將來要學(xué)習(xí)的知識，在學(xué)科系統(tǒng)內(nèi)有機(jī)融合、整體構(gòu)建、創(chuàng)新方式、有效推進(jìn).要分析所復(fù)習(xí)知識的地位，要提煉所復(fù)習(xí)知識的思想，要梳理所復(fù)習(xí)知識的脈絡(luò)，要創(chuàng)新復(fù)習(xí)知識的方法，要把握所復(fù)習(xí)知識的發(fā)展方向.

本課例的設(shè)計就是從上述幾個維度打磨而成的.具體地講，根據(jù)要復(fù)習(xí)的知識中存有開方運算，根據(jù)開方運算的結(jié)果可能產(chǎn)生無理數(shù)的基本事實，下通小學(xué)學(xué)習(xí)過的加法、減法、乘法、除法四則運算，平轉(zhuǎn)到初一剛學(xué)習(xí)過的乘方、開方兩種運算，上達(dá)高中將要學(xué)習(xí)的“對數(shù)”運算，這在數(shù)學(xué)中本身就是一條發(fā)展的主線，只不過受學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律的影響，受學(xué)生學(xué)習(xí)知識的限制，受教材編排體系的左右，讓這條本來顯性的主干隱性化了，從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)到的知識碎片化，其結(jié)果往往是只見樹木不見森林，削弱了所學(xué)知識的整體化、結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗化、能力化.為此，在教學(xué)過程中，要有意識地讓學(xué)生補好上述所缺失的那一課，而生長型構(gòu)架的復(fù)習(xí)課能為之提供有效的互補養(yǎng)分，也能給學(xué)生提供再次發(fā)展的力量，這也是生長型構(gòu)架復(fù)習(xí)課的價值形態(tài).

2.要突出一個主題

現(xiàn)在的課堂中學(xué)生的主體意識得到了強化，但是也不能過分削弱教師的主導(dǎo)作用，更不能削弱數(shù)學(xué)思維這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主題.不管數(shù)學(xué)教學(xué)改革怎么進(jìn)行，課堂上的所有活動，都應(yīng)該凸顯數(shù)學(xué)思維活動，這才是永恒不變的教學(xué)主題.說到底，數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，它是一個顛簸不破的真理.有了復(fù)習(xí)主干，只是提供了一個宏觀的東西，在圍繞主干上尋求思維載體，設(shè)計積極的、有效的思維活動，方可見英雄本色.

本課例中，智慧地選擇一個長方形的紙片，作為凸顯主干知識的載體，在這條主干上開展思維活動，是本課例的匠心所在.不斷折疊此長方形的紙片，就是不斷變換問題背景，在變換的背景中，引發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣.從長方形到正方形，從正方形到等腰三角形，從等腰三角形到最后的四邊形，就是讓學(xué)生通過自己的思維活動，認(rèn)識開方運算的本質(zhì)，認(rèn)識平方根、立方根的意義，認(rèn)識有理數(shù)、無理數(shù)的本質(zhì).具體地講，就是讓1、這些有理數(shù)、無理數(shù)有序登場，最后要求學(xué)生估算，讓學(xué)生根據(jù)算理，得到“由于1＜＜2，所以0＜-1＜1，則0＜”這樣一個高級思維推理活動，目的就是基于算理，回歸估算；基于本真，止于本質(zhì).上述各個層次的思維設(shè)計，不斷地將講述的數(shù)學(xué)故事推向高潮，將開展的數(shù)學(xué)思維推向高峰，將積淀的數(shù)學(xué)文化推向高端.

3.要經(jīng)歷一次生長

教育的出發(fā)點和落腳點就是讓學(xué)生經(jīng)歷一種成長、見證一種成長.生長型構(gòu)架的復(fù)習(xí)理念本身就是一種讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中成長的理念，一種讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中成長的策略.

本課例中，從小學(xué)學(xué)過的加、減、乘、除四則運算，到初中剛學(xué)習(xí)的乘方、開方運算，再到高中將要學(xué)習(xí)的對數(shù)運算，這些節(jié)點的構(gòu)建，就是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成明顯的生長節(jié)，注定會成為學(xué)生學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)實數(shù)的生長烙印，永記心中.不僅如此，而且還會讓學(xué)生對后續(xù)學(xué)習(xí)的對數(shù)運算產(chǎn)生美好企盼.

4.要實現(xiàn)一眸回顧

對復(fù)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，可以讓學(xué)生有一覽眾山小的感覺，還可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的畏難情緒，有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生親近感.

本課例針對初一新生對開方運算和無理數(shù)學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的理解不到位的偏差，讓學(xué)生從非常熟悉的小學(xué)四則運算出發(fā)，通過不斷變化手中的長方形紙片，引導(dǎo)學(xué)生開展積極的思維活動，讓學(xué)生拾級而上，觀賞數(shù)學(xué)運算風(fēng)景，講述無理數(shù)的故事，當(dāng)?shù)竭_(dá)山峰時，俯首回眸，開方運算與無理數(shù)的芳容盡收眼底，實數(shù)的知識結(jié)構(gòu)一目了然，學(xué)生自然得到“一眸回顧，一份心慰”的情感體驗，盡收一幅數(shù)學(xué)的天然畫卷！

參考文獻(xiàn)：

1.卜以樓.讓復(fù)習(xí)課留下一串串生長節(jié)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（11）.

2.卜以樓.用生長型構(gòu)架進(jìn)行中考二輪復(fù)習(xí)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中），2010（3）.