☉安徽省六安皋城中學(xué)　陳　炎

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一道課本習(xí)題證法的討論、拓展與應(yīng)用

☉安徽省六安皋城中學(xué)陳炎

一、問題提出

如圖1，已知反比例函數(shù)y1=在第一象限的圖像，過y2上的任意一點(diǎn)A，作x軸的平行線交y1于B，交y軸于C，過點(diǎn)A作x軸的垂線交y1于D，交x軸于E，連接BD、CE，則=_________.

圖1

此題是滬科版教材九年級(jí)上冊(cè)第21章《二次函數(shù)與反比例函數(shù)》的復(fù)習(xí)題.題目是反比例函數(shù)綜合題，主要考查曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì).題目難度適中，解決方法不唯一，能很好發(fā)散學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.

二、問題討論

筆者查閱了不少資料，發(fā)現(xiàn)基本上千篇一律都是采取如解法1的方法：通過引入?yún)?shù)，建立橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后利用三角形相似來解決.

解法1：參數(shù)法.

設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，把x=a代入y2=，得y2=，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.因?yàn)锳C⊥y軸，AE⊥x軸，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a， 0），D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a.

因?yàn)锽點(diǎn)、D點(diǎn)在y1=上，所以當(dāng)y=時(shí)，x=；當(dāng)x=a，y=.所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為，D點(diǎn)的坐標(biāo)為）.所以AB=a-，AC=a，AD=，AE=

當(dāng)然，本題通過利用反比例函數(shù)“k”的幾何意義來解，也很方便.

解法2：利用“k”的幾何意義.

過B點(diǎn)作BF⊥x軸，垂足為F，過D點(diǎn)作DG⊥y軸，垂足為G，BF與DG相交于H.則S四邊形OCBF=S四邊形OGDE，所以O(shè)F· CO=DE·OE，所以BC·（AD+DE）=DE·（AB+BC），即BC· AD+BC·DE=DE·AB+DE·BC，得到BC·AD=DE·AB，所以.又因?yàn)椤螧AD=∠CAD，所以△BAD∽△CAE.所以

但是，學(xué)生尚未接觸到相似的知識(shí)（相似形知識(shí)在第22章），如何解？就學(xué)生的現(xiàn)狀來說，需回避相似，因而有下面的解法.

解法3：勾股定理法.

在解法1（*）以下的解題過程中，可以這樣處理.

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=

在Rt△ACE中，CE2=AC2+AE2=a2+

三、解后反思

通過以上解法1和2的對(duì)比，我們可以發(fā)現(xiàn)：本題的解法很好地體現(xiàn)了從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度來思考和解決問題，正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”“數(shù)形結(jié)合”思想在解決反比例函數(shù)和初中階段的其他函數(shù)問題中，都具有廣泛的應(yīng)用，是處理函數(shù)問題的重要方法.數(shù)學(xué)教師不可回避要講解題目，題目怎么做？為什么這樣做？怎么想起來這樣做，今天這樣做的，下次遇到此類問題是否還能想起來這樣做？還可以怎么做？這道題老師怎么講，學(xué)生先講還是老師啟發(fā)式先鋪墊……諸如此類問題，應(yīng)是廣大一線教師要不斷思考的問題.

在解這道習(xí)題時(shí)，筆者頗感利用相似的知識(shí)在處理本題時(shí)的巧妙性和簡(jiǎn)潔性.筆者查閱了不少“課本解題手冊(cè)”，幾乎都是用相似法（解法1、2的后半部分）解決的.但是按照課本的章節(jié)設(shè)置，第22章是相似形，學(xué)生尚未學(xué)習(xí)到，所以筆者在講解、分析這道題時(shí)，總感覺不暢快.一方面，不用相似法，似乎這道題的“生命價(jià)值”并沒有完全顯現(xiàn)出來.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》強(qiáng)調(diào)：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，在積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程中不斷得到發(fā)展.以學(xué)生為主體，以學(xué)定教，教師的教學(xué)活動(dòng)要特別重視學(xué)生已經(jīng)知道了什么，關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).筆者妄揣，教材的編寫專家是否想借助本題，發(fā)揮“承上啟下”的功能，即對(duì)下章學(xué)習(xí)起到鋪墊作用？另一方面，筆者大膽建議，此題是否可以放到教材第22章的習(xí)題中去，這樣可以更好地體現(xiàn)反比例函數(shù)與相似的“強(qiáng)強(qiáng)組合”.敬請(qǐng)教材專家和同行不吝批評(píng)指正.

四、拓展研究

解決本題以后，筆者進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：雙曲線與矩形“纏纏綿綿”，有不少“背后的故事”，需要深度挖掘.

圖2

拓展5：S△OBD=S△OBE.

五、應(yīng)用

例1（2015年徐州））如圖3，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分別以O(shè)A、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，D是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C、B重合），反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)D且與邊BA交于點(diǎn)E，連接DE.

圖3

（1）略.

（2）連接CA，DE與CA是否平行？請(qǐng)說明理由.

例2（2015年甘南州）如圖4，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，A、C分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），直線y=-x+3交AB、BC于點(diǎn)M、 N，反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點(diǎn)M、N.

圖4

（1）略.

（2）若點(diǎn)P在x軸上，且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

例3（2012年成都）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，且k＞0）在第一象限的圖像交于點(diǎn)E、F.過點(diǎn)E作EM⊥y軸于M，過點(diǎn)F作FN⊥x軸于N，直線EM與FN交于點(diǎn)C.若（m為大于l的常數(shù)），記△CEF的面積為S1，△OEF的面積為S2，則=________.（用含的代數(shù)式表示）

圖5

六、思考

教材是教學(xué)的原本，教教材還是用教材教？這一問題數(shù)學(xué)界已經(jīng)提出很多年了.綜觀近幾年的中考命題，愈發(fā)覺得試題的素材來源于課本傾向明顯.這就要求我們引導(dǎo)學(xué)生從題海中上岸，回歸課本、重視課本，創(chuàng)造性地使用課本，真正落實(shí)減負(fù)增效.教師在完成對(duì)文本內(nèi)容的教學(xué)之余，如果能多從書本后的習(xí)題入手，把看似平常的問題，拔高、延伸、拓展，“深挖洞，廣積糧”，那么看似“平靜”的教材必然可以“靈動(dòng)”起來.

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.