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新課標(biāo)下向量學(xué)習(xí)的問題分析及數(shù)學(xué)建議

◇甘肅楊海年

向量是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念,主要用于解決證明線線、線面垂直及計算線線角等問題,利于學(xué)生理解,也有助于學(xué)生自己想象,為解題帶來很大的方便．

1向量學(xué)習(xí)中存在的問題

向量具有代數(shù)形式與幾何形式2種身份,這也就決定了向量能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)運算的意義,提高邏輯思維能力,進而建立學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．但是在實際教學(xué)中,很大一部分學(xué)生覺得向量很抽象,因此在學(xué)習(xí)向量過程中存在許多的問題．

1.1很少向?qū)W生介紹向量的歷史

很多教師雖然對向量發(fā)展的歷史比較了解,但是在教學(xué)中,由于受到很多原因的影響,教師鮮有提及向量發(fā)展的歷史,使得學(xué)生對于向量這一知識點所代表的數(shù)學(xué)文化不了解,因此不能深入地理解向量的含義．

1.2不重視向量基礎(chǔ)概念的講解

很多教師覺得向量這一章知識很簡單,對于課本中出現(xiàn)的一些基礎(chǔ)概念只是一帶而過，甚至叫學(xué)生自己讀一遍．這種不注重理解概念深層含義的做法，最終導(dǎo)致了學(xué)生只是機械地背概念、記公式、練習(xí)題．如果學(xué)生對概念不理解,就不能靈活地運用這些概念,最后解題的質(zhì)量也大打折扣．

1.3對向量的研究性課題關(guān)注不夠

在新課標(biāo)的課本中有很多的研究性課題,但是大部分教師由于課時或者自身科研水平限制,很少會帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)研究這些課題,學(xué)生不能形成科研意識,也不能親身體驗研究的樂趣,這將是他們學(xué)習(xí)過程中很大的遺憾．

2對向量的教學(xué)建議

2.1注重向量的文化價值教學(xué)

數(shù)學(xué)有漫長的歷史,當(dāng)然也有豐富的文化底蘊,教師在平時的教學(xué)中應(yīng)該向?qū)W生灌輸向量的文化價值,讓學(xué)生對向量的產(chǎn)生、發(fā)展、研究與應(yīng)用有很深刻的了解,這樣才能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣．

2.2注重基礎(chǔ)教學(xué)

新課標(biāo)一直要求重視“雙基”教學(xué),試想一個人還不會走，怎么讓他跑呢?學(xué)生還沒有理解基礎(chǔ)概念,怎么能夠靈活應(yīng)用其解題呢?因此教學(xué)中要立足教材,認(rèn)真閱讀教材中出現(xiàn)的基礎(chǔ)概念,提高學(xué)生將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的能力．

2.3注重向量運用,形成數(shù)學(xué)思維

向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是數(shù)與形有效轉(zhuǎn)化的工具.因此教學(xué)中教師應(yīng)深入挖掘公式、定理以及習(xí)題中向量運用問題,讓學(xué)生逐漸形成向量意識,領(lǐng)悟向量作為解題工具所具有的特殊價值．同時注意數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化與分類討論等數(shù)學(xué)思維的灌輸．

1) 向量與代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化．

這樣一道代數(shù)題目,如果用傳統(tǒng)的方法來解很復(fù)雜,若轉(zhuǎn)化為向量的問題,建立合適的坐標(biāo)系,問題就會變得簡單.

這道題中一共有6個變量,但是卻只給了3個方程式,肯定是解不出來的,如果利用向量積來解題,很容易能出結(jié)果.

所以 cos〈a,b〉=1,即向量a、b共線且同方向.

2) 向量與三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化．

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時,需要理解并且記憶很多的概念以及公式,但是很多時候并不能熟練地運用這些公式,導(dǎo)致了三角函數(shù)題的失分率很高.用向量同樣能解決此類問題．

本題既可以用三角函數(shù)來解決,也可以設(shè)2個向量來巧妙地解決．

解法2可設(shè) a=(7,24),b=(sinα,cosα),則已知可轉(zhuǎn)化為a·b=7sinα+24cosα=25.又因為

a·b=|a||b|cos〈a,b〉=25, |a|=25, |b|=1,

觀察上面2種解法：解法1是傳統(tǒng)方法,很容易想到,但計算復(fù)雜,容易出錯. 解法2需要對向量的概念深層次把握,要學(xué)會將向量作為一種工具來使用,這對解題人的數(shù)學(xué)思維有很大的考驗．

由此可見,向量作為一種工具性解決手段真的很重要,也需要花很多精力來鍛煉數(shù)學(xué)思維．

3) 向量與幾何的轉(zhuǎn)化．

幾何的題目中有平面幾何、解析幾何以及立體幾何,這3種幾何都可以用向量的方法來解題．

圖1

必要性： 如圖1,若點O是△ABC的外心,則點O在線段AB的垂直平分線上,則

因為向量也具有幾何的性質(zhì),所以在求解解析幾何問題時，很多情況下都能用到向量.比如在平面幾何中用于三角形的“四心”證明.解析幾何把代數(shù)與幾何結(jié)合起來,這樣就需要向量這個具有橋梁作用的工具用來解決一些二者結(jié)合的題目,比如某點的軌跡方程.除此以處，立體幾何是向量運用最多的題目,因為向量能夠解決立體幾何中的點、線、面問題,所以向量的重要性可想而知．

在向量的教學(xué)中,教師要轉(zhuǎn)化思維,帶領(lǐng)學(xué)生積極參與,學(xué)生要發(fā)揮學(xué)習(xí)的主觀能動性,形成數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)思維．總之,兼具應(yīng)用價值與工具性價值的向量值得研究．

(作者單位：甘肅省民樂縣第一中學(xué))