一類廣義的Cauchy行列式

王曉元，劉海霞(大連交通大學(xué)理學(xué)院，遼寧大連116028)*

一類廣義的Cauchy行列式

王曉元，劉海霞
(大連交通大學(xué)理學(xué)院，遼寧大連116028)*

利用Laplace展開公式證明了一類廣義的Cauchy行列式，并利用差商運(yùn)算給出幾個(gè)有趣的Cauchy行列式的推廣形式.

Cauchy行列式; Laplace展開公式;差商

0 引言

行列式的計(jì)算一直是代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要課題，倍受著數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的關(guān)注.著名的Cauchy行列式不僅在多重橢圓超幾何級數(shù)中有著基本的應(yīng)用，而且在對稱函數(shù)理論中具有舉足輕重的地位.為了更深入地研究這類行列式，本文將利用Laplace展開公式證明一類廣義的Cauchy行列式公式，并在此基礎(chǔ)上利用差商運(yùn)算給出幾個(gè)有趣的Cauchy行列式的推廣形式

考慮到下面的應(yīng)用，定義:

接下來，回顧一下差商的定義及性質(zhì)，這部分內(nèi)容可以參見Lascoux［6］.對任意的復(fù)函數(shù)f( y)及不等距節(jié)點(diǎn){ xk}nk =0，關(guān)于自變量y的差商運(yùn)算定義如下:

通常情況下，可以將它表示成Newton公式:

1 一類廣義的Cauchy行列式

在這一節(jié)，利用Laplace展開公式得到一個(gè)廣義的Cauchy行列式公式.

定理1 (廣義的Cauchy行列式)

證明 對式( 1)左端采用加邊法，加入一行元素1，β0，β1，…，βn，一列元素1，0，…，0.將所得行列式的第一行的(－αi)倍加到第i行，并利用Laplace公式按第一行展開，有

將上式求和中的行列式，再次利用Laplace公式按第一列展開得

最后，利用Cauchy行列式將上式展開，得到

將上式代入后，得到定理1.

推論1在定理1中，令p0= 0，則有

推論2在定理1中，令p0= q0= 0，則有

2 應(yīng)用

在這一節(jié)，令αi，pi和βj，qj分別是關(guān)于xi和yj的函數(shù)，通過對它們?nèi)〔煌暮瘮?shù)，并利用差商運(yùn)算，我們可以得到下面幾個(gè)有趣的Cauchy行列式的推廣形式.

命題1在推論1中，令βk= 1，qk= 1－qyk，則有

證明 由推論1可以得到

將等式右端求和公式寫成差商形式

再利用Chu［5］中式( 2.7)，有

將上式代入得到命題1.

命題2 在推論1中，令βk= 1－βyk，qk= 1－qyk，則有

證明 由推論1可以得到

將等式右端求和公式寫成差商形式

再利用Chu［5］中式( 2.7)和( 2.8)，有

將上式代入得到命題2.

命題3在定理1中，令αk= a，βk= 1，pk= b，qk= 1，則有

證明 由定理1可以得到

將等式右端求和公式寫成差商形式

將上式代入得到命題3.

命題4在定理1中，令αk= a，βk= 1，pk= 1－pxk，qk= 1，則有

證明 由定理1可以得到

將等式右端求和公式寫成差商形式

將上式代入得到命題4.

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.3版，北京:高等教育出版社，2003.

［2］王萼芳.高等代數(shù)教程［M］.北京:清華大學(xué)出版社，1997.

［3］周士藩.高等代數(shù)解題分析［M］.江蘇:江蘇科技大學(xué)出版社，1985.

［4］王任宏.數(shù)值逼近［M］.北京:高等教育出版社，1999.

［5］CHU W.The Cauchy double alternant and divided differences［J］.Ctronic Journal of Linear Algebra，2006( 15) : 4-21.

［6］LASCOUX A.Symmetric Functions and Combinatorial Operators on Polynomials［C］.CBMS Regional Conference Series in Mathmatics，AMS，2003.

The Generalizations of Cauchy’s Double Alternant

WANG Xiaoyuan，LIU Haixia
( School of Mathematics and Physics，Dalian Jiaotong University，Dalian 116028，China)

Applying the Laplace expansion formula，a generalization of the Cauchy determinant formula is established.Several interesting extensions of Cauchy determinant identities are derived as consequences by means of divided differences.

cauchy determinant; laplace expansion formula; divided differences

A

1673-9590( 2016) 01-0117-03

2015-04-07

王曉元( 1981－)，女，副教授，博士，主要從事超幾何級數(shù)與組合恒等式的研究

E-mail: xiaoyuan_djtu@163.com.