□朱元生

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這些圖形是平行四邊形嗎

□朱元生

平行四邊形的主要內(nèi)容是平行四邊形的性質(zhì)和判定，而判定平行四邊形常有三種思路：①?gòu)膶?duì)邊考慮：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；②從對(duì)角考慮：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；③從對(duì)角線(xiàn)考慮：對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形.如果把這些條件重新組合，那么得到的四邊形還是平行四邊形嗎？

1.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等

如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D、E分別是邊AB、AC上的中點(diǎn)，容易證得DE∥BC，BD＝CE.在四邊形BCED中，雖然有DE∥BC，BD＝CE，即一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，但由于DE≠BC，顯然四邊形BCED不是平行四邊形.

圖1

結(jié)論：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.

點(diǎn)評(píng)：要說(shuō)明一個(gè)命題成立，需要經(jīng)過(guò)推理論證，而要說(shuō)明一個(gè)命題不一定成立，只需舉出一個(gè)反例即可.

2.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等

如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖2

證明：連接BD，

∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.在△ABD和△CDB中，

∴△ABD≌△CDB，

∴AB＝CD.

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

結(jié)論：一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形.

3.一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等

如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一點(diǎn)，且BD≠DC，作△ADE，使AE＝DC，DE＝AC，則△ADE≌△DAC，

∴∠ACD＝∠DEA，AC＝DE.

而∠B＝∠ACD，AB＝AC，

∴∠B＝∠DEA，AB＝DE.

圖3

在四邊形ABDE中，雖然有AB＝DE，∠B＝∠DEA，即一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等，但由于BD≠DC，即BD≠AE，因此四邊形ABDE不是平行四邊形.

結(jié)論：一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形不一定是平行四邊形.

4.一組對(duì)角相等，一條對(duì)角線(xiàn)平分另一條對(duì)角線(xiàn)

這個(gè)問(wèn)題要分兩種情況討論：

（1）一組對(duì)角相等，連接這組對(duì)角頂點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)被另一條對(duì)角線(xiàn)平分.

如圖4，直線(xiàn)MN是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，垂足為O，在MN上取兩點(diǎn)C、D，使C、D在線(xiàn)段AB的兩側(cè)，且OC≠OD，連接AC、BC、AD、BD，在四邊形ADBC中，容易證得∠CAD＝∠CBD，且OA＝OB，即一組對(duì)角相等，連接這組對(duì)角頂點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)被另一條對(duì)角線(xiàn)平分，但由于OC≠OD，所以四邊形ADBE不是平行四邊形.

圖4

結(jié)論：一組對(duì)角相等，連接這組對(duì)角頂點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)被另一條對(duì)角線(xiàn)平分的四邊形不一定是平行四邊形.

（2）一組對(duì)角相等，連接這組對(duì)角頂點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)平分另一條對(duì)角線(xiàn).

如圖5，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，∠BCD＝∠BAD，且OB＝OD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖5

證明：假設(shè)四邊形ABCD不是平行四邊形，由于OB＝OD，則OA≠OC，不妨設(shè)OA＞OC，在OA上取一點(diǎn)E，使OE＝OC，連接BE、DE，容易證得四邊形BCDE是平行四邊形，則∠BED＝∠BCD，而∠BED＞∠BAD，故∠BCD＞∠BAD，這與已知條件∠BCD＝∠BAD相矛盾，這說(shuō)明四邊形ABCD不可能不是平行四邊形，從而四邊形ABCD一定是平行四邊形.

結(jié)論：一組對(duì)角相等，連接這組對(duì)角頂點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)平分另一條對(duì)角線(xiàn)的四邊形是平行四邊形.

點(diǎn)評(píng)：要證明一個(gè)命題成立，如果直接證明有一定的難度，可先假設(shè)它的反面成立，即命題不成立，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，說(shuō)明它的反面不成立，從而得到原命題成立，這種證明方法稱(chēng)為反證法.

親愛(ài)的同學(xué)們，你是否體會(huì)到要判別一個(gè)四邊形是不是平行四邊形，一定要有根有據(jù)，推理論證，決不能憑空想當(dāng)然.現(xiàn)再舉出兩種情況，請(qǐng)你試一試，你能判別它是否是平行四邊形嗎？如果是平行四邊形，請(qǐng)給出證明；如果不是平行四邊形，請(qǐng)舉出反例.

1.一組對(duì)邊平行，一條對(duì)角線(xiàn)平分另一條對(duì)角線(xiàn).

2.一組對(duì)邊相等，一條對(duì)角線(xiàn)平分另一條對(duì)角線(xiàn).

參考答案：1.是平行四邊形；2.不一定是平行四邊形.

插圖：楊明