陳克勝　徐文彬

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》頒布已有5年，作為一個綱領(lǐng)性的標準，它具有統(tǒng)轄性，往往對具體的知識內(nèi)容難以作細致的分析，但由課程的“標準”到課堂教學的“落實”卻少不了這樣的深入分析?；诖耍疚膹臄?shù)學文化、學習心理和數(shù)學知識的內(nèi)在規(guī)定性等三個方面對“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”這一內(nèi)容做出分析，以期對數(shù)學課程標準的完善及現(xiàn)實的數(shù)學教學實踐有啟發(fā)意義。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學課程；數(shù)學文化；平均數(shù)；眾數(shù)；中位數(shù)

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）38-0027-03

【作者簡介】1.陳克勝，安徽師范大學（安徽蕪湖，241003）數(shù)學計算機科學學院副教授，博士，碩士生導(dǎo)師；2.徐文彬，南京師范大學（南京，210097）課程與教學研究所教授，博士生導(dǎo)師。

一、問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）是在《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》的基礎(chǔ)上修改而來。自其頒布之日起，對《課標》內(nèi)容的討論一直不絕于耳。如《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀》（以下簡稱《課標解讀》）中所述，《課標》是從社會發(fā)展與數(shù)學課程之間的關(guān)系及相互影響、數(shù)學學習心理規(guī)律與數(shù)學課程設(shè)計、現(xiàn)代數(shù)學進展與數(shù)學課程之間關(guān)系、義務(wù)教育階段學生數(shù)學學習現(xiàn)狀和國際數(shù)學課程改革的特點等五個方面考慮研制的[1]，但其中缺乏具體到某個數(shù)學知識點的研究報告。這一缺失，既不利于更廣泛地調(diào)動數(shù)學教育工作者參與課改的熱情，也不利于教材編寫者對課標的理解?；诖耍P者嘗試以“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”這一內(nèi)容為例來做一番分析。（注：下文中，除特別說明外，“平均數(shù)”均指“算術(shù)平均數(shù)”。）

關(guān)于統(tǒng)計量“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”的定位問題已有的研究如下：一是中外數(shù)學教材的比較研究；二是2011年以前的國內(nèi)部分研究者的主張，認為將“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”前置在小學階段是可行的，采用螺旋式上升的教學方式，循序漸進地讓學生學習這些統(tǒng)計量的意義[2]，這也是《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》的內(nèi)容；三是小學數(shù)學教學實踐顯示，中國的小學生學習接受眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)不存在認知阻礙[3]?，F(xiàn)行的《課標》將“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”這一內(nèi)容分拆在兩個學段學習：第二學段要求“體會平均數(shù)的作用，能計算平均數(shù)，能用自己的語言解釋其實際意義”；第三學段要求“理解平均數(shù)的意義，能計算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述”。在這里，我們不禁發(fā)問：“平均數(shù)的意義”具體有哪些？第二學段應(yīng)學習平均數(shù)的哪些意義？第三學段應(yīng)學習哪些？其依據(jù)是什么？這樣的學習順序是最好的選擇嗎？

二、問題的分析

1.基于數(shù)學文化的分析。

數(shù)學文化是在一定歷史發(fā)展階段，由數(shù)學共同體在從事數(shù)學實踐活動過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財富和精神財富的總和。[4]國內(nèi)外數(shù)學家和數(shù)學教育家已十分肯定數(shù)學文化（數(shù)學史）對數(shù)學教育的意義，歸結(jié)起來至少有以下三點：有助于理解數(shù)學；激發(fā)學生的學習興趣；指導(dǎo)數(shù)學課堂教學?；诖?，有很多專家學者提出：數(shù)學教育本質(zhì)上是數(shù)學文化教育。由此，有必要將“（算術(shù)）平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)”置于數(shù)學文化的視角來分析。

義務(wù)教育階段，反映數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量一般有眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)。從歷史上來看，這三個統(tǒng)計量的來源卻不一樣。人們最早應(yīng)用反映數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量可能是眾數(shù)。公元前428年，雅典受困需要突破敵人的圍城，很多人通過數(shù)城墻磚的層數(shù)的方法來估計城墻的高度，利用眾數(shù)來反映該組數(shù)據(jù)的一般水平。在歷史上，人們還使用中位數(shù)替代（算術(shù)）平均數(shù)來反映某個總體的集中趨勢。1599年，愛德華·懷特（Edward Wright）將中位數(shù)應(yīng)用于航海，用以確定指南針所指定的位置。1874年，費 歇 爾（R. A. Fisher）將中位數(shù)用來描述社會和心理現(xiàn)象。1882年，高爾頓（Galton）第一次使用“中位數(shù)”一詞。使用（算術(shù)）平均數(shù)有以下幾個來源：第一，用平均數(shù)來估計較大的數(shù)。公元4世紀，印度魯帕那（Rtuparna）為了估計果樹上樹葉和果實的數(shù)目，使用了平均數(shù)。第二，重復(fù)測量取平均數(shù)以減少誤差。公元16世紀末，第谷（Tycho Brahe）為了減少觀測的誤差，率先取重復(fù)測量值的平均數(shù)作為天文學觀測的數(shù)據(jù)。后來，這種方法在歐洲得到廣泛的運用，有效地減少了系統(tǒng)誤差。第三，平均數(shù)的補償性。古希臘時期，數(shù)的大小用線段表示，其平均數(shù)的定義為“a和c中間的數(shù)b稱為算術(shù)平均數(shù)，當且僅當b-a=c-b”，古代中國也有類似的思想。第四，利用平均數(shù)來公平分配。大約公元前1000年，地中海地區(qū)航海貿(mào)易比較發(fā)達，但存在風險，人們想到利用平均數(shù)的方法解決公平分擔風險問題。第五，平均數(shù)是總體的代表值，在現(xiàn)實情境下不一定具有實際意義。1831年，魁特奈特（A. Quetelet）提出“平均人”概念：有這樣一個人，他在一切重要的指標上都具有某一群體中一切個體相應(yīng)指標的平均值。[5]

基于數(shù)學文化的分析，可以建立有關(guān)反映數(shù)據(jù)集中趨勢的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，從而幫助學生形成結(jié)構(gòu)完善的概念圖。在數(shù)據(jù)分析時，人們傾向于先使用眾數(shù)和中位數(shù)刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢。因此，有必要將平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)安排在同一個單元。

2.基于學習心理學的分析。

統(tǒng)計與概率雖然進入基礎(chǔ)教育比較晚，但是有關(guān)統(tǒng)計與概率的學習心理研究隨著課程改革在不斷地深入。關(guān)于反映數(shù)據(jù)的集中趨勢的統(tǒng)計量的一些研究有了以下一些結(jié)果。

Strauss和 Bichler研究發(fā)現(xiàn)：50%的8歲學生和幾乎所有的10歲學生能夠理解平均值位于最大值和最小值之間。幾乎所有的學生能夠理解平均數(shù)受每個數(shù)據(jù)的影響，平均數(shù)不一定是真正的數(shù)據(jù)。[6]Mokros和 Russell發(fā)現(xiàn)：有些低年級的學生將“平均數(shù)”理解為出現(xiàn)次數(shù)最多的一個數(shù)據(jù)（眾數(shù)）。有些低年級的學生將平均數(shù)理解為中位數(shù)。有些低年級的學生雖然意識到算術(shù)平均數(shù)，但是具體數(shù)據(jù)問題中不會應(yīng)用。[7]Russell和Friel設(shè)計了一道測試題：九個不同品牌的薯條，袋子大小規(guī)格相同，所有品牌的平均價格是 1.38 美元，問九種不同牌子各自價格是多少？測試的結(jié)果是：大部分學生認為平均數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的數(shù)。小部分學生認為平均數(shù)是中間的數(shù)，并構(gòu)造一些以平均數(shù)為中心的對稱數(shù)據(jù)。[8]Moritz、Watson和 Pereira-Mendoza研究了1014位澳大利亞學生，發(fā)現(xiàn)：40%的三年級的學生、7%的六年級學生和 2%的九年級的學生不理解平均數(shù)。[9]上述研究表明，關(guān)于這三個統(tǒng)計量的學習難度存在不同，學生學習眾數(shù)和中位數(shù)的難度較低，而平均數(shù)則比較難。由此，不妨先學習眾數(shù)和中位數(shù)，讓學生建立反映數(shù)據(jù)的集中趨勢的思想方法，然后再進一步學習平均數(shù)。

3.基于數(shù)學知識內(nèi)容的分析。

平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)作為反映某組數(shù)據(jù)的集中趨勢，并在比較中判定在某種條件下所適用的統(tǒng)計量，這是數(shù)學知識的內(nèi)在規(guī)定。根據(jù)數(shù)學知識內(nèi)在規(guī)定的特點來組織教學，才能更深刻、全面地理解平均數(shù)概念及其統(tǒng)計意義。

平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是作為反映某組數(shù)據(jù)的集中趨勢的統(tǒng)計量，但一般來說，這三個統(tǒng)計量的使用存在著前提條件。如果某組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)正態(tài)分布，那么平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都能客觀地反映該組數(shù)據(jù)的集中趨勢，三個統(tǒng)計量沒有區(qū)別。如果某組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布，那么必須考慮這三個統(tǒng)計量的適用條件，才能客觀地、較為真實地反映該組數(shù)據(jù)的集中趨勢。一般地，在明顯存在極端值的情況下，用中位數(shù)更能代表總體的一般水平。在某些數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻次相對比較多的情況下，用眾數(shù)能較真實地代表總體的一般水平。在某些數(shù)據(jù)呈現(xiàn)均勻分布的情況下，往往使用平均數(shù)來反映該組數(shù)據(jù)的集中趨勢。這三個統(tǒng)計量所蘊涵著的統(tǒng)計意義，歸結(jié)起來大體有四點：作為判斷事物的數(shù)量標準或參考；作為代表來衡量不同總體之間的水平；作為用樣本的平均數(shù)來推斷總體的水平；作為總體的平均數(shù)通過在某段時間內(nèi)的發(fā)展變化，探索研究對象的發(fā)展規(guī)律。

三、思考與建議

行文至此，有必要梳理一下相關(guān)結(jié)論并給出相關(guān)建議了。首先，從課標研制的角度而言，理論與實踐的結(jié)合是數(shù)學課程標準制定的永恒法寶。數(shù)學課程標準的研制需要考慮社會發(fā)展與數(shù)學課程之間的關(guān)系及相互影響、數(shù)學學習心理規(guī)律與數(shù)學課程設(shè)計、現(xiàn)代數(shù)學進展與數(shù)學課程之間關(guān)系、義務(wù)教育階段學生數(shù)學學習現(xiàn)狀和國際數(shù)學課程改革的特點等這五項基礎(chǔ)性研究，但是更細致地、深入到每一個數(shù)學知識點的研究，則需要從數(shù)學知識內(nèi)在規(guī)定性、學習心理學的相關(guān)研究以及數(shù)學歷史文化三個方面對具體知識點進行綜合分析，并且開展相關(guān)的教學實驗對理論分析進行驗證。

其次，應(yīng)盡可能多地調(diào)動數(shù)學教育工作者參與課改。數(shù)學教育工作者往往只了解到課標研制的宏觀過程，至于具體到某個數(shù)學知識點則沒有相應(yīng)的研究報告。因此，在研制課標的過程中，有必要將相關(guān)的研究成果讓一線數(shù)學教師了解，便于讓更多人參與進來，同時也進行相關(guān)的教學實驗，使課標得到更廣泛的實踐檢驗。

最后，由于“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”這一內(nèi)容本身具有一定的抽象性，需要學生具備一定的計算能力，因而筆者贊同將其放在第二、三學段進行教學，但對具體的教學順序與要求有自己的看法。具體而言，（1）將平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)安排在一個單元，有利于相似知識的連貫性教學；（2）先學習眾數(shù)和中位數(shù)，讓學生建立反映數(shù)據(jù)的集中趨勢的思想方法，然后再進一步學習平均數(shù)；（3）考慮到平均數(shù)的統(tǒng)計意義有4點，不妨考慮以平均數(shù)的統(tǒng)計意義為學段劃分的依據(jù)，分兩個學段進行學習，《課標》中第二學段有關(guān)的內(nèi)容標準不妨這樣修訂：“體會眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的統(tǒng)計意義——作為判斷事物的數(shù)量標準或參考和作為代表來衡量不同總體之間的水平，能確定中位數(shù)、眾數(shù)，能計算平均數(shù)，了解中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系”，第三學段的內(nèi)容標準可修改為“理解眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的統(tǒng)計意義——作為用樣本的平均數(shù)來推斷總體的水平、作為總體的平均數(shù)通過在某段時間內(nèi)的發(fā)展變化、探索研究對象的發(fā)展規(guī)律，能計算加權(quán)平均數(shù)，理解眾數(shù)、中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的關(guān)系”；（4）由于教師在進行教學設(shè)計時，往往會先從數(shù)學教材出發(fā)揣摩《課標》中的要求，因而，不同教材對同一知識點的編寫應(yīng)在內(nèi)涵上保持一致。

總之，修訂和完善數(shù)學課程標準的指導(dǎo)思想是最大限度地符合數(shù)學教育規(guī)律，而檢驗的方法和策略是先從系統(tǒng)觀念出發(fā)，聯(lián)系數(shù)學知識內(nèi)在規(guī)定、數(shù)學學習心理和數(shù)學文化三個方面統(tǒng)籌分析，然后在此基礎(chǔ)上進行有針對性的教學實驗。同時，公布更具體的研制成果，充分調(diào)動廣大一線的數(shù)學教育工作者參與其中，在教學實踐中進行更廣泛的檢驗，這樣才能夠更有利于數(shù)學課程標準的完善。

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[7]Mokros J， Russell S J. Childrens Concepts of Average and Representativeness[J]. Journal for Research in Mathematics Education. 1995（26）.

[8]Russell， Susan Jo， Friel， Susan N. Collecting and analyzing real data in the elementary school classroom[J]. In P. R. Trafton & A. P. Shulte （Eds.）， New Directions for Elementary School mathematics，1989：134-148.

[9]Moritz J， Watson J， Pereiramendoza L. The Language of Statistical Understanding： An Investigation in Two Countries[J]. Education，1996（01）.

注：本文系安徽省教育科學規(guī)劃項目“高中數(shù)學課程中數(shù)學文化及其典型案例研究”（編號：JG12016）研究成果之一。