趙紅婷
前段時間,筆者有幸聆聽蔡宏圣老師執(zhí)教蘇教版五下“認識方程”一課。蔡老師指出:“方程的定義不等于方程?!蹦敲矗瑢Ψ匠潭?,定義是最重要的嗎?比定義更重要的是什么?是對數(shù)學的感覺,還是對數(shù)學的理解和感悟?筆者思考教師不能僅僅滿足于讓學生根據(jù)方程外在形式定義去辨別方程,應(yīng)引導學生從更深層次認識方程。
一、尋找感覺:用數(shù)學的眼光去觀察
有時,學生知道某一概念,卻未必真的對其有感覺。而學生一旦對所學概念有了感覺,認知水平就會達到較高層次。蔡老師認為,對于“先學后教”的課,教師需要有這樣的警惕:學生貌似懂了,可能只是淺層次的懂,未必真正理解概念含義。整節(jié)課,他始終鼓勵學生用數(shù)學眼光去觀察、審視,尋找對方程的獨特感覺。
【教學片段1】
師:什么是方程?
生:含有未知數(shù)的等式是方程。(教師板書)
師:怎樣的等式是方程,你能舉個例子嗎?
生:x+50=200,2x=200。
師:判斷是否是方程,要抓住什么?
生:要看是不是有未知數(shù),是不是等式。
師:一年級學過這樣的算式( )×3=12,這個是方程嗎?理由是什么?
生:是的,理由是它有未知數(shù),而且還是等式。
師:怪不得你們都懂了,原來你們一年級就接觸了!
師:請看,y×4=8是方程嗎?
生:是方程。
師:再看,x×3>50是方程嗎?
生:不是方程,因為它不是等式。
【賞析】對于方程,學生會有怎樣的感覺?顯然,對數(shù)學的感覺主要基于經(jīng)驗。關(guān)于方程,學生并非一張白紙,他們有朦朧的感覺,教學的目的在于激發(fā)和提升這種感覺和體驗。蔡老師的處理可謂與眾不同。課伊始,他就單刀直入,讓學生試著說出方程概念。學生正確表述后,蔡老師再讓學生舉出方程的例子。蔡老師還令學生說出判斷方程的依據(jù)。然后蔡老師呈現(xiàn)了一年級填括號的例子,以及一些含有未知數(shù)的式子,讓學生用數(shù)學眼光去觀察和判斷。豐富的例子,豐厚了學生對方程的體驗。
二、簡化形式:用數(shù)學的語言去記錄
抽象、去情境是數(shù)學的本質(zhì)特征。從某種意義上說,學習數(shù)學就是一個不斷追求簡潔的過程。方程并非憑空出現(xiàn),它是一些生活情境的數(shù)學化表達。方程是用數(shù)學的方式,即用數(shù)、符號等,來記錄事情。用數(shù)學語言去記錄生活中相等的事例,凸顯方程的本質(zhì)。
【教學片段2】
出示天平圖:左邊是一粒橙子和一個50克的砝碼,右邊是150克的砝碼。
師:你能說出這幅天平圖的意思嗎?
生:x+50=150。
師:看起來是一粒橙子加上50克等于150克,你們把它簡化了,變成了什么?
生:x+50=150。
教師故意用文字寫出題意:一粒橙子加上50克等于150克。
師:老師寫了那么多文字,跟你們寫的式子,有什么區(qū)別?
生:我們把橙子設(shè)為x。
生:我們用上了等于號,就是符號。
師:還用上了什么?
生:還用了數(shù)。
師:你們用數(shù)學語言寫下來,就成了方程。方程是怎么來的?
生:是把我們的語言描述表達成了數(shù)學算式。
生:把一些未知數(shù)轉(zhuǎn)化成了字母。
生:它是兩邊相等的。
師:不同的人看周圍世界是不一樣的,用數(shù)學的眼光去看,用數(shù)學的語言記錄下來,方程就是其中之一。不同年齡可以寫出不同樣子的方程。
【賞析】僅用語言描述,可以把方程問題闡述清楚,但邏輯上容易出現(xiàn)混淆,而用數(shù)學符號來闡述就顯得清晰易懂。史寧中教授指出,教學方程時,可先讓學生用自然語言闡述事情,然后抽象成數(shù)學表達,最后用數(shù)學符號建立方程,并解決問題。事實上,強調(diào)用數(shù)學符號把要說的話(即兩件等價事情)表達出來,這是方程的根本,是學生必須真正掌握的東西。蔡老師對此深有體會,出示情境后,通過文字描述和符號描述的對比,學生感受到了數(shù)學符號表達的簡潔性。對學生而言,方程并不陌生,一年級的填括號(方格)開始,方程就一直在那里,只不過,隨著抽象思維的發(fā)展,對方程表述的形式化程度愈高,表達方式也越有數(shù)學味。
三、凸顯本質(zhì):用數(shù)學的思維去感悟
學習方程的意義在于:一是學習從生活中的錯綜復雜的事情中,將最本質(zhì)的東西抽象出來,這個過程是非常難的,也很有訓練的價值;二是在運算中遵循最佳的途徑,將復雜的問題簡單化,這種優(yōu)化思想對于人的思維習慣的影響是深遠的。
【教學片段3】
教師出示四個情境問題。
第1題:天平左邊是3粒橘子,右邊是180克砝碼,天平向左傾斜。
第2題:天平左邊是250克砝碼,右邊是一粒橘子和一粒蘋果,天平平衡。
第3題:5個小杯和1個容量為300毫升的大杯合起來一共是800毫升。
第4題:一輛公共汽車上,原有乘客50名,中途又有12名乘客上車,現(xiàn)在車上共62名乘客。
師:你能看到方程嗎?
生:題1不是方程,因為它是3x>180,不是等式。
生:題2是方程,x+y=250。
師:題3沒天平,能寫成方程嗎?
生:方程是800-300=5x,要找出等量關(guān)系,才能寫出算式。
師:是的,就像題1,沒有等量關(guān)系,就沒有等式。要找等量關(guān)系,就是找誰和誰是相等的。
師:題3還可以寫成怎樣的方程?
生:800-5x=300。
師:含有未知數(shù)就是未知數(shù)與數(shù)一起干活,形成等式,這才是我們要的方程。我們應(yīng)該寫怎樣的方程?
生:應(yīng)該把數(shù)和未知數(shù)寫在一起。
師:不要寫成以前算式的樣子。
師:第4個問題是方程嗎?為什么?
生:不是方程,因為沒有未知數(shù)。
師:對,雖然有相等關(guān)系,但沒有未知數(shù),所以不能寫出方程。
出示方程史話《為什么有方程》。
早在三千六百多年前,埃及人就會用方程來解決數(shù)學問題了。在我國古代,大約兩千多年前成書的《九章算術(shù)》中,就記載了用一次方程解決實際問題的史料。一直到三百多年前,法國的數(shù)學家笛卡爾第一次倡議用x、y、z等字母來代表未知數(shù),才形成了現(xiàn)在的方程。
【賞析】方程闡述了一個事實本身,一個沒有經(jīng)過任何加工的事實本身,方程說明兩件事情是等價的,這正體現(xiàn)了建模思想。認識方程,應(yīng)引導學生關(guān)注數(shù)量關(guān)系,體會方程的高度概括性和抽象性。就如4x=400這個方程可以記錄的事件很多,但這些不同的事件卻都可以用同一個方程來表示,正是因為不論是哪種事件,它們本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系是相同的。教師為學生打開了代數(shù)這一新視野,在代數(shù)世界里,未知數(shù)獲得了與已知數(shù)一樣的地位,可以平等地參與運算。這是方程的基本特質(zhì),也是學習方程的價值所在。
比定義更重要的是對數(shù)學的理解和感悟,是數(shù)學思維的應(yīng)用和強化。學會抽象和概括,摒棄與數(shù)學無關(guān)的外在屬性,只關(guān)注數(shù)學的本質(zhì)屬性,增強做事的運籌和邏輯的條理,這種數(shù)學思維的訓練,這一數(shù)學素養(yǎng)的形成,對學生成為一個合格公民、適應(yīng)日常生活以及進一步學習數(shù)學,都是至關(guān)重要的。
(作者單位:江蘇省張家港市泗港小學 責任編輯:王彬)