顧沛

摘要：數(shù)學(xué)之美可以歸納為簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、和諧美、奇異美等。但是，這些數(shù)學(xué)之美不是人人天生都能感知的。南開(kāi)大學(xué)的數(shù)學(xué)文化課引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的魅力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)感悟數(shù)學(xué)之美。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)之美；數(shù)學(xué)文化；課程；美育

我們的教育，要使受教育者在德、智、體、美幾方面都得到發(fā)展。高校教育的主渠道，是課程的教學(xué)。美學(xué)家朱光潛說(shuō)過(guò)：“美有兩條標(biāo)準(zhǔn)，一、美都顯示出奇異的均衡關(guān)系，二、美是各部分之間及部分與整體之間固有的和諧?！北疚膹拿烙慕嵌葋?lái)看看南開(kāi)大學(xué)的“數(shù)學(xué)文化”課。該課程是校公共選修課，被列為南開(kāi)大學(xué)通識(shí)課程中的首批“核心課程”，自2001年2月以來(lái)，至今已經(jīng)連續(xù)開(kāi)設(shè)27輪。數(shù)學(xué)文化課在課外的延伸，主要包括編輯校內(nèi)刊物《數(shù)學(xué)之美》（陳省身先生題寫(xiě)刊名）以及舉辦全?！皵?shù)學(xué)之美論壇”。15年來(lái)，數(shù)學(xué)文化課在課堂內(nèi)外，不但成為南開(kāi)大學(xué)校園文化的一道亮麗風(fēng)景，也顯示出它的美育功效，受到學(xué)生的廣泛歡迎。不久前南開(kāi)大學(xué)召開(kāi)了全校美育工作會(huì)議，特邀筆者做大會(huì)發(fā)言，題目就是“數(shù)學(xué)文化課程的美育功效”。

數(shù)學(xué)文化課不同于一般的數(shù)學(xué)課程，它以深淺適當(dāng)?shù)闹R(shí)為載體，改善學(xué)生的思維品質(zhì)，傳授數(shù)學(xué)的思想、精神和方法，既提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，也提高學(xué)生的文化素質(zhì)和思想素質(zhì)，在素質(zhì)教育（包括美育）中發(fā)揮了較好的作用。

一、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、和諧美、奇異美

“讓學(xué)生受到優(yōu)秀文化的熏陶，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，提高對(duì)數(shù)學(xué)的興趣”，很早就被我們?cè)O(shè)立為數(shù)學(xué)文化課的課程目標(biāo)之一。

正如英國(guó)數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家羅素所說(shuō)：“數(shù)學(xué)，不但擁有真理，而且具有至高的美，是一種冷而嚴(yán)格的美?！惫P者在教學(xué)中把數(shù)學(xué)之美歸納為簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、和諧美、奇異美等。例如，世界是紛繁復(fù)雜的，人類對(duì)世界的認(rèn)識(shí)也是曲折繁復(fù)的，可是用數(shù)學(xué)公式表達(dá)其規(guī)律，又是那樣簡(jiǎn)潔，如牛頓力學(xué)中的第二定律F=ma、愛(ài)因斯坦的質(zhì)能轉(zhuǎn)換公式E=mc2，都體現(xiàn)了簡(jiǎn)潔美。又如任何一幅地圖的染色，為了使所有相鄰的區(qū)域顏色不同，只要四種顏色就夠了。該“四色定理”從1852年提出猜想，經(jīng)過(guò)世代數(shù)學(xué)家的努力，至1977年才發(fā)表證明。并非因?yàn)橹挥盟姆N顏色可以節(jié)約印刷成本，這些探索完全是出于數(shù)學(xué)家對(duì)簡(jiǎn)潔和完美的追求，這也反映了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。再如我們身邊有多種多樣的對(duì)稱，如雪花、剪紙、商標(biāo)、服裝、人體、建筑物，如文學(xué)中的對(duì)聯(lián)、對(duì)仗，如計(jì)算三角形面積的海倫公式。數(shù)學(xué)能夠把各個(gè)領(lǐng)域各不相同的對(duì)稱中共同的本質(zhì)抽象出來(lái)，表述出來(lái)，并且加以應(yīng)用，這反映了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。再如用不同的繩索織不同的網(wǎng)，這些網(wǎng)似乎可以千差萬(wàn)別，但是數(shù)學(xué)上卻可證明，任何網(wǎng)的結(jié)點(diǎn)數(shù)（V），網(wǎng)眼數(shù)（P），邊數(shù)（E）都必定滿足同樣的公式：V+F-E=I。數(shù)學(xué)就有這樣的本領(lǐng)，能夠把看起來(lái)混亂的事物總結(jié)出統(tǒng)一的規(guī)律，這反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。每年春夏秋冬的輪回，每月月亮的陰晴圓缺，每天白晝黑夜的交替，大海潮水的漲落，心臟有規(guī)律的跳動(dòng)，數(shù)學(xué)上都可以用“周期”一詞來(lái)概括、去研究，這也反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。1777年“蒲豐投針”用隨機(jī)性試驗(yàn)，去求確定性的圓周率，把概率論與幾何學(xué)這兩個(gè)看來(lái)互不相干的數(shù)學(xué)分支聯(lián)系起來(lái)，這也反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。再如歐拉公式e12+1=0，把數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的常數(shù)π、i、e、l、o聯(lián)系在同一個(gè)等式中，這反映了數(shù)學(xué)的和諧美。數(shù)學(xué)中的黃金比0.618，體現(xiàn)了一種恰到好處的和諧，會(huì)給人們帶來(lái)愉悅，這也反映了數(shù)學(xué)的和諧美。再如斐波那契數(shù)列在大自然中有廣泛的體現(xiàn)，例如向日葵的種子排列得十分緊密，其中的規(guī)律就涉及斐波那契數(shù)列。

二、數(shù)學(xué)之美還體現(xiàn)于數(shù)學(xué)有用

數(shù)學(xué)之美還體現(xiàn)于數(shù)學(xué)之有用。例如，數(shù)學(xué)揭示和抓住事物的本質(zhì)后，能夠以簡(jiǎn)馭繁（簡(jiǎn)潔美），解決大量的實(shí)際問(wèn)題。非常有用的微積分，基本思想就是“局部以直代曲”，“直”就是“曲”的簡(jiǎn)化，其中的泰勒公式是用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)去逼近各種復(fù)雜的函數(shù)（簡(jiǎn)潔美）。國(guó)際上約定的求救符號(hào)SOS利用了其對(duì)稱性，使它從正反兩個(gè)方向上看都是SOS，便于發(fā)現(xiàn)遇險(xiǎn)求救的人員（對(duì)稱美）。笛卡兒發(fā)明的坐標(biāo)系，把數(shù)與形統(tǒng)一起來(lái)產(chǎn)生了解析幾何學(xué)，非常有用（統(tǒng)一美）。太陽(yáng)系多個(gè)行星的運(yùn)動(dòng)軌道雖然各不相同，但都是以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓，并且都滿足開(kāi)普勒總結(jié)的三個(gè)定律（統(tǒng)一美）。納皮爾發(fā)明的“對(duì)數(shù)”，可以把乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算，帶有奇異性，卻能夠大大加快運(yùn)算的速度（奇異美）。七巧板可以拼出豐富多彩的圖形，也帶有奇異性，而這些奇妙的拼搭不但能夠鍛煉智力，而且會(huì)使人產(chǎn)生難以言表的成就感和美的享受（奇異美）。人們用寬與長(zhǎng)之比接近黃金比0.618的矩形做國(guó)旗，會(huì)比較美觀（和諧美）。華羅庚先生創(chuàng)造的“優(yōu)選法”，在區(qū)間的0.618處取試驗(yàn)點(diǎn)，能用較少的試驗(yàn)次數(shù)達(dá)到較好的效果（和諧美）。所以，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。

三、數(shù)學(xué)之美的教學(xué)實(shí)例

但是，這些數(shù)學(xué)之美并不是人人都能感知的，更不是天生都能感知的。南開(kāi)大學(xué)的數(shù)學(xué)文化課設(shè)計(jì)了豐富的話題，有趣的情境，通過(guò)探究式的教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)知識(shí)中蘊(yùn)涵著“數(shù)學(xué)方式的理性思維”，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就能幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)感悟數(shù)學(xué)之美，也能促進(jìn)科學(xué)素質(zhì)教育與人文素質(zhì)教育的有機(jī)融合。這就是數(shù)學(xué)文化課程的美育功能。也如王義道先生在不久前的一篇文章中所說(shuō)：“這兩者的結(jié)合就體現(xiàn)在科學(xué)與人文的融合上，德與才和真善美的統(tǒng)一上。”

在教學(xué)中如何引領(lǐng)學(xué)生去感悟數(shù)學(xué)之美？本文前面兩個(gè)大標(biāo)題下舉出的大量例子，都是南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)文化課教學(xué)實(shí)例的簡(jiǎn)練表述。下面，再略微詳細(xì)地與讀者分享幾個(gè)教學(xué)實(shí)例，同時(shí)總結(jié)、分析數(shù)學(xué)文化課進(jìn)行美育教學(xué)的一些規(guī)律。

1.設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)那榫?，有利于美育教學(xué)

“一一對(duì)應(yīng)”中的數(shù)學(xué)美，學(xué)生不易理解，我們就設(shè)計(jì)了“大足石刻千手觀音”的情境，從感性到理性地講解。千手觀音的手又多又亂，很難數(shù)清。明朝的一位工匠找來(lái)2000張金箔，一張一張地往觀音的手上貼，既不會(huì)漏掉一只手，也不會(huì)重復(fù)地貼一只手；然后再數(shù)剩下的金箔，算出貼上的金箔數(shù)，這就是千手觀音手的數(shù)目。學(xué)生從金箔與手的一一對(duì)應(yīng)，感悟出其中的數(shù)學(xué)美。這樣的例子還很多，如用“韓信點(diǎn)兵”的故事逐步講解中國(guó)剩余定理；用“有無(wú)限個(gè)房間的旅館”客滿后仍然能安排新來(lái)的客人，解釋無(wú)限與有限的根本區(qū)別，使學(xué)生感悟“無(wú)限”中的數(shù)學(xué)美。

2.講清知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于美育教學(xué)

數(shù)學(xué)能夠揭示事物的本質(zhì)，使人體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。傳授知識(shí)時(shí)如果能講清其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也會(huì)使人感受到“數(shù)學(xué)方式的理性思維”，有利于美育教學(xué)。如“孿生素?cái)?shù)”的概念雖然是“間隔2的素?cái)?shù)”，但“孿生素?cái)?shù)猜想”的本質(zhì)卻是“總有”間隔同一個(gè)正整數(shù)的素?cái)?shù)。所以，張益唐先生證明了“總有”間隔7000萬(wàn)的素?cái)?shù)，就是解決“孿生素?cái)?shù)猜想”問(wèn)題的重大進(jìn)展。這樣的例子還很多，如講解“井蓋為什么大多設(shè)計(jì)為圓的，而不是方的”，數(shù)學(xué)本質(zhì)是“圓的直徑均同長(zhǎng)”，而正方形的邊長(zhǎng)小于其對(duì)角線的長(zhǎng)度，所以正方形的井蓋就可能沿對(duì)角線方向掉入井中。如講解黃金分割的美、優(yōu)選法中的“折紙法”時(shí)，講清其數(shù)學(xué)本質(zhì)是“黃金分割點(diǎn)的再生性”，學(xué)生就能領(lǐng)悟到其中的數(shù)學(xué)之美。

3.介紹數(shù)學(xué)家在困境中如何創(chuàng)新，有利于美育教學(xué)

許多數(shù)學(xué)家曾經(jīng)致力于歐氏幾何中“第五公設(shè)”的證明，都遇到困難。羅巴切夫斯基則另辟蹊徑，創(chuàng)造性地用另一公設(shè)替代“第五公設(shè)”，推演、創(chuàng)立了非歐幾何體系，開(kāi)辟出新的天地，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。這樣的例子還很多，如人們?cè)谘芯俊案缒崴贡て邩騿?wèn)題”時(shí)遇到困難，歐拉創(chuàng)造性地把地圖抽象為“點(diǎn)線圖”，把“不重復(fù)地走遍七座橋”抽象為“一筆畫(huà)”問(wèn)題，不但解決了問(wèn)題，而且開(kāi)創(chuàng)了有用的“圖論”。

4.以游戲引課激發(fā)興趣，有利于美育教學(xué)

興趣是最好的老師，我們用“10秒鐘計(jì)數(shù)”的游戲逐步引出斐波那契數(shù)列與黃金分割；還以“抓堆”游戲引出“解決關(guān)于自然數(shù)的問(wèn)題”的四點(diǎn)規(guī)律，使學(xué)生感悟其中的數(shù)學(xué)之美。

5.組織學(xué)生的探究活動(dòng)，有利于美育教學(xué)

在探究活動(dòng)中學(xué)生可以進(jìn)行創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的實(shí)踐。在“5個(gè)平面最多把空間分為多少個(gè)部分”的教學(xué)中，我們組織學(xué)生探究，生生互動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)規(guī)律、證明結(jié)論的全過(guò)程，自己創(chuàng)造美的結(jié)果。

這種自主、有趣的教學(xué)氛圍，不僅使學(xué)生感悟到那些具體的數(shù)學(xué)之美，而且普遍地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，為學(xué)生一般地進(jìn)行數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)和數(shù)學(xué)美的創(chuàng)造提供了較大的空間。

6.《數(shù)學(xué)之美》校內(nèi)刊物及全?！皵?shù)學(xué)之美論壇”

數(shù)學(xué)文化課在課外還延伸創(chuàng)辦了本科生的校內(nèi)刊物《數(shù)學(xué)之美》及全校“數(shù)學(xué)之美論壇”?？锩磕暌黄?，至今己編發(fā)11期，已刊登本科生的文章421篇，共評(píng)選出一等獎(jiǎng)37篇、二等獎(jiǎng)69篇、三等獎(jiǎng)93篇。全校性的大學(xué)生“數(shù)學(xué)之美論壇”已經(jīng)辦了9屆，在論壇上作大會(huì)演講的有35人，作分組會(huì)演講的有73人。發(fā)文或演講的學(xué)生都有較大的收獲和成就感。

《數(shù)學(xué)之美》編委會(huì)由我校數(shù)學(xué)文化課程組和高等數(shù)學(xué)教學(xué)部的7位教師組成。每一期刊物在個(gè)人審稿的基礎(chǔ)上還有兩次集體審稿，對(duì)于初步錄用的稿件都給作者發(fā)去“編輯部修改意見(jiàn)”的電子郵件。對(duì)于準(zhǔn)備在論壇上做演講的學(xué)生，我們會(huì)組織一次集體的試講，對(duì)學(xué)生進(jìn)行“材料如何選取、PPT如何制作及演講技巧”的輔導(dǎo)。我們投入這么多時(shí)間、精力，完全是出于“全面育人、素質(zhì)教育”的責(zé)任心。

四、數(shù)學(xué)文化課的美育效果

一些學(xué)生在“評(píng)課意見(jiàn)”中寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)文化課立意非常好，又淺顯易懂，還透著哲學(xué)的光芒，授之知識(shí)亦授之理性。上這個(gè)課每分鐘都是過(guò)得有價(jià)值的?！薄拔覐臄?shù)學(xué)文化課中體會(huì)著原來(lái)沒(méi)體會(huì)到的那一份數(shù)學(xué)的美麗。這份美麗像一本古書(shū)，一杯老酒，?？闯Ｐ?，久品久醇。”“數(shù)學(xué)文化課使我們感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是枯燥的，數(shù)學(xué)邏輯不是冷酷的，數(shù)學(xué)是令人賞心悅目的?！?/p>

南開(kāi)大學(xué)的“數(shù)學(xué)文化”課程2007年以來(lái)先后被評(píng)為“國(guó)家精品課程”“精品視頻公開(kāi)課”“精品資源共享課”，2014年獲國(guó)家級(jí)教學(xué)成果二等獎(jiǎng)?！皵?shù)學(xué)文化十講”慕課去年9月也在“愛(ài)課程”網(wǎng)“中國(guó)大學(xué)MOOC”平臺(tái)開(kāi)課。

近年來(lái)，南開(kāi)大學(xué)的數(shù)學(xué)文化課受到許多兄弟高?？隙?。包括清華、北大在內(nèi)，筆者應(yīng)邀到150余所高校及20多個(gè)全國(guó)性教改會(huì)議數(shù)學(xué)文化課程方面的報(bào)告；多家主流媒體報(bào)道了南開(kāi)大學(xué)的數(shù)學(xué)文化課程?，F(xiàn)在，文理交融的數(shù)學(xué)文化類課程已經(jīng)推廣到全國(guó)300余所高校。美育與德育、智育相互滲透，融合于數(shù)學(xué)文化課程之中，在更加廣闊的天地開(kāi)花結(jié)果。

[責(zé)任編輯：陳立民]