朵天舉

摘 要：導數幾何意義的應用是各級各類考試考查的熱點之一，本文將從具體的實例出發(fā)，分析并介紹高考中常見的題型，找出一般的解題策略與技巧。

關鍵詞：導數的幾何意義；應用；分析

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2016）06-001-01

導數的幾何意義是高中數學的一個重要知識點，也是每年高考的必考內容。利用導數的幾何意義解決的問題較多，歸納起來常見的類型有：（1）求切線方程及切點坐標；（2）求參數的值；（3）其它的綜合問題。下面就導數幾何意義的應用進行分類解析。

類型一：求切線方程及切點坐標

問題1. 已知函數f（x）=ax2-x2，其中a∈R。當a=1時，求曲線y=f（x）的在點（1，f（1））處的切線方程。

解析：求曲線的方程，要看已知的點是否為切點。這里的點（1，f（1））顯然是切點。

當a=1時，f（x）=x2-x2，因此f（1）=，切點為（1，），又 f'（x）=2x2-x+1，故k=f'（1）=2+1-1=2，曲線f（x）在點（1，）處的切線方程為y-=2（x-1）：，可得12x-6y-5=0.

問題2.（已知切線過某點求曲線的切線方程）

已知曲線C：y=x3-3x2+2x，直線l過（0，0）與曲線C相切，求直線l的方程.

解析：由題意知切線過原點，但原點不一定是切點。故先設切點，再求解。

設切線為y=kx，切點為（x0.y0）則y0=kx0.................①

由點（x0，y0）在曲線C上，則y0=x03-3x02+2x0.................②

又y'=3x2-6x+2，則k=3x02-6x0+2.................③

∴由①、②、③得x0=0或x0=-

∴切點為（0，2）或（ ，- ）.

∴當切點為（0，2）時，直線l的方程為y=2x；當切點為（ ，- ）.時，直線的方程為y=-x.

點評：利用導數的幾何意義求曲線的切線方程時，學生往往忽視已知點是否為切點，而造成錯誤。要分清在點p處的切線與過p點的切線的不同。曲線y=f（x）在點p（x0.y0）處的切線是指p為切點；曲線y=f（x）過點p（x0.y0）的切線是指切線經過點。

類型二：求參數的值

問題3： 已知直線y=x+1與曲線y=In（x+a）相切，求a的值.

解析：設出切點后再求導，利用導數的幾何意義求解。

設直線y=x+1與曲線y=In（x+a）的切點為（x0，y0），將點（x0，y0）代入直線與曲線方程得y0=x0+1，y0=In（x0+a） ∵y'=，y'x-x0==1， ∴x0+a=1， ∴y0=0 ，x0=1 ∴a=2.

點評：高考中?？疾椤耙阎€的切線求參數”問題，這類問題有可能出現在小題中，也有可能出現在解答題第一問。該類問題綜合考查函數解析式的求解、導數的幾何意義、直線方程的求解、及其方程組的解法。解決這類問題的關鍵是建立函數在切點處的導數與斜率的關系，其實質是導數幾何意義的逆用。

類型三：其他綜合問題

問題4 ：如果y=f（x）的導函數的圖像是開口向上，頂點坐標為（1，-）的二次函數，求曲線y=f（x）上任一點的切線的傾斜角α的取值范圍.

解析：求曲線y=f（x）上任一點的切線的傾斜角α的取值范圍，先求切線的斜率范圍。

設曲線y=f（x）上任一點P（x0，y0），在該點的切線斜率為k，因為y=f（x）的導函數f'（x）的圖像是開口向上，頂點坐標（1，-）為的二次函數，∴f'（x）≥-。由此f'（x0）≥-，k≥-。由正切函數的圖像可知傾斜角α的取值范圍是[0，）∪[，π）.

點評：本題綜合考查導函數的概念、二次函數的圖像及值域、導函數與函數在某一點的導數的關系、三角函數的圖像、直線的傾斜角與斜率的關系。解決綜合性問題的關鍵是理清思路，將復雜的問題分解成小問題，逐個擊破。

問題5 ：已知函數fn（x）=xn+1，n∈N*的圖象與直線x=1交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，求log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值.

解析：求log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值，即求x1x2x3…x2011x2012的積，進而轉化為求xn.由fn'（x）=（n+1）xn，曲線fn（x）=xn+1在點P（1，1）處的切線斜率k=n+1，故在x=1處的切線方程為y-1=（n+1（x-1）），

令y=0得xn=，所以x1x2x3…x2011x2012=××…××=.

故log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log20132013-1=-1.

點評：本題綜合考查應用導數求曲線的切線方程及對數的運算公式的應用。

綜上所述，導數幾何意義的應用比較廣泛，但從高考的命題動向看，主要考查以上三方面的應用。解決此類問題的關鍵是抓住函數在某點的導數等于曲線在該點的切線斜率；另一方面還要抓住題目的關鍵和本質所在，將復雜問題分解成多個小問題，不能解決的問題轉化為已知問題。