以小破大 突破二次函數(shù)的“重圍”

廖杰峰

[摘要]在浙江高考卷中，二次函數(shù)往往作為壓軸題，而對(duì)于函數(shù)的考查，比較側(cè)重以二次函數(shù)為依托，考查二次函數(shù)及其方程、不等式的綜合運(yùn)用，本文以此為線索，從幾個(gè)小問(wèn)題入手，厘清二次函數(shù)與方程、不等式在具體問(wèn)題中的聯(lián)系及轉(zhuǎn)化關(guān)系，并提出二次函數(shù)綜合題的相應(yīng)解題策略。

[關(guān)鍵詞]二次函數(shù);以小破大;解題策略

問(wèn)題1 已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax+4（a>0）。若x1

解法1 因?qū)ΨQ(chēng)軸方程為x=-1，由已知條件知，則x1，x2不可能都在-1的左邊，否則與條件矛盾，所以只能在右邊或一左一右。

第一種情況，若x1，x2都在-1的右邊，則根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，就有f（x1）

第二種情況，若x1，x2在-1的一左一右，則只能是x1在-1的左邊，而x2在-1的右邊，設(shè)x1與-1的距離為L(zhǎng)，設(shè)x2與-1的距離為N，L-N=x1-x2<0，所以L

解法2 （特殊值法）取x1=-2，x2=2，對(duì)照稱(chēng)軸方程為x=-1，顯然f（x1）

變式 已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax+4（0

解析 取a=1，即轉(zhuǎn)化為上一題。

比函數(shù)值大小的解題策略：

其一，根據(jù)已知條件確定對(duì)稱(chēng)軸，并求出相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)軸方程。函數(shù)的單調(diào)性、極值及函數(shù)值大小等與對(duì)稱(chēng)軸密切相關(guān)。在閉區(qū)間內(nèi)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題通過(guò)該函數(shù)的單調(diào)性可以確定，而該函數(shù)的單調(diào)性，又根據(jù)其對(duì)稱(chēng)軸位置（在區(qū)間的右邊、左邊，還是區(qū)間內(nèi)）及開(kāi)口方向來(lái)確定。如果無(wú)法確定對(duì)稱(chēng)軸位置和開(kāi)口方向，則要進(jìn)行分類(lèi)討論。

其二，可以采用特值法，即特殊值代入?？梢詫㈩}目中的某一個(gè)未知量設(shè)為較特殊的值，以降低解題難度。該方法在選擇題中比較適用。注意在代入特殊值時(shí)，切不可以偏概全，要力求全面、恰當(dāng)。

其三，轉(zhuǎn)化法。可以將“比較函數(shù)值大小”這類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為針對(duì)對(duì)兩個(gè)或幾個(gè)自變量間關(guān)系的研究問(wèn)題，繼而轉(zhuǎn)換成對(duì)變量和對(duì)稱(chēng)軸之間距離的研究。

此外，分類(lèi)討論非常重要。要做到不重復(fù)、不漏掉任何情況。對(duì)區(qū)間固定、對(duì)稱(chēng)軸不確定的題型，可以先進(jìn)行配方，接著根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置與定義域區(qū)間的關(guān)系來(lái)討論。對(duì)區(qū)間不固定、對(duì)稱(chēng)軸確定的題型，可以先求出函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而分析在不同期間內(nèi)的最值狀況。對(duì)區(qū)間不固定、對(duì)稱(chēng)軸也不確定的題型，可以先找出該函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸滿足的條件，進(jìn)而確定對(duì)稱(chēng)軸方程，在分析定義域區(qū)間和對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系。

問(wèn)題2 若不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈0，12成立，則a的最小值為（ ）。

A。0 B。-2 C。ba D。-3

解法1 （轉(zhuǎn)換變量）取f（a）=x·a+x2+1，只需f（0）≥0，且f12≥0，得到a≥-52。

解法2 （分離變量）a≥-x2-1x=-x+1x，同時(shí)y=x+1x在x∈0，12的范圍內(nèi)的最小值為52，a的最小值為-52。

變式 若對(duì)任意的n（n為正整數(shù)），n2+（a-2）n+1+a>0恒成立，求a的取值范圍。

略解：分離變量。

提示 要求無(wú)論a取何值，該式恒大于0，即在最低點(diǎn)該式大于0。而該式開(kāi)口向上，可知最低點(diǎn)即為二次函數(shù)的頂點(diǎn)。

求變量范圍的解題策略：

其一，如果在變量所處范圍內(nèi)有兩個(gè)端點(diǎn)，則可以將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)（即進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換）或分離變量。

其二，如果在變量所處范圍內(nèi)有一個(gè)端點(diǎn)，可以考慮分離變量。

問(wèn)題3 設(shè)f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0，求證：

（1）a>0且-2

（2）函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)？說(shuō)明你的理由。

解析 （1）由已知，有c>0，3a+2b+c>0，由條件a+b+c=0，消去b，得a>c>0。

由條件a+b+c=0，消去c，得a+b<0，2a+b>0，又已有a>0，所以-2

（2）拋物線f（x）=3ax2+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-b3a，3ac-b23a，把-20，f（1）<0，而f-b3a=-a2+c2-ac3a<0，由零點(diǎn)存在定理可知，所以函數(shù)f（x）在0，-b3a與-b3a，1內(nèi)分別有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)。

變式 設(shè)f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）·f（1）=0，求證：

（Ⅰ）方程f（x）=0有實(shí)根;

（Ⅱ）-2

（Ⅲ）設(shè)x1，x2是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，求|x1-x2|的范圍。

解析 （Ⅰ）若a=0，b=-c，則f（0）·f（1）=c（3a+2b+c）=-c2≤0，這與已知矛盾，所以a≠0。

方程的判別式：

Δ=4（a2+c2-ac）=4a-12c2+34c2>0，

所以方程f（x）=0有實(shí)根。

（Ⅱ）由f（0）·f（1）=0，得c（3a+2b+c）>0，由條件a+b+c=0，消去b，得到（a+b）（2a+b）>0，兩邊同除以a2，得-2

（Ⅲ）（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=49ba+322+13。

因?yàn)?2

所以33≤x1-x2<23。

求不等關(guān)系的解題策略：

可以采用消元法。將無(wú)關(guān)量消去，方便解題。

求二次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或位置的解題策略：

可以采用分割法。尋找如頂點(diǎn)之類(lèi)的特殊點(diǎn)位置，進(jìn)而確定分點(diǎn)，以分割區(qū)間。

二次函數(shù)的根解題策略：

其一，根據(jù)定義和判別式判斷根（兩個(gè)不相等實(shí)根，一個(gè)實(shí)根還是沒(méi)有實(shí)根）。注意二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0。

其二，x1-x2=Δa。

其三，可以使用消元法、換元法等轉(zhuǎn)化方法，以求確定變量的范圍。

反思和總結(jié)：

其一，要弄清根和定義的概念與關(guān)系。

其二，要注意二次函數(shù)值與自變量間的變化對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)問(wèn)題，研究的是動(dòng)態(tài)變化，理解函數(shù)值和自變量間的變化對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)解題而言至關(guān)重要。

其三，通過(guò)數(shù)學(xué)建模思想，數(shù)形結(jié)合方便解題。對(duì)某些應(yīng)用型較強(qiáng)的問(wèn)題，典型如汽車(chē)通過(guò)橋洞問(wèn)題，根據(jù)圖形的直觀性、豐富性特征，可以有效降低解題難度。

其四，介紹一些簡(jiǎn)單的解決二次函數(shù)問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)。

二次函數(shù)公式：y=ax2+bx+c（其中系數(shù)a、b、c均為常數(shù)，且a≠0）。

當(dāng)a>0時(shí)，該函數(shù)開(kāi)口向上;當(dāng)a<0時(shí)，該函數(shù)開(kāi)口向下。

當(dāng)a與b符號(hào)相同時(shí)，在y軸左側(cè)有對(duì)稱(chēng)軸;當(dāng)a與b符號(hào)不同時(shí)，在y軸右側(cè)有對(duì)稱(chēng)軸。

|x1-x2|=b2-4aca該式交y軸于（0，c）。

當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，ax2+bx+c=0有兩個(gè)大小不等的實(shí)根;

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，ax2+bx+c=0有一個(gè)實(shí)根;

當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)根。

二次函數(shù)的幾種解析式：

一般式：y=ax2+bx+c（其中系數(shù)a，b，c均為常數(shù)，且a≠0）

頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（其中，a，k，h均為常數(shù)，a≠0）

兩根式：y=a（x-x1）（x-x2），x1，x2為拋物線交x軸的橫坐標(biāo)，即ax2+bx+c=0的兩個(gè)根。

其中，所有二次函數(shù)，進(jìn)行配方后都能轉(zhuǎn)換成頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）。當(dāng)h=0時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)位于y軸。k=0時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)位于x軸。k=0且h=0，拋物線的頂點(diǎn)位于原點(diǎn)。當(dāng)拋物線和x軸相交時(shí)，該拋物線方程可以轉(zhuǎn)化為兩根式。

其五，求拋物線最值、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)有如下方法：

配方法：將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成y=a（x-h）2+k的形式，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對(duì)稱(chēng)軸是直線x=h。當(dāng)a>0時(shí)，y存在最小值，其最小值=k，此時(shí)x=h;當(dāng)a<0時(shí)，y存在最大值，其最大值為k，此時(shí)x=h。

公式法：直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。