集值映射ε-強(qiáng)有效性的廣義ε-Moreau-Rockafellar定理

余 麗

(宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 江西 宜春 336000)

集值映射ε-強(qiáng)有效性的廣義ε-Moreau-Rockafellar定理

余 麗

(宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 江西 宜春 336000)

在局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間中研究集值映射ε-強(qiáng)次梯度的性質(zhì),利用集值映射ε-弱次梯度的廣義ε-Moreau-Rockafellar定理,借助ε-強(qiáng)次梯度的概念和凸集分離定理,建立了集值映射關(guān)于ε-強(qiáng)有效性的廣義ε-Moreau-Rockafellar定理.

ε-強(qiáng)有效解; 次梯度; 廣義ε-Moreau-Rockafellar定理

逼近解是集值優(yōu)化理論的重要組成部分,近幾年,對逼近解的研究取得了一些顯著的成果[1-10].I. Valyi[1]引進(jìn)了各種逼近解的概念,得到了Hurwitz-type鞍點定理.A. Taa[2]引進(jìn)了集值映射ε-弱次微分的概念,建立了該次微分的標(biāo)量化定理和廣義的ε-Moreau-Rockafellar定理等.文獻(xiàn)[3]利用文獻(xiàn)[11]引入的廣義高階錐方向鄰接導(dǎo)數(shù),獲得了帶廣義不等式約束的集值優(yōu)化問題ε-嚴(yán)有效解的廣義高階Fritz John型必要和充分條件.Q. L. Wang[4]提出了ε-強(qiáng)有效點的概念,并建立了向量優(yōu)化問題ε-強(qiáng)有效解的最優(yōu)性條件.余麗[5]提出了集值映射ε-強(qiáng)有效次微分的概念,并得到了該次微分的存在性條件.本文研究集值映射關(guān)于ε-強(qiáng)有效性的廣義ε-Moreau-Rockafellar定理.所用的證明方法與文獻(xiàn)[2]有所不同.本文將利用集值映射ε-弱次梯度的廣義ε-Moreau-Rockafellar定理,借助凸集分離定理得到了結(jié)論：2個集值映射和的ε-強(qiáng)有效次梯度可以表示成它們ε-強(qiáng)有效次梯度的和.

1 基本概念

定義 1.1[2]設(shè)?≠M?Y,ε∈C.點y∈M稱為M關(guān)于錐C的ε-弱有效點,記為y∈ε-W.min(M,C),如果

(M-y+ε)∩(-intC)=?.

定義 1.2[4]設(shè)B為C的基,N(0Y)是Y的零點鄰域基,ε∈C.點y∈M?Y稱為M關(guān)于錐C的ε-強(qiáng)有效點,記為y∈ε-GE(M,C),如果?φ∈Y*,?U,V∈N(0Y)使得

φ[cl cone(M+ε-y)∩(U-cone(V+B))]

有界.

注 1.1[4]在定義1.2中可以根據(jù)需要,U、V可以取為凸的對稱鄰域,且y∈ε-GE(M,C)當(dāng)且僅當(dāng)對任意的φ∈Y*,?U,V∈N(0Y)使得

φ[cone(M+ε-y)∩(U-cone(V+B))]

有界.

設(shè)F:X→2Y是集值映射,F的定義域和上圖分別定義為

domF={x∈X:F(x)≠?},

epiF={(x,y)∈X×Y:

x∈domF,y∈F(x)+C}.

定義 1.3[11]設(shè)集值映射F:X→2Y,稱F在X上是C-凸的,如果對任意的x1,x2∈X,0≤λ≤1有

λF(x1)+(1-λ)F(x2)?

F(λx1+(1-λ)x2)+C.

2 廣義ε-Moreau-Rockafellar定理

引理 2.1[12]設(shè)F:X→2Y是一集值映射,且x0∈domF,則下面3個條件只要滿足其中之一,就有int(epiF)≠?:

(ii) 存在a∈Y使得F(X)?a-C;

(iii) 存在映射f:X→Y使得f(x)∈F(x)(?x∈X),并且f在x0的一鄰域U(x0)內(nèi)連續(xù).

ε1,ε2∈C,ε1+ε2∈ε+YintC}.

ε1,ε2∈C,ε1+ε2∈ε+YintC}.

ε1,ε2∈C,ε1+ε2∈ε+Yint C}.

證明 引理2.1可知,int(epiF1)≠?.由文獻(xiàn)[13]中引理3.1的結(jié)論可知,int(epiF1)∩epiF2≠?,結(jié)合引理2.2和2.3得證.

ε1,ε2∈C,ε1+ε2∈ε+YintC}.

(1)

證明 設(shè)T∈L(X,Y),并且滿足

(2)

φ0[cone(F1(E)+F2(E)-T(E)+ε-

有界.由于F1和F2在E上是C-凸的,故

是凸集,于是

cone(F1(E)+F2(E)-T(E)+

是凸錐.于是由文獻(xiàn)[14]中定理2.2知存在ξ∈(cone(V0+B))*及

ζ∈(cone(F1(E)+F2(E)-T(E)+

(3)

使φ0=ζ-ξ,于是ζ=φ0+ξ.顯然ξ(B)≥0,因此

ζ(B)=φ0(B)+ξ(B)≥t.

再由(3)式得

cone(F1(E)+F2(E)-T(E)+ε-

由W=-W得

cone(F1(E)+F2(E)-T(E)+ε-

由文獻(xiàn)[15]中定理4.1的證明過程可得

(4)

因而

(5)

由F1和F2在E上是C-凸的及C?CW(B)可知,F1和F2在E上是CW(B)-凸的,至此,定理2.1的條件全部滿足,所以有

ε1,ε2∈C,ε1+ε2∈ε+YintC}.

(6)

(-intCW(B))=?.

(7)

由(7)式易證

(-intCW(B))=?.

(8)

由凸集分離定理知存在0≠f∈Y*,使得

(9)

由于

是凸錐,f在其上有下界,于是

這蘊涵了

(10)

由(9)式知f(-intCW(B))≤0,因此f∈(intCW(B))*?intC*,由文獻(xiàn)[14]中命題2.1知f∈Bst.下證

無界.

取k,δ>0,令

滿足φi(wni)→∞.將wni表示為

uni-sni(vni+bni), i=1,2,

f(b+v)>t+δ-t=δ>0, ?

于是存在Ni,當(dāng)ni>Ni時有

f(uni-sni(vni+bni))<0,i=1,2.

于是

f(tni(Fi(xni)-Ti(xni)+

由于tni≥0,故

f(Fi(xni)-Ti(xni)+

(11)

(11)式蘊涵了

f(F1(xn1)-T1(xn1)+

(12)

和

f(F2(xn2)-T2(xn2)+

(13)

(12)與(13)式相加得

f(F1(xn1)+F2(xn2)-T1(xn1)-T2(xn2)+ε1+

(14)

另一方面,(10)式蘊涵了

(15)

和

(16)

(15)和(16)式相加得

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2010 MSC：46N10

(編輯 李德華)

Generalizedε-Moreau-Rockafellar Theorem forε-strong Efficiency of Set-valued Mappings

YU Li

(Institute of Mathematics and Computer of Science, Yichun College, Yichun 336000, Jiangxi)

In this paper, the property ofε-strong subgradient for set-valued mappings is considered in locally convex Hausdorff topological linear space. By using the generalizedε-Moreau-Rockafellar theorem forε-weak subgradient of the set-valuedmappings, the generalizedε-Moreau Rockafellar theorem forε-strong efficiency is derived with the help of the concept ofε-strong subgradient and the separation theorem for convex sets.

ε-strongly efficienct solutions; subdifferential; generalizedε-Moreau-Rockafellar theorem

2015-07-28

江西省教育廳科技項目(GJJ151036)

余 麗(1980—),女,講師,主要從事集值優(yōu)化及應(yīng)用的研究,E-mail:yulilyy@163.com

O221.6

A

1001-8395(2016)06-0861-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.016