于姝雯 王東華 劉志剛 李玩幽

（哈爾濱工程大學，哈爾濱 150001）

考慮齒輪嚙合激勵的齒輪傳動軸系扭振特性分析*

于姝雯 王東華 劉志剛 李玩幽?

（哈爾濱工程大學，哈爾濱 150001）

在傳統(tǒng)齒輪傳動軸系扭轉振動計算中，將齒輪副簡化為單一慣量而忽略齒輪嚙合動態(tài)激勵，會導致軸系扭轉振動特性分析的結果不能正確描述軸系實際工作狀態(tài).本文以齒輪傳動軸系為對象，考慮齒輪嚙合的動態(tài)特性，建立軸系扭轉振動當量模型.對齒輪嚙合時變剛度和嚙合激勵力進行Matlab數值模擬.將Newmark逐步積分法應用于軸系扭轉振動強迫振動響應的計算中，計算在齒輪嚙合動態(tài)激勵扭矩和外加負載扭矩的分別作用和共同作用下的軸系扭轉振動響應情況，比較分析結果，說明了齒輪嚙合動態(tài)特性是軸系扭轉振動的重要激勵源而不可忽視這一事實.

軸系扭轉振動， 齒輪嚙合時變剛度， 齒輪嚙合動態(tài)激勵， 強迫振動響應， 外部負載扭矩

引言

在船舶軸系中，齒輪增減速傳動系統(tǒng)的應用十分廣泛.根據船級社《鋼制海船入級與建造規(guī)范》中的相關規(guī)定［1］，為保證軸系強度滿足要求，需要計算軸系的扭轉振動響應.在齒輪傳動軸系的扭轉振動計算時，不要求考慮齒輪副的嚙合激勵作用.

在柴油機等往復機械中，作用在軸系上的各氣缸工作激勵扭矩遠大于齒輪嚙合激勵扭矩，此時，齒輪嚙合激勵扭矩對軸系扭轉振動計算的影響可忽略.然而，在非往復設備的傳動軸系扭轉振動計算中，由于齒輪嚙合激勵扭矩是軸系扭轉振動的重要激勵源之一，將齒輪副簡化為單一慣量的傳統(tǒng)處理方式即忽略齒輪嚙合動態(tài)激勵，不能正確的反映軸系實際扭轉振動狀態(tài).

眾多研究者深入地研究了齒輪副的動力學特性，對本文齒輪副動力學數值模擬有著指導意義.Y.Cai［2］給出了齒輪嚙合剛度的模擬公式，并已在實驗基礎上得到修正.對齒輪系統(tǒng)的非線性動力學微分方程線性化，并能對齒輪嚙合激勵進行數值模擬及基于有限元法的嚙合剛度的模擬，實現對齒輪嚙合接觸的有限元分析［3-8］.響應分析多集中于齒輪箱體振動的有限元法分析［9-11］.齒輪嚙合對稱軸系會產生軸系扭轉振動異向振動現象［12］.

為說明齒輪嚙合對軸系扭轉振動響應的影響情況，本文以齒輪傳動軸系為研究對象，首先對齒輪嚙合時變剛度、齒輪嚙合動態(tài)激勵進行Matlab數值模擬.對軸系進行集總參數簡化，建立軸系扭轉振動當量參數模型.依據Newmark逐步積分原理，進行系統(tǒng)扭轉強迫振動響應計算.對在齒輪內部激勵扭矩和外加負載波動扭矩，分別作用和共同作用下，軸系扭轉振動響應進行計算與分析.

1 齒輪系統(tǒng)內部激勵的數值模擬

1.1 齒輪副扭振模型

對齒輪副處進行細化建模，即齒輪副主從動輪簡化成兩個慣量，考慮齒輪嚙合時變動態(tài)特性對軸系扭轉振動的影響.齒輪副處扭轉振動動力學模型［5］如圖1所示.

齒輪傳動系統(tǒng)振動微分方程為：

式中，M，C，K分別是質量、阻尼、剛度矩陣，其中剛度矩陣包含了齒輪結構剛度以及齒輪嚙合的時變剛度.剛度的時變性使得振動微分方程的非線性.為了便于分析，將剛度的時變部分進行分離，并以激勵的形式移到方程的右邊，這樣就使得非線性的振動微分方程線性化.改寫過程為［5］：

方程（4）的右邊載荷部分即齒輪嚙合動態(tài)激勵的表達形式.

圖1 齒輪副扭轉振動分析模型Fig.1 The torsional vibration model of gear pair

采用的單級直齒圓柱齒輪相關參數見表1.

表1 齒輪副詳細參數Table 1 Details of gear pair

1.2 齒輪嚙合剛度數值模擬

依據Y.Cai公式［2］，用Matlab軟件對齒輪嚙合剛度進行數值模擬.數值模擬得到齒輪副單齒嚙合時變剛度曲線如圖2所示.

圖2 單齒嚙合剛度曲線Fig.2 The stiffness curve of single gear

直齒圓柱齒輪傳動的重合度εα為：

經計算得齒輪嚙合重合度為2.0231，齒輪副嚙合周期為Tz＝εα×60／n＝0.002023s.據此對齒輪嚙合剛度進行綜合疊加，得到齒輪副綜合嚙合剛度（如圖3所示）以及主動輪、從動輪扭轉嚙合剛度曲線如圖4所示.主動齒輪扭轉嚙合剛度的平均值為1.86E6Nm／rad.

圖3 齒輪綜合嚙合剛度曲線Fig.3 The stiffness curves of themesh gears

圖4 齒輪扭振嚙合剛度曲線Fig.4 The torisional stiffness curves of themesh gears

1.3 齒輪嚙合誤差激勵的數值模擬

根據齒輪設計的精度等級確定齒輪的偏差，采用簡諧函數表示法進行誤差模擬［5］，則輪齒的齒形誤差和基節(jié)誤差可用正弦函數.具體表示為：

式中，Tz是齒輪的嚙合周期，εα是重合度，n為輸入轉速，e0，er是齒輪誤差幅值.對誤差激勵數值模擬結果如圖5所示.

圖5 齒輪傳動誤差曲線Fig.5 The error curve of themesh gears

1.4 齒輪嚙合動態(tài)激勵的合成

根據公式（4），將單齒嚙合剛度曲線（圖2）與誤差曲線（圖5）對應點相乘，合成為齒輪嚙合內部激勵［13］，如圖6所示.將單齒激勵進行綜合，得到的齒輪綜合激勵曲線如圖7所示.

圖6 單齒激勵合成曲線Fig.6 The excitation curve of the single gear

圖7 齒輪綜合激勵曲線Fig.7 The excitation curve of themesh gears

將齒輪綜合激勵曲線中各時間點對應的激勵值減去其中最小值，再將其轉化到主動齒輪、被動齒輪徑向方向的扭矩曲線，如圖8、9所示.

圖8 主動齒輪嚙合動態(tài)激勵扭矩曲線Fig.8 The torque curve of the drive gear

圖9 從動齒輪嚙合動態(tài)激勵扭矩曲線Fig.9 The torque curve of the driven gear

2 軸系扭轉振動當量模型

采用集總參數法對軸系進行當量簡化，系統(tǒng)結構示意圖如圖10所示.建立軸系扭振振動分析模型，按照振動的特性不變的原則，將實際的軸系進行合理的簡化.簡化后的系統(tǒng)是由10個只有轉動慣量而無彈性變形的集中質量和9個只有彈性變形而無轉動慣量的一些彈性軸段組成［14］.

圖10 系統(tǒng)結構簡圖Fig.10 The structure of the shaft system

按照簡化原則對軸系簡化的當量參數見表2.軸系當量模型見圖如圖11所示.

表2 軸系扭振當量參數Table 2 Torsional vibration parameters of shaft equivalentmodel

圖11 軸系扭振當量模型Fig.11 The torsional equivalentmodel of the shaft system

3 軸系扭轉振動自由振動計算

系統(tǒng)自由振動微分方程［15］為：

設方程的解的形式為：

則可以得到矩陣方程：

式中，K為扭轉剛度矩陣，J為轉動慣量矩陣，λ為系統(tǒng)矩陣特征值.并可得到系統(tǒng)固有頻率為：

按照以上原理編制MATLAB計算程序，扭轉自由振動前四階固有頻率見表3.

自由振動計算中的齒輪嚙合剛度采用的是由Y.Cai公式近似計算的嚙合剛度的平均值（1.86 E6Nm／rad）.考慮到嚙合剛度的時變性，將齒輪嚙合剛度依次取10～1E10Nm／rad，得到前三階固有頻率與齒輪嚙合剛度的關系曲線.

表3 扭轉振動固有頻率Table 3 Natural frequency of torsional vibration

如圖12所示，齒輪扭轉振動嚙合剛度低于1E4Nm／rad時，前三階臨界轉速均有較大波動，嚙合剛度大于1E5Nm／rad時，前四階固有頻率變化平穩(wěn).由圖4可知，主動輪、從動輪扭轉剛度范圍大于1E5Nm／rad，因此，針對此系統(tǒng)，剛度時變性不會引起前四階固有頻率大范圍的變化.

圖12 扭轉振動固有頻率隨齒輪嚙合剛度變化曲線Fig.12 The torsional equivalentmodel of the shaft system

4 軸系扭轉振動強迫振動響應計算

4.1 齒輪內部激勵作用下的軸系扭振響應分析

將Newmark逐步積分法［16］應用于軸系扭轉振動響應的分析中，計算流程如圖13所示.

軸系強迫振動微分方程為：

將齒輪嚙合動態(tài)激勵作為軸系唯一激振力，計算強迫振動響應.圖14為慣量7的軸系扭轉振動的角加速度響應時域曲線.將其進行傅里葉變換得到頻域曲線如圖15所示，圖中明顯的峰值頻率為嚙合頻率（492.7Hz）及嚙合頻率的二倍頻（985.4Hz）、四倍頻（1970.8Hz）等.說明齒輪嚙合動態(tài)激勵引起了軸系較明顯的扭轉振動響應，對軸系扭轉振動有一定的激振能力.

圖13 Newmark法扭振計算流程圖Fig.13 The flow chart of Newmark Method for torsional vibration calculation

圖14 齒輪動態(tài)激勵作用下慣量7角加速度響應時域曲線Fig.14 The time domain curve of the7th-inertia angular acceleration under the gearmesh torque

在齒輪嚙合動態(tài)激勵作用下各軸段的應力如圖16所示，在軸段2（主動輪慣量與軸系的連接軸段）和軸段6（從動輪慣量與軸系的連接軸段）處應力最大.

圖15 齒輪動態(tài)激勵作用下慣量7角加速度響應頻域曲線Fig.15 The frequency domain curve of the 7th-inertia angular acceleration under the gearmesh torque

圖16 齒輪動態(tài)激勵作用下軸段應力值Fig.16 The stress curve of each shaft section under the gearmesh torque

4.2 外加負載作用下軸系扭振響應計算與分析

本文研究對象的外加負載扭矩是通過發(fā)電機提供且施加在發(fā)電機慣量10上.發(fā)電機功率為8kW，齒輪箱輸入轉速1000r／min.負載扭矩幅值計算公式為負載扭矩以矩形波的形式施加，如圖17所示，頻率為1000Hz的波動負載扭矩曲線.

圖17 外部負載扭矩曲線Fig.17 The torque curve of the external loading

4.2.1 不考慮齒輪嚙合動態(tài)激勵

不考慮齒輪嚙合動態(tài)激勵時，外部負載扭矩作為軸系扭轉振動響應的唯一激振扭矩，計算軸系扭轉振動響應，如圖18、19所示，外部負載頻率為1000Hz時，慣量7角加速度響應時域、頻域曲線，頻譜圖中沒有齒輪嚙合激勵頻率及其倍頻成分.軸段應力如圖20所示，仍然是軸段2和軸段6處應力出現明顯峰值.

圖18 負載扭矩作用下慣量7角加速度響應時域曲線Fig.18 The time domain curve of the 7th-inertia angular acceleration under the external loading

圖19 負載扭矩作用下慣量7角加速度響應頻域曲線Fig.19 The frequency domain curve of the 7th-inertia angular acceleration under the external loading

使負載扭矩頻率在60～1000Hz范圍內變化，步長取5Hz，分別計算各頻率時的扭轉振動響應，得到的軸段2、軸段6應力值隨波動負載頻率變化如圖21、22所示.應力峰值頻率為扭轉振動固有頻率（70Hz、290Hz、510Hz、565Hz），是由于負載扭矩頻率與系統(tǒng)固有頻率相等時，發(fā)生共振現象，響應劇烈.除此之外，在170Hz處還有一明顯峰值，經分析，170Hz是扭振第一階固有頻率的2.5倍，齒輪副傳動速比是2.5，齒輪副傳動頻率出按2.5諧次放大.因此實際工程中，也要十分注意這一現象.除了要避免系統(tǒng)固有頻率外，還要注意齒輪傳動比對第一階固有頻率倍頻成分的放大作用.

圖20 負載扭矩作用下軸段應力值Fig.20 The stress curve of each shaft section under the external loading

圖21 負載扭矩作用下軸段2應力隨負載頻率變化曲線Fig.21 The stress curve of the second shaft section with the change of frequencies of external loading

圖22 負載扭矩作用下軸段6應力隨負載頻率變化曲線Fig.22 The stress curve of the 6th shaft section with the change of frequencies of external loading

4.2.2 考慮齒輪嚙合動態(tài)激勵

軸系扭振響應的激振力矩同時考慮作用在主、從動齒輪上的齒輪嚙合激勵扭矩以及作用在發(fā)電機負載慣量上的負載扭矩，計算軸系扭振響應.圖23、24為兩激勵扭矩共同作用、外部負載頻率為1000Hz時，慣量7角加速度響應時域曲線及頻域曲線.軸段應力曲線如圖25所示.頻域曲線中能體現齒輪嚙合激勵頻率及其倍頻成分.

圖23 齒輪動態(tài)激勵與負載扭矩共同作用下慣量7角加速度響應時域曲線Fig.23 The time domain curve of the 7th-inertia angular acceleration under the gearmesh torque and external loading

圖24 齒輪動態(tài)激勵與負載扭矩共同作用下慣量7角加速度響應頻域曲線Fig.24 The frequency domain curve of the 7th-inertia angular acceleration under the gearmesh torque and external loading

圖25 齒輪動態(tài)激勵與負載扭矩共同作用下軸段應力值Fig.25 The stress curve of each shaft section under the gearmesh torque and external loading

改變負載扭矩的頻率，負載扭矩頻率變化范圍為60～1000Hz，變化步長取5Hz，分別計算扭振響應.得到的軸段2、軸段6應力值隨波動負載頻率變化曲線如圖26、27所示.

圖26 齒輪動態(tài)激勵與負載扭矩共同作用下軸段2應力隨波動負載頻率變化曲線Fig.26 The stress curve of the second shaft section with the change of frequencies of external loading

圖27 齒輪動態(tài)激勵與負載扭矩共同作用下軸段6應力隨波動負載頻率變化曲線Fig.27 The stress curve of the 6th shaft section with the change of frequencies of external loading

5 結論

在非往復機械軸系的扭轉振動計算時，傳統(tǒng)的簡化齒輪幅嚙合結構為單一慣量的方式忽略了齒輪嚙合動態(tài)激勵對軸系扭轉振動的作用.在電機驅動帶有簡單直齒輪的傳動軸系工作時，恒轉速電機運行平穩(wěn)，外部激勵可忽略，此時軸系仍有很大的振動噪聲，這正是由于齒輪嚙合動態(tài)特性的作用結果.本文基于Newmark逐步積分法，得到多組軸系扭轉振動強迫振動響應結果.說明了齒輪嚙合動態(tài)激勵是軸系扭轉振動的一個重要激勵源而不可忽略.

由于齒輪嚙合動態(tài)激勵扭矩的作用，軸系扭轉振動頻譜中含有較大幅值的齒輪嚙合激勵頻率及其二倍頻、四倍頻等.且軸段應力最大值均出現在主、從動輪慣量與軸系其他部件慣量的連接軸段.因此齒輪嚙合動態(tài)激勵對軸系扭轉振動有明顯的激振作用.若忽略齒輪嚙合激勵，扭轉振動計算結果則不能完整描述軸系振動特性，齒輪嚙合動態(tài)激勵對軸系扭轉振動的影響不能忽略.

齒輪傳動作用放大了軸系扭轉振動第一階固有頻率的某一倍頻值，該倍頻值等于齒輪副速比，在解決工程實際問題時，這一現象值得關注.

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ANALYSISOF GEAR SHAFTING TORSIONAL VIBRATION CHARACTERISTICS CONSIDERING THE MESHING GEARS INCENTIVES*

Yu Shuwen Wang Donghua Liu Zhigang LiWanyou?
（Harbin Engineering University，Heilongjiang，Harbin150001，China）

Taking a gear-driving shaft system as the object in this paper，an equivalentmodel of the target system with shafting torsional vibration is developed.At first，the free vibration analysis is studied to obtain the natural frequencies of the torsional vibration.Then，the gear variable stiffness and the gear dynamic excitation are simulated by the software Matlab.Moreover，the Newmark Step Integration Method is applied to calculate the forced vibration response of the shaft torsional vibration under gear dynamic excitation or extra-applied load torque or both.It is concluded from the comparison of the results that gear dynamic excitation cannotbe neglected in the shafting torsional vibration.

shafting torsional vibration， gear variable stiffness， gear dynamic excitation， forced vibration response， extra-applied load torque

10.6052／1672-6553-2015-87

2015-10-29收到第1稿，2015-11-2收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（51375104）

?通訊作者E-mail：253352615＠qq.com

Received 29 October 2015，revised 2 November 2015.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（51375104）

?Corresponding author E-mail：253352615＠qq.com