浙江省杭州高級(jí)中學(xué)　(310003)　王　蕾

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一個(gè)向量恒等式與三角形“四心”的聯(lián)系

浙江省杭州高級(jí)中學(xué)(310003)王蕾

近幾年在各個(gè)省份的競(jìng)賽中頻繁出現(xiàn)與三角形“四心”(即外心，內(nèi)心，垂心，重心)有關(guān)的向量問題，筆者出于興趣，對(duì)三角形中的“四心”結(jié)合各個(gè)省的競(jìng)賽題做了對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)文中性質(zhì)所提的這個(gè)一般性結(jié)論非常實(shí)用，于是筆者就競(jìng)賽題，說說這一結(jié)論的妙用，供大家參考.

一、一個(gè)向量恒等式

圖1

二、三角形“四心”的向量表示

上述恒等式中的O點(diǎn)是任意的，如果取三角形的”四心“這樣的特殊點(diǎn)，會(huì)有怎樣的結(jié)果呢？

推論1若O是三角形ΔABC的外心，則

推論2若O是三角形ΔABC的內(nèi)心，則

推論3若O是三角形ΔABC的垂心，則

圖2

三、向量恒等式在空間的推廣

圖3