江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)　(212300)　史建軍

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對(duì)一道錯(cuò)題的修改與拓展

江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)(212300)史建軍

問(wèn)題設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足：

f(x+2)=-f(x)，若f(2)=3，則f(6)的值為：.

這是我校高一數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)講義上的一道題，學(xué)生在解本題時(shí)給出了以下兩種方法：

解法一：∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+2)+f(x)=0①,∴f(x+4)+f(x+2)=0②,①-②得f(x+4)=f(x),∴T=4,f(6)=f(6-4)=f(2)=3.

解法二：同上可得周期T=4，又f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(6)=f(6-8)=f(-2)=-f(2)=-3.

同一個(gè)問(wèn)題，卻有著兩種截然不同的答案，著實(shí)令人如入云霧.究竟孰是孰非？仔細(xì)推敲研究發(fā)現(xiàn)，兩種解法均正確無(wú)誤，真正的根源在于，本題的題目有問(wèn)題.

1.錯(cuò)誤剖析

那么，對(duì)于一般的函數(shù)，是否也有此結(jié)論呢？答案是肯定的.即：設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+2)=-f(x)，則有f(2)=0.

證明一：∵f(x+2)=-f(x)，∴T=4，∴f(2)=f(2-4)=f(-2)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(-2)=-f(2),∴f(2)=0.

證明二：∵f(x+2)=-f(x)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x+2)=f(-x)，∴f(2)=f(0)=0.

2.對(duì)原題的修改設(shè)想

設(shè)想1將“奇函數(shù)”的條件刪去，即：若函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且f(2)=3，則f(6)的值為.

簡(jiǎn)解：f(6)=f(2)=3.

設(shè)想2：將“f(2)=3”的條件刪去，即：設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)的值為.

簡(jiǎn)解：f(6)=f(2)=0.

3.對(duì)原題的探究與拓展

定理1設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足：f(x+a)=-f(x)，則f(0)=0,f(2na)=0.

證明：f(0)=0易證，以下證f(2na)=0.∵f(x+a)=-f(x),∴T=2a,∴f(2na)=0.

定理2設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+a)=-f(x)，則f(a)=0.

證明：由條件可得T=2a，∴f(a)=f(-a)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(-a)=-f(a)，∴f(a)=0.

定理3設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+a)=-f(x)，則f[a(2n+1)]=0.

證明：f[a(2n+1)]=f(2na+a)=f(a)=0.

定理4設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+a)=-f(x)，則f(na)=0.

證明：分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論，由定理1和定理3立得.

偶函數(shù)是否具有類似的結(jié)論呢？

4.函數(shù)圖像的特點(diǎn)

定理1設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足：f(x+a)=-f(x)，則函數(shù)y=f(x) 的圖像關(guān)于點(diǎn)(na,0)(n∈Z)成中心對(duì)稱.

證明：∵f(x+a)=-f(x),∴T=2a，f(x+2na)=f(x)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x+2na)=-f(-x)，即f(x+2na)+f(-x)=0，故函數(shù)y=f(x) 的圖像關(guān)于點(diǎn)(na,0)(n∈Z)成中心對(duì)稱.

證明：∵f(x+a)=-f(x),∴T=2a，∴f(x+a)=f(x+2na+a),又f(x)為R上的偶函數(shù)，∴f(-x)=f(x)，∴f(x+2na+a)+f(-x)=0.

定理2設(shè)f(x)為R上的偶函數(shù)，且滿足f(x+a)=-f(x)，則函數(shù)y=f(x) 的圖像關(guān)于直線x=na(n∈Z)成軸對(duì)稱.

證明：∵f(x+a)=-f(x),∴T=2a，∴f(x)=f(x+2na)，又f(x)為R上的偶函數(shù)，∴f(-x)=f(x)，∴f(x+2na)=f(-x)，故函數(shù)y=f(x) 的圖像關(guān)于直線x=na(n∈Z)成軸對(duì)稱.