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      掌握方法,直面高考

      2016-05-27 07:38董裕華
      新高考·高三數(shù)學(xué) 2016年2期
      關(guān)鍵詞:公差關(guān)系式高考題

      董裕華

      每年高考結(jié)束后,不少熱心人士都會不遺余力地搜集、整理高考題的不同解題方法,我們會發(fā)現(xiàn)有的解法非常平實(shí),易于上手;有的解法精彩絕倫,令人拍案稱絕.其實(shí),高考命題的一個原則就是不刻意追求解題的特殊技巧,每道題都能夠通過中學(xué)數(shù)學(xué)要求掌握的基本方法來解決,只不過有些同學(xué)把這些方法組合得比較巧妙,融會貫通,有些同學(xué)沒有能找到解決問題的關(guān)鍵點(diǎn),甚至沒有能找到門路.盡管有些數(shù)學(xué)題有多種解法,有的甚至有十幾種、幾十種解法,但這些解法中具有普遍意義的通用解法也就一兩種而已,更多的是針對這個題目的專用解法,非通用解法作為興趣愛好去欣賞和研究是可以的,但我們不能把特殊技巧當(dāng)作學(xué)習(xí)的重點(diǎn),而更應(yīng)關(guān)注具有普遍意義的方法和策略.

      什么樣的解題方法才是最好的方法?學(xué)生最容易想到、最容易掌握的方法才是真正的好方法.雖然老師偶爾也會講一些技巧性較強(qiáng)的思想和方法,但我們千萬不能本末倒置,把常用的處理方法置之腦后.

      例 設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合,數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=l,前n項(xiàng)和為Sn,已知對任意整數(shù)k屬于M,當(dāng)n>k時,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.

      評注 本題的第(2)問參考答案是從數(shù)列的遞推關(guān)系人手,作出來的解答關(guān)系式很多,令人望而生畏.很少有學(xué)生想到此法,即使想到,也很難在較短的時間內(nèi)完成.那么,這道題有沒有更一般、更自然的解決方法?

      其實(shí),我們可以運(yùn)用解數(shù)列題的常用方法,從特殊到一般,考察數(shù)列的前幾項(xiàng),以此來尋找規(guī)律,發(fā)現(xiàn)思路.

      這道題難在何處?難在題目本身用集合語言來描述,題意難以把握;難在即使理解了題意,若用代數(shù)推理的方法得數(shù)列的遞推關(guān)系,需要反復(fù)迭代導(dǎo)致關(guān)系式過多,難以理清其關(guān)系.從第二種思路的角度看,本題很好地考查了學(xué)生探索問題的能力,而絕非冷冰冰的演繹推理.本題的方法與思路,在平時學(xué)習(xí)中就已經(jīng)有所涉及.如:

      1.(蘇教版教材必修5第52頁例5)某人從2004年初向銀行申請個人住房公積金貸款20萬元用于購房,貸款的月利率為3.375%,并按復(fù)利計算.每月等額還貸一次,并從貸款后的次月開始?xì)w還.如果10年還清,那么每月應(yīng)還貸多少元?

      分析 按照課本方法,畫出還貸示意圖,然后列出一般的關(guān)系式,可能難以理解.如果我們一步一步地分析:若2年還清呢?3年呢?…然后列出1O年還清的關(guān)系,進(jìn)而還可以列出n年還清的關(guān)系式,一切都容易理解.這種方法其實(shí)就是通過特殊項(xiàng)去探索數(shù)列的規(guī)律來解決問題.

      2.如果等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,那么S10,S20-S10,S30-S20是否成等差數(shù)列?你能得到更一般的結(jié)論嗎?

      分析 本題是不是一定要用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來解?其實(shí),我們用項(xiàng)來表示會更簡單,也更有探索的味道.

      這一方法的運(yùn)用遠(yuǎn)比知道這個結(jié)論后去套用結(jié)論解題帶來的簡便有意思,也更有價值.

      如果改為“Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是否成等差數(shù)列”用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決就更復(fù)雜了,而用上述項(xiàng)表示出和來解決,結(jié)論顯而易見,而且知道Sm,S2m-Sm,S3m-S2m這個等差數(shù)列的公差為原來等差數(shù)列{an)公差的m2倍.

      由此可見,高考題的解題方法沒有鉆牛角尖,是重視通性通法的,是我們可以學(xué)習(xí)和掌握的.

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