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      一道高考壓軸題的另解及引申

      2016-05-27 07:38李迪淼
      新高考·高三數(shù)學(xué) 2016年2期
      關(guān)鍵詞:切點壓軸切線

      李迪淼

      湖北2015年高考數(shù)學(xué)卷文理科都采用了這樣一道壓軸題:一種畫橢圓的工具如圖1所示.0是滑槽AB的中點,短桿ON可繞0轉(zhuǎn)動,長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動,且DN=ON=1,MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時,帶動N繞0轉(zhuǎn)動,M處的筆尖畫出的橢圓記為C.以0為原點,AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

      (工)求橢圓C的方程;

      (Ⅱ)設(shè)動直線ι與兩定直線ι1:x-2y=0和ι2:x+2y=0分別交于P,Q兩點.若直線ι總與橢圓C有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

      這是一道很有創(chuàng)意義緊扣學(xué)生所學(xué)知識方法的好題,其中第一題比較簡單,本文只就第二小題給出幾個有別于標(biāo)準(zhǔn)解答的解法和若干引申,意在拋磚引玉.

      另解1 由第一小題知橢網(wǎng)方程為:x2+4y2=16,因而可設(shè)切點為E4cosθ,2sinθ),從而得切線PQ的方程:

      顯然其中等號成立的充要條件是cos2θ=±1<=>PQ⊥x軸或PQ∥x軸,因此△OPQ的面積存在最小值,為8.

      評注 該解法應(yīng)用橢圓的角參數(shù)方程建立起以角為白變量的面積函數(shù)關(guān)系式,再利用余弦函數(shù)的有界性獲得了答案,過程簡明,思路清晰,但要用到切線公式和有關(guān)三角公式.

      解析2 因為橢圓被直線l1:x-2y=O和l2:x+2y=0分割為四部分,根據(jù)對稱性則只需討論切點位于E和E'所處的兩個區(qū)域的情況即可(參見圖4).

      顯然其中等號成立的充要條件是y0=O,即PQ⊥x軸,所以此時△OPQ的面積存在最小值8;

      若切點位于圖4所示的E位置,同法可得當(dāng)PQ∥x軸時△OPQ的面積存在最小值8.

      評注 該解法應(yīng)用橢圓的普通方程建立起以切點縱坐標(biāo)為白變量的面積函數(shù)關(guān)系式,再利用實數(shù)平方的非負(fù)性獲得了答案,思路清晰,但要用到切線公式和分類討論方法.

      當(dāng)切點位于圖2所示的E'位置,同法可得△OPQ的面積存在最小值8.

      評注 這里利用幾何直觀法迅速獲得了答案,但這要建立在堅實的理論基礎(chǔ)和非凡的洞察力之上.

      引申1 在直線l1:x-2y=0上任取一點P作橢圓x2+4y2=16的兩條切線PQ和PQ'分別交直線l2:x+2y=0于Q,Q',則△POQ與△POQ'的面積相等.

      故M是切點弦EE'的中點.

      另一方面,因為切點弦EE':bx0z+ax0y=a2b與直線l2:bx+ay=0的斜率相而獲知△POQ與△POQ'的面積相等.證畢.

      引申3 動直線l與兩定直線l1:bx-ay=0和l2:bx+ay=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與橢圓b2x2+a2y2=a2b2有且只有一個公共點,則△OPQ的面積的最小值是ab.

      證明 由引申2及對稱性知只需考慮切點E位于∠POx的情況即可(參見圖7).

      當(dāng)PQ⊥x軸時,顯然S△OPQ=ab;

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