許少華

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 若集合A={x | x2-x+6<0}，集合B={x∈N | y=}，則A∩B=（ ）

A. {3} B. {1， 3} C. {1， 2} D. {1， 2， 3}

2. 若z =1-2i，則復數(shù)z+在復平面上對應的點在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 如圖1，ABCD是邊長為4的正方形，若DE=EC且F為BC中點，則· =（ ）

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

4. 某單位春節(jié)聯(lián)歡會中有一個抽獎環(huán)節(jié)，其中100名獲獎者及其獎品價值的頻率分布直方圖如圖2所示，則直方圖中a的的值為（ ）

A. 0.003 B. 0.005

C. 0.05 D. 0.004

5. 若數(shù)列{ an }是等差數(shù)列，首項a1<0，a2015+a2016>0，a2015 Sn <0使前n項和的最大自然數(shù)n是（ ）

A. 2016 B. 2015 C. 4028 D. 4029

6. 若f（x+1）+1為R上奇函數(shù)，則f（4）-f（0）的值為（ ）

A. 0 B. 2016 C. 2015 D. 1

7. 過雙曲線-=1（a>0， b>0） 的右焦點F2作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B， C.若=，則雙曲線的離心率是（ ）

A. B. C. D.

8. 如圖3程序框圖輸出的值是（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

9. 正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心與正面體一邊的一個截面如圖4，且圖中三角形（正四面體的截面）的面積為，則球的體積是（ ）

A. ？仔 B. 2？仔

C. 2？仔 D. 2？仔

10. 若函數(shù)y=sin？棕x 在某個長度為1的閉區(qū)間上至少兩次獲得最大值1，且在區(qū)間[-，]上為增函數(shù)，則正整數(shù)？棕的值為（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

11. 一幾何體的三視圖如圖5所示則該幾何體的體積為

（ ）

A. B. C. D.

12. 若存在x∈（0， +∞）使不等式 ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1成立，則實數(shù)a的范圍為（ ）

A. 0二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13. 若cos（-x）=，則cos（+2x）= .

14. 設x，y滿足不等式組y≤2x，2x+y≤2，x-y≤1，則z=3x+2y的最大值為 .

15. 已知點A是拋物線y2=2px上一點，F(xiàn)為其焦點，若以F為圓心，以 | FA| 為半徑的圓交準線于B、 C且？駐FBC為正三角形，當？駐ABC的面積為時，拋物線的方程為 .

16.若數(shù)列{ an }中a1=1，且a1， a3，…， a2n-1是遞增的數(shù)列，a2， a4，…， a2n是遞減的數(shù)列，a1>a2，| an+1-an | =2n，則{ an }的前n 項和Sn= .

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本題滿分12分）

？駐ABC的三邊長a， b， c和面積S滿足S =[c2-（a-b）2]，

（1）求cosC；

（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，求b邊長.

18.（本題滿分12分）

在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2.

（1）求證：CE∥平面PAB；

（2）若F為PC的中點，求F到平面AEC的距離.

19.（本題滿分12分）

在某紅綠燈路口進行隨機調(diào)查，發(fā)現(xiàn)正在等綠燈的有10人，另有8人直接闖紅燈，等綠燈的10人，其年齡的莖葉圖如下：

（1）求等綠燈人年齡的中位與方差

（2）若從40歲以上的等綠燈人中，隨機抽取2人，求其中一定含有50歲以上的路人的概率.

（3）若闖紅燈的8人中有2人40以上，其余均40以下，完成下列列聯(lián)表：

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認為“40歲以下與闖紅燈有關(guān)”.

附：K2 =.

20.（本題滿分12分）

已知+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點分別是B1，B2，C是B1F2的中點，若·=2，且⊥.

（1）求橢圓的方程；

（2）點M，N是橢圓上的兩個動點，過M，N兩點的切線交于點P，若·=0時，求點P的軌跡方程；

（3）點Q是橢圓上任意一點，A1， A2分別是橢圓的左、右頂點，直線QA1， QA2與直線x=分別交于E， F兩點，試證：以EF為直徑的圓交x于定點，并求該定點的坐標.

21.（本題滿分12分）

設函數(shù)f（x）=x3-（a-1）x2-2bx+1，其中a∈R，

（1）若f（x）的減區(qū)間為（-1， 2）， 求f（x）在區(qū)間[-3， 3]上的最大值與最小值；

（2）對小于1的任意a∈R，函數(shù)f（x）都有兩個極值點x1、x2（x1≠x2），是否存在b使x1 3 + x2 3=1成立，若存在，求出b的值或范圍；否則，說明理由.

請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多選，則按所做的第一題計分.

22.（本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，⊙O的弦ED，CB的延長線交于點A.

（1）若BD⊥AE，AB=4， BC=2， AD=3， 求CE的長.

（2）若=，=，求的值.

23.（本題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系. 已知直線與橢圓的極坐標方程分別 為l：cos？茲+2sin？茲=0，C：ρ2=.

（1）求直線與橢圓的直角坐標方程；

（2）若P是l上的動點，Q是C上的動點，求| PQ| 的最小值.

24.（本題滿分10分）選修4-5：不等式選講

不等式 | 2x-1| - | x+1| < 2的解集為{ x| a < x < b}，

（1）求a ， b的值；

（2）已知x > y > z，求證：存在實數(shù)k使恒成立-+≥，并求k的最大值.

2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全國卷

文科數(shù)學模擬試題參考答案

一、選擇題

1. C；由x2-x+6<0？圯（x - 3）（x + 2）<0，得-2< x <3，

則A={x | -2< x <3}.

又B={x∈N | y=}={x∈N | x≤3}={1， 2， 3， …}，

那么A∩B={1， 2}.

2. D；由z =1-2i，得1-2i+=1-2i+=-.

3. C；以AB， AD分別為x， y建立直角坐標系，

則E（1，2），F(xiàn)（4，2）.

那么=（-1，-4），=（3，-2），于是·=-1×3+（-2）×（-4）=5.

4. B；由50（0.001+0.002+0.003+a+0.009）=1？圯a=0.005，

即直方圖中a的的值為a=0.005.

5. D；由a2015+a2016>0？圯a1+a4030>0？圯a4030>0.

又a1<0且a2015·a2016<0知數(shù)列{ an }的前2015項都是負數(shù)，

那么a2015+a2015<0？圯a1+a4029<0？圯S4029<0，于是，最大自然數(shù)n=4029.

6. A；由f（-x+1）+1=-[f（x+1）+1]？圯f（x+1）+f（-x+1）=-2.

令x=-1及x=3，得f（0）+f（-2）=-2，f（-2）+f（4）=-2？圯f（4）-f（0）=0.

7. D；對于F2（c， 0），則直線方程為y=-x+c，直線與兩漸近線的交點為B，C，由y=-x+c，y=x？圯x=，y=，即B（， ），因為F2（c， 0）.

由 = 知B是F2C的中點，于是可得C （， ）.

由于在y=-x上，得=-·？圯b=3a？圯e=.

8. B；本題的程序框圖所揭示的內(nèi)容，其實是當和大于64時，輸出最小的n值.

于是，由1+3+32+…+3n-1>64？圯（3n-1）>64，最小的n=5，

那么輸出的值是5.

9. B；如圖，由正四面體的特點及性質(zhì)可知，該截面即為等腰？駐ABC.

設正四面體的邊長為a，

由AC=BC==.

那么？駐ABC的面積為×a×=？圯a=2，

于是四面體的高h==.

再設外接球的半徑為R，由（-R）2+（）2=R2？圯R=，

從而球的體積是V=？仔（）3=？仔.

10. B；由函數(shù)y=sin？棕x在某個長度為1的閉區(qū)間上最多獲得一次最大值1，得≤1？圯？棕≥2？仔.

又在區(qū)間[-，]上為增函數(shù)，則-≤-，≤？圯？棕≤.

于是2？仔≤？棕≤，又？棕為正整數(shù)，因此，？棕=7.

11. B；本題三視圖對應的幾何體是以正方體的中截為底面的兩個同底面的四棱錐，如圖.

于是體積為V=×2×2×1×2=.

12. C；由ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1？圯ax+3a-1<.

（1）若a≤0，當x∈（0，+∞）時，ax+3a-1）<0，而>0，此時結(jié)論成立.

（2）若a>0，由于f（x）=？圯f′（x）=<0，所以 f（x） 在（0，+∞）是減函數(shù)，則0 < f（x） <1，又f（x）與y軸的交點為（0，1）.

由于g（x）= ax+3a-1與y軸的交點為（0， 3a-1）.

那么，如果存在x∈（0，+∞）使不等式ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1成立，

則3a-1<1，a>0？圯0 < a <，

由（1）（2）得實數(shù)a的范圍為a <.

二、填空題

13. -；由于cos（-x） = sin[-（-x）] = sin（+x）即sin（+x）=，而cos（+2x） =cos2（+x） =1-2sin 2 （+x） =-.

14. ；分別作出三直線y=2x，2x+y=2，x-y≤1，得如圖所示的可行域.

由z=3x+2y？圯y=-x+.

顯然，當直線y=-x+經(jīng)過點A時，縱截距最大.

由y=2x，2x+y=2？圯x=，y=1.

此時，z=3x+2y=.

15. 由題意，如圖可得=cos30°及DF=2p？圯BF=，從而AF=，由拋物線的定義知點A.

到準線的距離也為，因為△ABC的面積為，即××=？圯P=4，故拋物線的方程為y2=8x.

16. ；由a1>a2，a2-a1=-2.

由于a3>a1又a1>a2？圯a3>a2？圯a3-a2=22，

類似地：a4-a3=-23，a5-a4=24，…，an-an-1=（-2）n-1.

那么an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）==.

從而Sn=++…+=+·=-=.

三、解答題

17.（1）由S=[c2-（a-b）2]=[-（a2+b2-c2）+2ab]

=-abcosC+ab……………3分

又S=absinC，于是absinC=-abcosC+ab即sinC=2（1-cosC）.

結(jié)合sin2C+cos2C=1得cosC=或cosC=1（舍去）.

故cosC=……………6分

（2）又由2sinAcosC=sinB，得2··=？圯a=c………9分

結(jié)合條件，可得a=c=2.

由c2=a2+b2-2abcosC，

得4=4+b2-4×b？圯b=……………12分

18.（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=，AC=2.

取AD中點M，連EM，CM，則EM∥PA.

∵ EM ？埭平面PAB，PA？奐平面PAB，∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，

∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°，∴MC∥AB.

∵MC ？埭平面PAB，AB

？奐平面PAB，∴ MC∥平面PAB .

∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB.

∵EC？奐平面EMC，∴EC∥平面PAB.

（2）∵PA=CA，F(xiàn)為PC的中點，∴AF⊥PC .

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC.

又EF//CD，∴EF⊥平面PAC.即EF為三棱錐E-AFC的高.

因為CD=2，得EF=.

從而VE-FAC=×（AC·AP）·EF=×（×2×2）×=.

在Rt△PAD中，AE=CE=PD=×2=.

于是S△ACE=AC·=2，設F到平面AEC的距離為h.

由VE-FAC=VF-AEC即×2h=？圯h=.

故F到平面AEC的距離為.

19.（1）由莖葉圖可得15個數(shù)據(jù)為：22，34，34，42，

43，45，45，51，52，52，顯然，路人年齡的中位數(shù)為（43+45）=44.

由于x==42……2分

那么s===.

即路人年齡的方差為……………4分

（2）設40歲以上，50歲以下的四人分別為A1，A2，A3，A4，50歲以上的三人分別為B1，B2，B3，那么從這七人中任取兩人的所有基本事件如下：

A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3共21個.……………6分

其中含有50歲以上的路人的基本事件如下：A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3共15個.……………7分

于是，從40歲以上的路人中，隨機抽取2人，其中一定含有50歲以上的路人的概率為P==……………8分

（3）若闖紅燈的8人中有2人40以上，其余均40以下，完成下列列聯(lián)表：

…

…………10分

由K2==2.5<3.841.

故沒有95%的把握認為“40歲以下與闖紅燈有關(guān)”. ……………12分

20.（1）設F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），B1（0，b），則C（，）.

由題意得·=2，⊥？圯（-c，-b）·（c，-b）=2，（-，-）·（c，-b）=0？圯b2-c2=2，b2=3c2？圯b2=3，c2=1，從而a2=4，

故所求橢圓方程為+=1 ………3分

（2）設P（x0，y0），

①當PM⊥x軸或PM∥x軸時，對應PN∥x軸或PN⊥x軸，

可知P（±2，±）………4分

②當PM與x軸不垂直且不平行時， PM的斜率為k，則k≠0，PN的斜率為-，

PM的方程為y-y0=k（x-x0），與+=1聯(lián)立，

得y-y0=k（x-x0），+=1？圯（3+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）2-12=0）……5分

因為直線與橢圓相切，所以△=0即4k2（y0-kx0）2-（3+4k2）[（y0-kx0）2-3]=0，

即（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0.

所以k是方程（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0的一個根，

同理-是方程（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0的另一個根，………6分

k·（-）=？圯x20+y20=7，其中x0≠±2，

所以點P的軌跡方程為x2+y2=7（x≠±2）.

因為P（±2，±）滿足上式，綜上知：點P的軌跡方程為x2+y2=7………7分

（3）由（1）得A1（-2，0），A2（2，0），

設Q（x0，y0），則直線QA1的方程為y=（x+2），與直線x=的交點E的坐標為E（，（+2））………8分

則直線QA2的方程為y=（x-2），與直線x=的交點F的坐標為F（，（-2））………9分

再設以EF為直徑的圓交x于點H（m，0），則HE⊥HF，從而kHE·kHF=-1，即·=-1？圯=-（-m）2 ………11分

由+=1得y20=，∴ m=±1.故以EF為直徑的圓交x于定點，該定點的坐標為（+1，0）或（-1，0）………12分

21. 由f ′（x）=3x2-2（a-1）x-2b………1分

（1）由題意知f ′（x）<0的解集為（-1，2），即不等式3x2-2（a-1）x-2b<0的解集為（-1，2），于是，方程3x2-2（a-1）x-2b=0的兩根分別為-1與2.

由-1+2=，-1×2=-？圯a=，b=3，此時，f （x）=x3-x2-6x+1………3分

由f ′（x）=3x2-3x-6=3（x+1）（x-2），

易得x∈[-3，-1）時，f ′（x）>0，此時函數(shù)遞增；x∈（-1，2）時，f ′（x）<0，此時函數(shù)遞減；x∈（2，3]時，f ′（x）>0，此時函數(shù)遞增.

于是，fmax（x）=max{f（-1），f（3）}=max{，}=，

fmin（x）=min{f（-3），f（2）}=max{-，-9}=-.

故f （x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值與最小值分別為與-………6分

（2）對任意的a∈R，函數(shù)f （x）都有兩個極值點x1，x2，即為對任意的a方程f ′（x）=0有兩個不等的實數(shù)根x1，x2，即方程3x2-2（a-1）x-2b=0有兩個不等的實數(shù)根x1，x2，于是[2（a-1）]2-4×3×（-2b）>0對任意的a∈R恒成立，即6b>-（a-1）2對任意的a∈R恒成立，從而b>0………………①………7分

若存在b使x31+x32=1成立，由于x1+x2=，x1·x2=-.

那么x31+x32=（x1+x2）[（x1+x2）2-3x1·x2]={[]2-3×（-）}=1.

得b=-=………10分

由b′=-，令b′=0即-=0？圯a=1-.

當a<1-時，b′>0，此時，關(guān)于a的函數(shù)遞增；當1-那么，當a=1-時，b有最大值，其值為b=<0.

由①知不存在b使x31+x32=1成立………12分

22.（1）由圓的割線定理知AB·AC=AD·AE，

∴ AE=8，DE=5.連接EB，∵∠EDB=90°，

∴ EB為直徑，∴∠ECB=90°.

由勾股定理，得EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2=16-9+25=32.

在直角△ECB中，EB2=BC2+EC2=4+EC2，

EC2=28？圯EC=2.

（2）因為四邊形ECBD是圓O的內(nèi)接四邊形，

所以∠ADB=∠C，∠ABD=∠E，所以△ADB∽△ACE.

于是==.

因為=，=，所以（）2=·=·=.

從而=.

23.（1）由cos？茲+2sin？茲=0？圯？籽cos？茲+2？籽sin？茲=0？圯x+2y=0，

即直線l的直角坐標方程為x+2y=0.

又由？籽2=？圯？籽2cos2？茲+4？籽2sin2？茲=4？圯x2+4y2=4.

即橢圓C的直角坐標方程為x2+4y2=4.

（2）因為橢圓+y2=1的參數(shù)方程為x=2cos？茲，y=sin？茲，

由題意可設Q（2cos？茲，sin？茲），

因此點Q到直線l的距離是d==.

所以當？茲=k？仔+，k∈Z時，d取得最大值.

24.（1）（i）當x<-1時，不等式可轉(zhuǎn)化為-（2x-1）-[-（x+1）]<2，得x>0，此時無解.

（ii）當-1≤x≤時，不等式可轉(zhuǎn)化為-（2x-1）-（x+1）<2，得x>-，此時，不等式的解為-