章敏

【摘 要】類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣泛，類比的魅力在于它可以使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更容易、更生動(dòng)、更形象，有利于學(xué)生自主探索與創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。本文主要列舉了初一教材中關(guān)于類比思想的應(yīng)用，闡述了類比在初中學(xué)習(xí)的重要地位以及通過(guò)類比更加容易的學(xué)習(xí)新的知識(shí)。通過(guò)概念的類比，理解概念的本質(zhì)；通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)的類比，構(gòu)建起知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)；通過(guò)思維的類比，突破學(xué)生學(xué)習(xí)思維難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。鍛煉學(xué)生解決問(wèn)題的能力，提高初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性。本文的最后也點(diǎn)出了該思想方法容易進(jìn)入的誤區(qū)，體現(xiàn)本學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)。

【關(guān)鍵詞】類比 有理數(shù) 整式 立方根 不等式 應(yīng)用 有效性

1 引言

著名教育家玻利亞曾形象地說(shuō)過(guò)：“類比是一個(gè)偉大的領(lǐng)路人?！痹诔踔袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類比思想是理解概念，鍛煉思維，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的重要手段。類比法是初中重要的教學(xué)方法，數(shù)學(xué)中的許多概念、定理、法則等是通過(guò)類比得到的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用新舊知識(shí)的類比，不僅有利于理解、掌握新知識(shí)，還能使舊知識(shí)得到鞏固，同時(shí)拓寬視野，突出問(wèn)題的本質(zhì)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高解決問(wèn)題的能力。在解題中尋找問(wèn)題的線索，往往也借助于類比方法，從而達(dá)到啟發(fā)思路的目的。

2 數(shù)學(xué)類比的定義

數(shù)學(xué)上的類比是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類未知的對(duì)象上去的一種合情推理。它能夠解決一些看似復(fù)雜困難的問(wèn)題。從遷移過(guò)程看，有些類比十分明顯、直接，比較簡(jiǎn)單，而有些類比需建立在抽象分析的基礎(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn)。

類比的作用機(jī)制可以用如下的框圖來(lái)表示：

類比包括目標(biāo)問(wèn)題和原問(wèn)題兩個(gè)部分。目標(biāo)問(wèn)題是需要解決的問(wèn)題，原問(wèn)題是已經(jīng)解決的，并且是已經(jīng)掌握的、比較常見(jiàn)、比較熟悉、比較形象具體、比較容易明白的問(wèn)題。原問(wèn)題與目標(biāo)問(wèn)題之間是平行關(guān)系，類比原問(wèn)題解決目標(biāo)問(wèn)題，通過(guò)類比學(xué)會(huì)目標(biāo)問(wèn)題。下面根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗诔跻唤滩闹袔c(diǎn)運(yùn)用類比的例子。

3 類比在初一教材中的應(yīng)用

3.1 有理數(shù)加減混合運(yùn)算

有理數(shù)的加法是有理數(shù)運(yùn)算的開(kāi)始，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)有理數(shù)減法的基礎(chǔ)，也是今后學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)運(yùn)算，代數(shù)運(yùn)算，解方程以及函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)和技能，學(xué)生能否接受和形成在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的各種運(yùn)算的思維方式，本節(jié)課的學(xué)習(xí)尤為重要，因此我類比了正負(fù)數(shù)的概念來(lái)引入，通過(guò)類比使學(xué)生更加容易接受新知識(shí)。具體方法如下：

例1：計(jì)算：-7+3-2-4。

分析：先將負(fù)數(shù)放在一起，正數(shù)放在一起。

得：-7-2-4+3

然后類比生活中水位變化的實(shí)例，同時(shí)展示電腦課件。我們把水位上升1米記為+1，水 位下降1米記為-1。問(wèn)：

師：-7表示

生：水位下降了7米。

師：-2表示

生：水位下降了2米。

師：-4表示

生：水位下降了4米。

師：+3表示

生：水位上升了3米。

師：-7-2-4+3表示水位先下降了 米，又上升了

米，那么水位一共 了 米

在這里我類比了“有理數(shù)的乘法”一開(kāi)始引入的水位變化的實(shí)例。水位的變化在生活中很常見(jiàn)，學(xué)生理解、想象起來(lái)不難，再借助電腦課件直觀的動(dòng)畫演示，生動(dòng)形象地反應(yīng)出水位變化的情況。這樣既加深了學(xué)生的印象，有助于學(xué)生理解，又能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力和喚起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲。通過(guò)這樣的嘗試，學(xué)生反饋上來(lái)的情況就好得太多，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。

3.2 有理數(shù)乘法法則的探究

有理數(shù)的乘法運(yùn)算不是一類新的運(yùn)算，只是參與運(yùn)算的數(shù)在原來(lái)有理數(shù)的基礎(chǔ)上添加了負(fù)數(shù)，所以通過(guò)類比前面非負(fù)數(shù)的乘法得出負(fù)數(shù)乘法的相關(guān)結(jié)論。

例2：

通過(guò)對(duì)上式進(jìn)行類比得到下面的式子

通過(guò)上一組式子類比得到如下式子

上述通過(guò)兩次類比得到了有理數(shù)乘法法則，并歸納出兩數(shù)相乘符號(hào)確定的方法，為后面有理數(shù)的除法奠定了基礎(chǔ)。其實(shí)有理數(shù)的除法同樣可以類比加減法之間的轉(zhuǎn)化，從而想到變除為乘。

3.3 整式中的類比

在整式這一章有很多用到了類比這一重要的數(shù)學(xué)思想。例如：確定多項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)，通過(guò)類比有理數(shù)的加減法得到整式的加減法，通過(guò)類比有理數(shù)去括號(hào)法則得到整式去括號(hào)的法則。

例3：3+2=5 類比 3a+2a=5a 類比 3a+2a+3b+2b=5a+5b

3.4 合并同類項(xiàng)中的類比

在“合并同類項(xiàng)”一課中創(chuàng)設(shè)了如下情景：

（1）實(shí)物歸類

教師把學(xué)習(xí)用品、玩具、零食（形狀有圓、方、三角形）混在一起，讓學(xué)生按照自己的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，要求學(xué)生回答以下問(wèn)題：①你的分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？②假如分類標(biāo)準(zhǔn)一樣，則分類是否唯一？③你有幾種分類方法？

（2）多項(xiàng)式中項(xiàng)的歸類

觀察多項(xiàng)式-2x+8y–4z+x–y回答下列問(wèn)題：①你想把哪些項(xiàng)歸為一類？②你是根據(jù)什么特征來(lái)分類的？那么3a2b–4ab2–3+5a2b+2ab2+2ab–6ab+8

（學(xué)生分小組進(jìn)行討論，并由代表集中發(fā)言，其他組進(jìn)行補(bǔ)充完善）

實(shí)物歸類的主要目的是讓學(xué)生感受生活中存在分類現(xiàn)象，并且通過(guò)實(shí)物分類，讓學(xué)生明確分類的標(biāo)準(zhǔn)與方法，事實(shí)上學(xué)生通過(guò)準(zhǔn)確的實(shí)物分類理解了分類的意義與標(biāo)準(zhǔn)。再出示多項(xiàng)式，讓學(xué)生進(jìn)行分類，學(xué)生一定會(huì)與實(shí)物分類進(jìn)行類比，也會(huì)有不同的分類方法，比如對(duì)于-2x+8y–4z+x–y，有的學(xué)生利用系數(shù)的正負(fù)來(lái)進(jìn)行分類，而同類項(xiàng)只是分類中的一種特殊情況。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要充分利用學(xué)生所熟悉的生活背景，把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)融入到學(xué)生的生活中，通過(guò)“由表及里”類比，獲得數(shù)學(xué)本質(zhì)和模型。象上面生活中的分類方法與標(biāo)準(zhǔn)是原問(wèn)題，是學(xué)生所熟悉的、了解的，由實(shí)物分類類比到數(shù)學(xué)分類，學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)并不是那樣的神秘與抽象，離學(xué)生的生活是那樣接近，把日常生活中普實(shí)的方法移植到比較抽象的數(shù)學(xué)中，從而更容易、更切實(shí)地理解數(shù)學(xué)思維，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，降低了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系。

3.5 立方根中的類比

著名的學(xué)習(xí)理論家?jiàn)W蘇貝爾指出：要進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)必須知道學(xué)生已經(jīng)知道了什么。在教學(xué)人教版七年級(jí)下冊(cè)第六章實(shí)數(shù)立方根時(shí)，考慮到“平方根”與“立方根”兩節(jié)在內(nèi)容與知識(shí)展開(kāi)順序上是平行的，內(nèi)容主要是研究立方根的概念和求法，知識(shí)展開(kāi)順序是先從具體的計(jì)算出發(fā)類比給出立方根的概念，然后研究立方根的特征。而在本課中，平方根的概念、表示方法等都是學(xué)生原有的知識(shí)。為了建立立方根的概念，充分“借用”平方根的有關(guān)概念的產(chǎn)生過(guò)程進(jìn)行類比，新舊知識(shí)通過(guò)類比聯(lián)系，既有利于復(fù)習(xí)鞏固平方根，又有利于立方根概念的理解和掌握。具體教學(xué)過(guò)程如下：

先列表復(fù)習(xí)平方根的有關(guān)知識(shí)，然后魔方展示：抽象出立方體。

（1）若魔方的體積是8cm3，則棱長(zhǎng)是多少cm？為什么？

∵ 23=8，∴ 棱長(zhǎng)是2cm。（為將要學(xué)習(xí)的立方根與立方運(yùn)算是互逆運(yùn)算作鋪墊）

（2）若魔方的體積是80cm3，則棱長(zhǎng)是多少cm？為什么？a3=80

（3）這里的2和a我們能否把它取個(gè)名？ 生：立方根。

（4）你為什么取這個(gè)名呢？ 生：根據(jù)平方根的定義猜想得到的。

（5）那么什么是立方根呢？生：……

（6）一個(gè)數(shù)a的平方根你怎樣表示？生：

（7）一個(gè)數(shù)a的立方根你又想怎樣去表示呢？生1： 生2：糾錯(cuò)

生3：改正

教師通過(guò)問(wèn)題串，把立方根的定義、表示方法與平方根定義、表示方法聯(lián)系在一起，采用類比的數(shù)學(xué)思想，自主學(xué)習(xí)立方根的定義與表示方法，學(xué)得自然、輕松。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程、同化過(guò)程，就決定了對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握的程度。只有理解數(shù)學(xué)概念、剖析概念，抓住概念的本質(zhì)，才能舉一反三，觸類旁通。

3.6 解一元一次不等式與解一元一次方程類比

在講解“一元一次不等式”時(shí)，學(xué)生由于剛剛接觸不等式，對(duì)不等式本來(lái)就不是很熟悉，對(duì)不等式的解法也就感到陌生。如果照著書上的例題直接講解，學(xué)生可能會(huì)感到有點(diǎn)模糊，不那么得心應(yīng)手，不知道為什么要這樣來(lái)解題，就會(huì)照著按部就班的做題，以至于沒(méi)有掌握解題的方法，思維會(huì)有點(diǎn)混亂。為了讓學(xué)生一開(kāi)始就能從根本上弄清楚一元一次不等式的解法，能明白每一步的算理，真正地掌握一種學(xué)習(xí)的方法，在講授這節(jié)內(nèi)容時(shí)，我類比了解一元一次方程的方法，這樣的講解學(xué)生接受起來(lái)就容易多了。

例4：解一元一次方程：2x+6=3-x

解：移項(xiàng)得：2x+x=3-6

合并同類項(xiàng)得：3x=-3

系數(shù)化為1得：x=-1

解一元一次不等式：2x+6<3-x

解：移項(xiàng)得：2x+x<3-6

合并同類項(xiàng)得：3x<-3

兩邊都除以3得：x<-1

學(xué)生只要注意最后一步：系數(shù)化為1時(shí)，不等式的兩邊如果都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向改變即可。通過(guò)這種類比，學(xué)生掌握起來(lái)就容易得多了。

4 類比的效果

4.1 類比方法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑

運(yùn)用數(shù)學(xué)類比思維可以把陌生的對(duì)象和熟悉的對(duì)象進(jìn)行對(duì)比，把未知的東西和已知的東西相對(duì)比，特別是在資料少，還不足以進(jìn)行歸納推理和演繹思維的情況下，類比可以啟發(fā)思路，提供線索。類比法具有兩個(gè)特征。一是適用范圍廣，可以跨越各個(gè)種類進(jìn)行不同類事物的類比，既可以比較本質(zhì)的屬性，又可以比較非本質(zhì)的特征。二是具有較強(qiáng)的探索性和預(yù)測(cè)性，可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教材的特點(diǎn)，運(yùn)用類比方法，引導(dǎo)學(xué)生去探索和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的有效途徑。

4.2 深入研究教材 挖掘類比素材

教材中的概念、公式和規(guī)律都蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法。作為數(shù)學(xué)教師，必須深入研究教材，挖掘它的思想性，并在教學(xué)中給予充分利用。利用類比的方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種行之有效的教學(xué)方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中借助于類比方法，有利于啟發(fā)學(xué)生思路，使學(xué)生順利而全面地形成數(shù)學(xué)概念和掌握數(shù)學(xué)規(guī)律、方法。在教學(xué)中，用類比的方法將概念中的本質(zhì)屬性用最明確的形式表達(dá)出來(lái)，使人一目了然。

5 結(jié)論

類比是一種從特殊到特殊的推理。它的前提和結(jié)論是或然的，是一種不嚴(yán)格的推理。因此推理的不嚴(yán)格性是它的特點(diǎn)之一。這個(gè)特點(diǎn)既是它的所長(zhǎng)也是它的所短。因?yàn)樵诳茖W(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中需要嚴(yán)格的推理，沒(méi)有嚴(yán)格的推理科學(xué)的理論大廈就不可能建立正常嚴(yán)肅的生活秩序就不會(huì)建立。演繹推理的嚴(yán)格性正好與類比推理的不嚴(yán)格性相互補(bǔ)充共同促進(jìn)科學(xué)的發(fā)展。從亞里士多德的完備的三段論到現(xiàn)代數(shù)理邏輯的發(fā)展和完善演繹推理成為一種嚴(yán)密的強(qiáng)有力的推理和證明工具成為思維活動(dòng)中的一個(gè)重要的組成部分。但是科學(xué)要進(jìn)一步發(fā)展要解決科學(xué)研究中出現(xiàn)的矛盾不斷進(jìn)行理論擴(kuò)充嚴(yán)格的推理只能使科學(xué)被限制在一定的框架之內(nèi)循規(guī)蹈距地前進(jìn)。類比推理的不嚴(yán)格性可以誘發(fā)人的創(chuàng)造性思考它可以觸類旁通啟發(fā)思路。正如康德所指出的那樣每當(dāng)理智缺乏可靠論證思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)。

反思教學(xué)過(guò)程，進(jìn)行類比教學(xué)時(shí)，不但要多找對(duì)象的相同點(diǎn)，而且應(yīng)找本質(zhì)的相同點(diǎn)，既要注意問(wèn)題的共性，又要注意問(wèn)題的個(gè)性。對(duì)學(xué)生在類比過(guò)程產(chǎn)生的想法，能確定正誤的要及時(shí)評(píng)價(jià)，不能確定的要給予方法的指導(dǎo)，要求學(xué)生重新去研究。同時(shí)也要善待錯(cuò)誤、用好錯(cuò)誤，要反思錯(cuò)誤、變錯(cuò)為寶，提高思維的深刻性。

為培養(yǎng)高素質(zhì)的人才，除了使學(xué)生能“學(xué)會(huì)”之外，更重要的還應(yīng)當(dāng)使學(xué)生“會(huì)學(xué)”，掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，類比就是這樣一種學(xué)生能掌握的重要的學(xué)習(xí)與思維的方法。類比思維方法的運(yùn)用能培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，有利于創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)習(xí)效率的提高。

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