淺談面積與代數(shù)恒等式

趙海英

在華師版數(shù)學(xué)教材中第十二章“整式的乘法”的學(xué)習(xí)中，我們接觸了很多代數(shù)恒等式，利用了圖形的幾何意義，也從圖形的面積關(guān)系中認(rèn)識了代數(shù)恒等式. 引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)與形之間的關(guān)系，也能從另一個方面了解代數(shù)恒等式的幾何意義. 通過本節(jié)課，讓學(xué)生經(jīng)歷探究、交流、應(yīng)用的過程，從中體會數(shù)學(xué)思維能力，獲得研究問題和解決問題的經(jīng)驗(yàn)和方法. 下面將本節(jié)課的教學(xué)流程展示如下：

一、復(fù)習(xí)提問，引入新課

前面我們學(xué)習(xí)了整式的乘法相關(guān)法則及乘法公式，那么老師想問大家，我們都學(xué)習(xí)了哪些乘法運(yùn)算？哪些乘法公式？

① 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：a（b + c） = ab + ac；

② 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：（m + n）（a + b） = ma + mb + na + nb；

③ 平方差公式：（a + b）（a - b） = a2 - b2；

④ 兩數(shù)和的平方：（a + b）2 = a2 + 2ab + b2.

像①②③④這種不論字母取什么有意義的數(shù)值，左邊恒等于右邊的式子叫作代數(shù)恒等式.

那么我們還能利用什么方法來驗(yàn)證代數(shù)恒等式的成立呢？沒錯，我們可以利用面積的不同表示方法，來表示一個代數(shù)恒等式，學(xué)生動手畫一畫.

通過利用圖形的面積來驗(yàn)證代數(shù)恒等式的正確性，就是我們今天重點(diǎn)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，面積與代數(shù)恒等式.

通過復(fù)習(xí)前面所學(xué)習(xí)的整式的乘法以及乘法公式，讓學(xué)生感受通過數(shù)與形的結(jié)合也是驗(yàn)證代數(shù)恒等式的一種方法，從而打開學(xué)生的思路，為所學(xué)的內(nèi)容打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

二、從圖形面積到代數(shù)恒式

（一）說一說

例1 觀察下列圖形，計(jì)算陰影部分的面積，并用面積的不同表達(dá)形式寫出相應(yīng)的代數(shù)恒等式.

第一個代數(shù)恒等式：（a + b）2 - （a - b）2 = 4ab；

第二個代數(shù)恒等式：4a2 - b2=（2a + b）（2a - b）.

讓學(xué)生總結(jié)如何正確寫出一個代數(shù)恒等式的方法，通過學(xué)生的交流與探討總結(jié)為，通過兩種不同的方式表示圖形中的面積，這樣就很快寫出一個代數(shù)恒等式. 通過探索與思考體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的開放性、探索性和實(shí)踐性的認(rèn)識.

（二）做一做

你能利用所準(zhǔn)備的若干張小卡片再拼出新的圖形嗎？根據(jù)你所拼的圖形寫出相應(yīng)的代數(shù)恒等式. 這是一個開放性較強(qiáng)的問題，應(yīng)打開學(xué)生的思路，體現(xiàn)任意性，從而讓學(xué)生經(jīng)歷探索、研究、解決問題的過程.通過此活動我深刻地感受到了一種熱情，那是種對于知識探索的熱情！我欣喜地看到同學(xué)們找到了探究問題的方法，明白了該如何去利用、開發(fā)身邊的數(shù)學(xué)資源. 培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題并建立數(shù)學(xué)模型的能力；開放性和研究性的問題，為提出更深層次的問題提供基石.

三、從代數(shù)恒等式到圖形面積

（一）做一做

前面我們根據(jù)圖形面積的不同表示方法，寫出了代數(shù)恒等式. 那么如果已知一個代數(shù)恒等式，同學(xué)們能否用拼圖的方法來驗(yàn)證它們的正確性？

例2 請你根據(jù)代數(shù)恒等式：①（a + b）（a + 2b） = a2 + 3ab + 2b2的特點(diǎn)，構(gòu)造出圖形，利用圖形的面積來說明其正確性.

此環(huán)節(jié)學(xué)生很快就畫出構(gòu)造的圖形，學(xué)生總結(jié)為代數(shù)恒等式的左面可以看成一個長為（a + 2b），寬為（a + b）的長方形來設(shè)計(jì)圖形，然后再通過分割圖形來驗(yàn)證恒等式右邊，通過此特點(diǎn)來快速構(gòu)造圖形.

（二）畫一畫

根據(jù)下列代數(shù)恒等式，你能否設(shè)計(jì)出相應(yīng)圖形來驗(yàn)證它們的正確性？

②（a + b）（a - 2b） = a2 - ab - 2b2，③（a - 2b）2 = a - 4ab + 4b2.

最后一個活動的設(shè)計(jì)具有一定的挑戰(zhàn)性和開放性，是希望學(xué)生在思維方面能有所拓展. 對于老師的提問大部分的同學(xué)是舉一些例子，如有一位同學(xué)就提到兩個一次的單項(xiàng)式相乘得到的等式，還有一位同學(xué)提到等式的兩邊都能用正方形或長方形來表示面積的等式. 事實(shí)上這個問題就學(xué)生現(xiàn)在的認(rèn)知水平無法做出一個完全的解答，只能做一些理性的思考，找到一些可以接受的答案. 我主要是想通過這個問題來激發(fā)學(xué)生的“再創(chuàng)造”激情和潛能.