葉海明

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）18-0066-02

數列是高中數學的一個主干知識，通常高考是一個客觀題加一個主觀題，難度中等，是高考不可有失的部分，本文就如何解決數列問題提供了幾個方向。

一、等差、等比數列基本量的應用

等差數列的兩個基本量是首項與公差，等比數列的兩個基本量是首項與公比，對于大部分等差、等比數列的問題，用基本量求解都可以解決。用基本量來解題的本質在于利用等差、等比數列的通項公式及前項和公式，通過解方程或解方程組，得到首項及公差（公比），為進一步解題奠定基礎。

例1：（1）等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=2，S3=12，則a6= 。（2）等比數列{an}中，若a2=3，a5=81，則數列{an}的通項公式an= 。

第1題是等差數列的基本量問題，因為S3=3a1+3d=12所以解得d=2，則可知a6=a1+5d=12。第2題是等比數列的基本量問題，因為a2=a1q=3、a5=a1q4=81，所以解得a1=1、q=3，則可知an=a1qn-1=3n-1?；玖康膽檬堑炔?、等比數列的求解的一個重要方向，是等差、等比數列的基本與根本，是等差、等比數列解題思路的優(yōu)先思考方向，也是高考數列考查中的必考內容。但有些題型用基本量來解題，就會導致解題思路難于尋找，或者運算量偏大，這時就要注意變換解題思路。

例2：等差數列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，且Sn：Tn=（3n-1）：（2n+3），則a8：b8= 。

若用基本量求解，涉及4個基本量，增加了解題難度。因為Sn：Tn=（a1+an）：（b1+bn），且a8：b8=2a8：2b8=（a1+a15）：（b1+b15），所以a8：b8=S15：T15=4：3。等差數列有兩個性質：（1）若m+v=P+q，則am+an=ap+aq；（2）若m+n+2p，則am+an=2ap。

例3：等比數列{an}中an>0，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則a4a5a6= 。

因為a1a2a3=5，所以a23=5，同理a83=10。因為a2a8=a52， a4a5a6=a53，所以可得a4a5a6==2。等比數列有兩個性質：（1）若mF/n=pF/q，則amF/an=apF/aq；（2）若mF/n=p2，則amF/an=ap2。要注意等差、等比數列在這個性質的差異，差異的根本在于等差數列是相鄰兩項的差為常數，而等比數列是相鄰兩項的商為常數。

二、遞推公式的應用

數列的遞推公式體現了數列中的項與項的相互關系，等差、等比數列的遞推式也是一種特殊的遞推式，即是相鄰兩項相減（或相除）為常數，而在普通數列的解題過程中，要把握數列遞推式的特征，尋找并發(fā)現規(guī)律，靈活應用數列的相關性質，就能收到事半功倍的效果。

例4：已知數列{an}中，a1=3，an+1=2an+1，則a10= 。

題目中沒有涉及等差、等比數列，觀察an+1=2an+1，可以變形為an+1+1=2（an+1），所以數列{an+1}是首項為a1+1=4且公比為2的等比數列，可得an+1=4F/2n-1=2n+1，即an=2n+1-1，則a10=1023。本題本質上是用整體代換思想，構造出一個新的等比數列，構造數列是數列解題中的一個常用方法。

例5：已知數列{an}滿足a1=0，an+1=，則a20= 。

題意中沒有涉及等差、等比數列，遞推式也無法轉化為等差、等比數列，這時一種通常的思路就是利用遞推式，求出數列的前幾項，尋找規(guī)律。由a1=0，求得a2=-，依此類推a2=、a4=0，可知數列{an}是一個周期為3的循環(huán)數列，則a20=a2=-?？疾檠h(huán)數列的題目有明顯特征：首先不是等差、等比數列，其次題目要求數列中的某一項，而且這一項通常不是數列的前幾項，而是所求項的項數比較大，比如a20、a200之類的，這種題目就是要尋找到數列的周期，通過周期將項數大的項轉化為項數小的項。

例6：（1）已知數列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，求數列的通項公式；（2）已知數列{an}中，a1=4，an+1=an，求數列的通項公式。

第1小題中，因為an+1=an+2n，所以an+1-an=2n，這個遞推式和等差數列的遞推式相似又有本質的區(qū)別，就是an+1-an為變量而不是常數，這時我們用累加法來求數列的通項公式。易得當n≥2時，an-an-1=2n-1，……，a3-a2=22，a2-a1=2，各式左右兩邊分別相加，可得an-a1=2n-1+…+22+2=2n-2，則an=2n-1（n≥2）。當n=1時，a1=1也符合上式。所以，數列的通項公式為an=2n-1。第2小題中，可得=，這個遞推式同樣和等比數列相似又有本質的區(qū)別，就是為變量而不是常數，這時我們用累乘法來求數列的通項公式。易得當n≥2時，=，……，=，=，各式左右兩邊分別相乘，可得=，則an=2n2+2n（n≥2）。當n=1時，a1=4也符合上式。所以，數列的通項公式為an=2n2+2n。累加法和累乘法要注意適用條件，求解過程中要注意對n進行討論。

三、注意Sn與an的聯系

例7：已知數列{an}中，an+2SnSn-1=0（n≥2，n∈N*），a1=，求an。

Sn與an的聯系如下：當n≥2時，an=Sn-Sn-1；當n=1時，a1=S1。由題意，當n≥2時Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，則-=2，可知數列{}是首項為2公差為2的等差數列，所以=2n，即Sn=。因為an+2SnSn-1=0，所以an=-（n≥2）。當n=1時，a1=不符合上式。所以數列{an}的通項公式為分段函數形式。在利用Sn與an的聯系時，要注意n進行討論，本題將an轉化為Sn，并進行整體代換構造新數列是解題的關鍵。解題中要注意Sn與an的轉化的方向，是將an轉化為Sn，還是將Sn轉化為an，要考慮清楚。

四、把握規(guī)律輕松求和

對于等差、等比數列，利用公式法求和。若一個數列的通項公式為若干個等差數列與等比數列的和或差，則求和時可用分組求和法。若一個數列的通項公式為若干個等差數列與等比數列的積或商，則求和時可用錯位相減法，做法是先將和的形式寫出，再給式子兩邊同乘或同除以公比，然后將兩式相減，以同類項錯位合并，得到一個可求和的數列，注意合并后有兩項不能構成等比數列中的項。通項公式為分式的數列求和時，通常用裂項相消法，裂項是手段，相消是目的，應將每一項分解為兩項之差，分母是由等差數列的相鄰項的乘積形成的分數數列的求和一般選用裂項相消法。

例8：已知數列{an}中，an=nF/0.5n+n，求數列的前n項和Sn。

由an=nF/0.5n+n可知此數列的求和可分為兩部分：{nF/0.5n}和{n}，其中{nF/0.5n}求和可以用錯位相減法，{n}用等差數列求和。設Tn=+++…+，可以發(fā)現{0.5n}的公比為0.5，則Tn=+++…+，兩式錯位相減，合并同類項，可得Tn=++…+-，所以Tn=2-0.5n-1-nF/0.5n，故數列{an}的前n項和Sn=Tn+（1+2+…+n）=-。本題既利用了錯位相減法，又利用了分組求和法及公式法。

數列的考查重點是通項公式及前項和，二者的求解有其固有的規(guī)律，解題中只要注意分析題意，正確選擇解題方向，就能輕松解題。