康聰

由書中例題進行拓展，對2015年的高考數(shù)學的相應試題有很好的解題幫助.

人教A版選修2-1.41頁 例3.

如圖1，設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0）.

直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

解：設點M的坐標為（x，y），因為點A的坐標是（-5，0），所以，直線AM的斜率kAM =（x ≠ -5）；同理，直線BM的斜率kBM =（x ≠ 5）.由已知有 × = -（x ≠ ±5），化簡，得點M的軌跡方程為 + = 1（x ≠ ±5）.

55頁 探究

如圖2，點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，試求點M的軌跡方程.

解：設點M的坐標為（x，y），因為點A的坐標是（-5，0），所以，直線AM的斜率kAM =（x ≠ -5）；同理，直線BM的斜率kBM =（x ≠ 5）.由已知有 × =（x ≠ ±5），化簡，得點M的軌跡方程為 + = 1（x ≠ ±5）.

拓展1 已知橢圓方程 + = 1（a > b > 0）實軸上的兩點分別為A（-a，0），B（a，0），橢圓上的點M（x，y）異于A，B兩點，求證：kMA·kMB = -.

拓展2 已知雙曲線方程 - = 1實軸上的兩點分別為A（-a，0），B（a，0），雙曲線上的點M（x，y）異于A，B兩點，求證：kMA·kMB =.

引用1 （2015年新課標2理）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂點為120°，則E的離心率為 （ ）.

A. B. 2 C. D.

解：由題意可知，AB = MB，kAM =，kAM·kBM = 1①，由拓展2得kAM·kBM =②聯(lián)立①②得，a = b，則E的離心率為，選D.

引用2 （2015年重慶文）設雙曲線 - =1（a > 0，b > 0）的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F做A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若A1B⊥A2C，則雙曲線的漸近線的斜率為 （ ）.

A. ± B. ± C. ±1 D. ±

解：由題意可知，k = -k①，∵ A1B⊥A2C，

∴ k ·k = -1②，聯(lián)立①②得k ·k = 1，

由引理2知，k ·k =，得到a = b，選C.