王禹

摘 要：高等數(shù)學(xué)中的一些知識在中學(xué)解題中的應(yīng)用越來越多，本文以拉格朗日中值定理為例，討論此定理在中學(xué)不等式、證明根的存在性和函數(shù)中求最值等方面的應(yīng)用。以期幫助高中學(xué)生提升對這類知識的理解能力，也為解決一些數(shù)學(xué)問題提供更多的方法和思路。

關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；中學(xué)解題；應(yīng)用

中圖分類號：G633.66文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：2095-9214（2016）06-0131-02

一、引語

拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，是連接函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的橋梁，它反映了可導(dǎo)的函數(shù)在某一閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。拉格朗日中值定理是在羅爾中值定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣而得到的，也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式，其重要性很顯然，有著廣泛的應(yīng)用。如：石業(yè)嬌、王康將拉格朗日中值定理應(yīng)用在解決不等式、極限問題和級數(shù)的收斂性問題中，起到了良好的效果[1，2]；宋益榮，劉靜將拉格朗日中值定理應(yīng)用在證明恒等式和證明方程根的存在性問題中，很好地解決了相應(yīng)的問題[3]；趙暢利用拉格朗日中值定理解決函數(shù)的一直連續(xù)性問題[4]；還要一些關(guān)于拉格朗日中值定理的證明方法的研究[5-9]。但是關(guān)于拉格朗日中值定理在中學(xué)方面應(yīng)用的研究較少，本文首先探討拉格朗日中值定理，接著研究拉格朗日中值定理在中學(xué)方面的應(yīng)用進(jìn)行討論，并給出一些具體的實(shí)例，以期能夠?yàn)橹袑W(xué)教師數(shù)學(xué)教學(xué)提供一定的理論參考。

二、拉格朗日中值定理概述

拉格朗日中值定理的具體表述如下，若函數(shù)f（x）滿足如下條件：

（1）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間a，b內(nèi)可導(dǎo)；

則在a，b內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a，其中b>a。

其幾何意義是，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b上的圖形是連續(xù)光滑曲線弧上至少有一點(diǎn)c，曲線在c點(diǎn)的切線平行于選AB。

推論1.若在a，b內(nèi)，f（x）≡0，則在a，b內(nèi)f（x）為一常數(shù)。

推論2.若在a，b內(nèi)，f′（x）=g′（x），則在a，b內(nèi)f（x）=g（x）+c（c為常數(shù)）。

三、實(shí)例分析

（一）拉格朗日中值定理在解決不等式中的應(yīng)用

不等式證明是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)很常見的題型，一般來說，具體解題思路是通過構(gòu)造函數(shù)來判斷此函數(shù)的單調(diào)性，然后利用特殊函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論。這種思維方式不僅比較傳統(tǒng)，而且對于較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)運(yùn)用起來相對比較復(fù)雜。下邊介紹拉格朗日中值定理在解決此類問題中的應(yīng)用。

例1.已知函數(shù)模型f（x）=lnx+3，gx=x22-bx+7（b>1為常數(shù)），對于區(qū)間1，2內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求b的取值范圍。

此題在中學(xué)解法中運(yùn)用構(gòu)造法的解題思路，通過構(gòu)造可以建立各個(gè)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化。

證法1：筆者在此先按照以往思路考慮去掉絕對值符號。按照上面的假設(shè)方法，也即假設(shè)兩實(shí)數(shù)x1，x2，且滿足 1f（x1）-f（x2）=f（x2）-f（x1）>0成立，又由于在以上區(qū)間上，f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）恒成立，即g（x1）-g（x2）

證：首先利用構(gòu)造法證明根的存在性，再利用拉格朗日中值定理證明根的唯一性。

（1）根的存在性

設(shè)gx=f（x）+x-1，g0=f（0）-1，g1=f（1）

又因?yàn)?有g(shù)0=f（0）-1<0，g1=f（1）>0

所以g0·g1<0，根據(jù)根的存在性定理知，函數(shù)gx在0，1內(nèi)一定存在實(shí)根。

（2）根的唯一性

想要證明f（x）+x-1=0在0，1內(nèi)有唯一的實(shí)根，基本做法是先假設(shè)f（x）+x-1=0在0，1內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)根，然后推出與已知矛盾的結(jié)論，從而證明根的唯一性，下面講解利用拉格朗日中值定理證明根的唯一性的過程。

假設(shè)α，β是f（x）+x-1=0在0，1內(nèi)的兩個(gè)實(shí)根，又假設(shè)α<β，從而有f（α）=1-α，f（β）=1-β，對函數(shù)f（x）在α，β上應(yīng)用拉格朗日中值定理有f（α）-f（β）=f′（ω）α-β，推出f（α）-f（β）α-β=f′（ω），即：

1-α-1-βα-β=-1，這和已知條件f′（ω）≠-1矛盾。

從而證明了方程f（x）+x-1=0在0，1內(nèi)有唯一的實(shí)根。

（三）拉格朗日中值定理在函數(shù)最值中的應(yīng)用

拉格朗日中值定理在解決函數(shù)最值得問題的時(shí)候，必須滿足相應(yīng)的形式，如：可化成t≥f（x1）-f（x2）x1-x2或是t≤f（x1）-f（x2）x1-x2的形式，即可運(yùn)用拉格朗日中值定理進(jìn)行解決。

例3.若函數(shù)fx對于實(shí)數(shù)k和其定義域內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1，x2滿足fx1-fx2≤kx1-x2，則稱函數(shù)fxx∈D滿足利普希茨條件，若函數(shù)fx=xx≥1滿足利普希茨條件，求k的最小值。

解：根據(jù)已知條件，k≥f（x1）-f（x2）x1-x2，又根據(jù)拉格朗日中值定理：f′ω≥f（x1）-f（x2）x1-x2

從而k≥f′ω，即求得f′ω的最大值。

因?yàn)閒x=xx≥1，得到f′x=12x≤12，所以f′x的最大值為12，從而k的最小值為12。

四、總結(jié)

通過拉格朗日中值定理在解決不等式、根的存在性以及函數(shù)中最值的例子，能夠看出此定理解題過程中思路較為簡捷。在熟知定理的情況下，學(xué)生做題效率顯然提升，而學(xué)習(xí)此定理有助于更加透徹地加深對現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識的理解，更好的把握中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，將一些相關(guān)思維融入到日常的數(shù)學(xué)中去，為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。

（作者單位：六盤水師范學(xué)院）

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