吳洪翔

摘要：帶電粒子在磁場(chǎng)中圓運(yùn)動(dòng)的問題綜合性較強(qiáng)，是高中物理的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)。解決這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何知識(shí)。其中，關(guān)鍵是確定圓運(yùn)動(dòng)的圓心，只有找到圓心的位置，才能正確運(yùn)用物理規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)。在本文中，筆者將給出幾種找圓心常用的方法。

關(guān)鍵詞：物理教學(xué)；帶電粒子；圓運(yùn)動(dòng)；確定圓心的方法

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）06-0099

方法一：利用兩個(gè)速度垂線的交點(diǎn)找圓心

由于向心力的方向與線速度方向互相垂直，洛倫茲力（向心力）沿半徑指向圓心，知道兩個(gè)速度的方向，畫出粒子軌跡上兩個(gè)對(duì)應(yīng)的洛倫茲力，其延長線的交點(diǎn)即為圓心。

例1.如圖1所示，一個(gè)質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P（a，0）點(diǎn)以速度v，沿與x正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：分別由射入、射出點(diǎn)做兩條與速度垂直的線段，其交點(diǎn)O即為粒子做圓運(yùn)動(dòng)的圓心，由圖可以看出，軌道半徑為：

例2. 電視機(jī)的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場(chǎng)后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，如圖1所示，磁場(chǎng)方向垂直于圓面，磁場(chǎng)區(qū)的中心為O，半徑為r，當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí)，電子束將通過O點(diǎn)而打到屏幕的中心M點(diǎn)。為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場(chǎng)，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度，則此時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少？

解析：電子先經(jīng)過加速電場(chǎng)獲得一定的速度，然后垂直于磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁場(chǎng)，不考慮電子重力的影響，電子在洛侖茲力的作用下在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周上的兩點(diǎn)a、b分別為進(jìn)入和射出磁場(chǎng)的點(diǎn)。作電子a、b在二點(diǎn)速度νa、νb的垂線，交點(diǎn)O1即為軌跡圓的圓心，如圖2所示。設(shè)電子的質(zhì)量為m，電量為e，電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R。電子在電場(chǎng)中加速，有eU=mν2/2

由牛頓第二定律和洛侖茲力公式有eνB=mν2/R

方法二：利用速度的垂線與弦的中垂線的交點(diǎn)找圓心

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果已知軌跡上的兩點(diǎn)的位置和其中一點(diǎn)的速度方向，可用聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)的弦的中垂線與一條半徑的交點(diǎn)確定圓心的位置。

例1. 電子自靜止開始經(jīng)M、N板間（兩板間的電壓為U）的電場(chǎng)加速后從A點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)邊界射入寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，電子離開磁場(chǎng)時(shí)的位置P偏離入射方向的距離為L，如圖3所示，求：（1）正確畫出電子由靜止開始直至離開磁場(chǎng)時(shí)的軌跡圖；（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。（已知電子的質(zhì)量為m，電量為e。）

解析：（1）聯(lián)結(jié)AP的線段是電子圓運(yùn)動(dòng)軌道上的一條弦，做弦AP的中垂線，由于電子通過A點(diǎn)時(shí)的速度方向與磁場(chǎng)左邊界垂直，因此過A點(diǎn)的半徑與磁場(chǎng)的左邊界重合。AP弦的中垂線OC與磁場(chǎng)左邊界的交點(diǎn)O即是電子圓運(yùn)動(dòng)的圓心，以O(shè)為圓心以O(shè)A為半徑畫圓弧，如圖4所示，

（2）在M、N間加速后獲得的速度為ν，由動(dòng)能定理得：

例2. 如圖5所示，在垂直于坐標(biāo)平面的方向有足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里。一帶正電荷量q的粒子，質(zhì)量為m，從O點(diǎn)以某一速度垂直射入磁場(chǎng)，其軌跡與軸的交點(diǎn)A、C到O點(diǎn)的距離分別為。試求：

（1）初速度與x軸的夾角；

（2）初速度的大小。

解析：（1）粒子垂直射入磁場(chǎng)，在xOy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，OA、OC是圓周上的兩條弦，做兩條弦的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓軌跡的圓心，以O(shè)1為圓心，以為半徑畫圓。正電荷在O點(diǎn)受到的洛侖茲力方向如圖6所示。由左手定則知，粒子的初速度方向垂直于OO1斜向上。

設(shè)初速度為ν，與x軸的夾角為θ，由幾何關(guān)系可知角∠O1OC=θ，故有：tanθ=（a/2）/（b/2）=a/b，θ=arctan（a/b）

（2）據(jù)圖可知，電子的軌道半徑：

方法三：利用速度的垂線與角的平分線的交點(diǎn)找圓心

當(dāng)帶電粒子通過圓形磁場(chǎng)區(qū)后又通過無場(chǎng)區(qū)，如果只知道射入和射出時(shí)的速度的方向和射入時(shí)的位置，而不知道射出點(diǎn)的位置，應(yīng)當(dāng)利用角的平分線和半徑的交點(diǎn)確定圓心。

例1.一質(zhì)量為m，帶電量為+q 的粒子以速度v 從O點(diǎn)沿y 軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從B 處穿過x軸，速度方向與x 軸正方向的夾角為30°，同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)強(qiáng)為E、方向沿與x軸負(fù)方向成60°角斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，通過了B點(diǎn)正下方的C點(diǎn)。如圖示4所示，不計(jì)重力，試求：

（1）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；

（2）C點(diǎn)到B點(diǎn)的距離h。

解析：（1）反向延長νb交y軸于O2點(diǎn)，作∠BO2O的角平分線交x軸于O1，O1即為圓運(yùn)動(dòng)軌道的圓心，OO1即為圓運(yùn)動(dòng)軌道的半徑，

方法四：兩洛侖茲力作用線的延長線的交點(diǎn)即為圓心

例1. 如圖所示，有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)電子動(dòng)量為P，電荷量為e，在A、C點(diǎn)，所受洛侖茲力的方向如圖9所示。已知，求電子從A運(yùn)動(dòng)到C的過程中的偏轉(zhuǎn)角。

解析：A、C為圓周上的兩點(diǎn)，做洛侖茲力作用線的延長線，交點(diǎn)O即為電子的圓周軌跡的圓心。以O(shè)為圓心、R=OA為半徑作出電子從A到C的運(yùn)動(dòng)軌跡，標(biāo)出電子在A、C兩點(diǎn)的速度方向，它們的夾角即為偏轉(zhuǎn)角θ，如圖10所示。由幾何關(guān)系有：

sin（θ/2）=（d/2）/R

由牛頓第二定律及洛侖茲力公式有

eνB=mν2/R

由動(dòng)量的定義式有

P=mν

由以上三式解得

θ=2arcsin[（deB）/2P]

對(duì)復(fù)雜的問題，還可將上述三種方法綜合運(yùn)用。

（作者單位：四川省南部中學(xué) 637300）