彭乃馳 黨婷

【摘要】對(duì)學(xué)生中存在的未定式極限的錯(cuò)誤理解與疑問及易與這類極限混淆的一些極限作了詳細(xì)的分析和比較，以期與從事獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)的同行作教學(xué)交流，并希望對(duì)學(xué)生在這一問題的理解上有一定幫助.

【關(guān)鍵詞】未定式極限；教學(xué)；理解；探討

【基金項(xiàng)目】

Symbol`@@ 云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目（2015Y507）

一、引 言

獨(dú)立學(xué)院是高等教育大眾化的重要承擔(dān)者，高等教育的大眾化使得獨(dú)立學(xué)院學(xué)生整體水平有所下移，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，有些問題教師看來無需解釋但學(xué)生理解有難度；有些問題教師剛解釋過，轉(zhuǎn)眼學(xué)生就會(huì)忘記，因此，一些重要的知識(shí)即使簡單，也應(yīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào).已發(fā)表的關(guān)于未定式極限的論文一般主要關(guān)注這類極限的解法，并沒有關(guān)注學(xué)生在理解這類極限時(shí)出現(xiàn)的問題.本文對(duì)獨(dú)立學(xué)院學(xué)生中存在的對(duì)這類極限的錯(cuò)誤理解與疑問及易與這類極限混淆的一些極限作了詳細(xì)的分析和比較.

二、未定式極限教學(xué)分析

1∞型極限教學(xué)分析

（1）1∞型極限是指limf（x）g（x），（limf（x）=1，limg（x）=∞），1∞型極限結(jié)果不一定為1，重要極限limx→∞1+1xx=e即是一例.這與中學(xué)所學(xué)的1的任何次方都是1并不矛盾，因?yàn)?∞中的“1”一般是指極限為1，而不是常數(shù)為1.

（2）limx→∞1x為特殊的1∞型，該極限總為1，limx→∞1x=limx→∞1=1.該極限也可由極限的定義給出一個(gè)簡單而又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明如下：

證明：取X=N，易知不存在實(shí)數(shù)x0>N，使得1x0-1≥ε，即ε>0，X，當(dāng)x≥X時(shí)，1x-1<ε，故limx→∞1x=1.

（3）極限limf（x）g（x），（limf（x）=1，limg（x）=A）（其中A為常數(shù)，下同）不是1∞型，該極限總為1.

解 limf（x）g（x）=elimg（x）lnf（x）=elimg（x）limlnf（x）=elimg（x）lnlimf（x）=eAln1=e0=1.

（4）1∞型極限常見的錯(cuò)誤解法有兩種.

錯(cuò)解一：limf（x）g（x）=lim1g（x）=1.

錯(cuò)解二：limf（x）g（x）=elimg（x）lnf（x）=elimg（x）limlnf（x）=elimg（x）·ln1=e0=1.

錯(cuò)解一，錯(cuò)誤在于因?yàn)閘img（x）=∞，求極限時(shí)不能先求局部的極限.錯(cuò)解二，錯(cuò)誤在于因?yàn)閘img（x）=∞，不能使用極限的乘法運(yùn)算法則，所以第二個(gè)等號(hào)不成立.

2.00型極限教學(xué)分析

（1）分母為0的式子無意義，但00型極限是指limf（x）g（x），（limf（x）=0，limg（x）=0）即分子、分母極限為0，而不是分母等于0，因此，該式是有意義的.

（2）limx→00x為特殊的00型，該極限總為0，limx→00x=limx→00=0.

（3）00型極限與limx→0Ax（A≠0），及l(fā)imf（x）g（x），（limf（x）=A，limg（x）=B≠0）不同.一方面，limx→0Ax（A≠0）=∞，limf（x）g（x）=limf（x）limg（x）=AB，結(jié)果是確定的，而00型的結(jié)果是不確定的；另一方面，前兩個(gè)極限因?yàn)椴粷M足分母極限不為0的條件，所以不能使用除法運(yùn)算法則，而最后一個(gè)極限是可以用該法則的.

3.∞∞型、∞-∞型極限教學(xué)分析

（1）∞∞型極限指limf（x）g（x），（limf（x）=∞，limg（x）=∞），該極限不滿足極限除法運(yùn)算法則的使用條件，不能使用這一法則.

（2）∞-∞型極限指lim[f（x）-g（x）]，（limf（x）=∞，limg（x）=∞），它不同于limf（x）-g（x），（limf（x）=A，limg（x）=A）.后者根據(jù)減法的運(yùn)算法則計(jì)算得0，而前者不滿足減法運(yùn)算法則的使用條件，不能使用這一法則.

（3）無窮存在量級(jí)差別，同記為∞，并不一定相同，認(rèn)為∞∞型極限結(jié)果總為1、∞-∞型極限結(jié)果總為0都是錯(cuò)誤的.

4.0·∞型極限教學(xué)分析

（1）0·∞型極限指limf（x）·g（x），（limf（x）=0，limg（x）=∞），該極限不一定為0，如：limx→1（1-x2）tanπ2x=limx→11-x2cot（π2x）=limx→1-2x-π2sin2π2x=4π.

（2）limx→∞0·x為特殊的0·∞型，該極限總為0，limx→∞0·x=limx→∞0=0.

（3）0·∞型極限計(jì)算上不同于limf（x）·g（x），（limf（x）=0，limg（x）=A），后者使用乘法運(yùn)算法則結(jié)果為0，而前者不滿足乘法運(yùn)算法則的使用條件，不能使用該法則.

5.00型、∞0型極限教學(xué)分析

（1）在中學(xué)時(shí)，一般認(rèn)為00無意義，因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)00型極限是指：limf（x）g（x），（limf（x）=0，limg（x）=0），f（x），g（x）極限為0，而不是f（x）=g（x）=0，

因此00型極限是有意義的.

（2）任何非零的數(shù)的零次方為1，不細(xì)心的同學(xué)會(huì)認(rèn)為00，∞0都等于1，因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)00型、∞0型極限結(jié)果不一定為1，可舉例，如[1-2]：limx→0+x1ln（2x）（00型），limx→0+（cotx）1lnx（∞0型） .

解 limx→0+x1ln（2x）=elimx→0+lnxln2x=elimx→0+xx=e.

limx→0+（cotx）1lnx=elimx→0+lncotxlnx=elimx→0+-xcsc2xcotx=elimx→0+-xsinxcosx=e-1.

6.未定式極限類型的教學(xué)分析

未定式極限除了1∞型外，其他是由極限為0與極限為無窮的式子通過加、減、乘、除、冪五種運(yùn)算構(gòu)成的.極限為0與極限為無窮的式子通過加、減、乘、除、冪五種運(yùn)算構(gòu)成的的有0+0，0-0，0·0，00，00，∞+∞，∞-∞，∞·∞，∞∞，∞∞，0+∞，0-∞，0·∞，0∞，∞0，∞0，0∞共17種.其中，0+0，0-0，0·0，∞·∞，0+∞，0-∞，0∞，∞08種易知結(jié)果確定，不屬于未定式；1∞，00，∞∞，∞-∞（∞+∞），0·∞，00，∞0 8種上文已分析，屬于未定式.還有∞∞，0∞兩種屬于未定式極限嗎？可作為一個(gè)簡單的思考題留給學(xué)生們思考.

三、結(jié) 語

未定式極限對(duì)于剛步入大學(xué)的學(xué)生來說比較新奇，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，理解能力不強(qiáng)的學(xué)生會(huì)將這類極限與他們中學(xué)已有的認(rèn)知混淆，形成矛盾.教師應(yīng)站在學(xué)生的角度強(qiáng)調(diào)對(duì)這一問題的理解，詳細(xì)分析、解釋，并舉一反三、觸類旁通，激發(fā)學(xué)生的思維，使其思考，進(jìn)而逐漸形成靈活、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式，而不是讓學(xué)生照搬方法，只會(huì)做題，知其然不知其所以然.學(xué)生也應(yīng)具體問題具體分析，不能盲目生搬亂套.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]王華.1∞、00及∞0型極限中的等價(jià)無窮小（大）代換.時(shí)代教育[J].2009（8）：79-80.