數(shù)123456789的奇妙性質(zhì)及其推廣

田甦文 田雨

【摘要】通過(guò)數(shù)123456789（和987654321）的一個(gè)奇妙性質(zhì)入手，我們提出了一個(gè)相當(dāng)一般的關(guān)于一類乘積中數(shù)字出現(xiàn)規(guī)律的猜想.

【中圖分類號(hào)】O156.1

也許很少人注意到，數(shù)123456789有一個(gè)非常有趣的性質(zhì)，而且由此還可以發(fā)現(xiàn)其他一些相關(guān)的奇妙現(xiàn)象.這些現(xiàn)象都只涉及最基本的整數(shù)運(yùn)算，但是據(jù)我們了解還沒(méi)有人發(fā)現(xiàn)過(guò).

最簡(jiǎn)單的情況，就是把123456789直接乘以一個(gè)數(shù)字（從1到9），結(jié)果如下：

也就是說(shuō)，除了3、6、9這三個(gè)能被3整除的數(shù)字外，其他數(shù)字跟123456789相乘得到的結(jié)果，其各位數(shù)仍然是123456789這9個(gè)數(shù)字的不同排列（既無(wú)重復(fù)也無(wú)遺漏），但其具體排列順序似乎并無(wú)明顯的規(guī)律.

由于123456789乘以9時(shí)得到的已經(jīng)是10位數(shù)，因此乘以更大的數(shù)時(shí)顯然不可能再是123456789這9個(gè)不同數(shù)字的排列.但是，123456789乘以10得到1234567890，如果把數(shù)字0也算上的話，仍然是所有10個(gè)數(shù)字的排列（實(shí)際上123456789本身也可以看成0123456789）.這就提示我們，如果把123456789乘以更大的數(shù)時(shí)，是否也有類似的規(guī)律出現(xiàn)呢？

首先做一個(gè)簡(jiǎn)單的分析，

123456789 * 81=9999999909，顯然當(dāng)所乘的數(shù)大于81時(shí)將會(huì)得到一個(gè)11位數(shù)，總共10個(gè)數(shù)字不可能沒(méi)有重復(fù).因此，原則上我們可以觀察123456789乘以從11到80的所有整數(shù)，看看結(jié)果是否出現(xiàn)10個(gè)不同數(shù)字的排列.這里我們僅僅列出從11到30的結(jié)果：

當(dāng)乘以3的倍數(shù)時(shí)都得不到想要的結(jié)果，自不必說(shuō)，但是當(dāng)乘以19時(shí)出現(xiàn)了第一個(gè)例外（出現(xiàn)了兩個(gè)9而沒(méi)有0），后來(lái)的28和29同樣出現(xiàn)了數(shù)字重復(fù)和遺漏的現(xiàn)象.而從31到80，這樣的例外情形總體來(lái)說(shuō)逐漸增多，但仍有相當(dāng)部分的相乘結(jié)果是10個(gè)不同數(shù)字的排列，這里就不再贅述.

無(wú)獨(dú)有偶，除了123456789之外，數(shù)987654321也有類似有趣的性質(zhì)，但由于該數(shù)較大，當(dāng)乘以大于10的整數(shù)時(shí)已經(jīng)得到11位數(shù)，所以這里只考察乘以1到10的結(jié)果：

同樣是除了3的倍數(shù)以外，乘以其他整數(shù)得到的結(jié)果均為0123456789這10個(gè)不同數(shù)字的排列.

這樣一個(gè)自然的問(wèn)題就是，除此之外還有沒(méi)有別的數(shù)也有類似的性質(zhì)呢？如果我們簡(jiǎn)單地對(duì)前面兩個(gè)數(shù)做一個(gè)減法：

987654321-123456789=864197532，

很湊巧結(jié)果同樣是123456789這9個(gè)不同數(shù)字的排列.但是864197532這個(gè)數(shù)的性質(zhì)就不像前面兩個(gè)數(shù)這么有趣了，除了乘以較小的幾個(gè)數(shù)可以得到類似的結(jié)果，其他情況下一般不再具有這種性質(zhì).另外，

9876543210-123456789=9753086421，

雖然結(jié)果湊巧也是0123456789這10個(gè)不同數(shù)字的排列，但是由于該數(shù)較大，只要乘以2就會(huì)超過(guò)10位數(shù)字，因此不可能再做進(jìn)一步的考察.雖然我們沒(méi)法窮盡所有的情況，但是到目前為止還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其他與123456789和987654321性質(zhì)同樣好的9位數(shù)（或者10位數(shù)）.不過(guò)這些在相減的情形同樣得到9個(gè)（或者10個(gè)）不同數(shù)字排列的現(xiàn)象本身也是有趣的，如

987654321-123456789 * 3=617283954，

9876543210-123456789 * 3=9506172843，

等等，但是由于很難總結(jié)出一般的規(guī)律，我們就未做進(jìn)一步的研究了.

如果不局限于9位（或者10位）數(shù)，那么還可以找到更一般的有趣性質(zhì).用112233445566778899代替123456789，首先可以注意到

112233445566778899 * 98=10998877665544332102，

112233445566778899 * 99=11111111111111111001，

其中前一式的結(jié)果中0123456789這10個(gè)數(shù)字剛好每個(gè)數(shù)字也是出現(xiàn)兩次，這是我們希望看到的性質(zhì)；而后一式的樣子完全類似于前面123456789乘以9的式子.一般地，可以驗(yàn)證112233445566778899乘以從1到100的所有整數(shù)，除了乘數(shù)可以被3整除的情形，結(jié)果中0123456789這10個(gè)數(shù)字剛好每個(gè)數(shù)字都是出現(xiàn)兩次.這里我們只列出乘數(shù)從2到19的結(jié)果：

當(dāng)乘以大于100的整數(shù)時(shí)，出于位數(shù)的限制最大可以到

112233445566778899 * 890=99887766554433220110，

112233445566778899 * 891=99999999999999999009，

其中可以預(yù)期也會(huì)出現(xiàn)類似于123456789乘以19這樣的反例，但我們未做進(jìn)一步的考察.

如果用998877665544332211代替987654321，那么類似地，當(dāng)乘以大于100的整數(shù)時(shí)已經(jīng)得到21位數(shù)而無(wú)需考察，同樣可以驗(yàn)證998877665544332211乘以從1到100的所有整數(shù)，除了乘數(shù)可以被3整除的情形，結(jié)果中10個(gè)不同數(shù)字剛好每個(gè)數(shù)字都是出現(xiàn)兩次.這里我們只列出乘數(shù)從2到19的結(jié)果：

此處不再贅述.

容易想到，上述規(guī)律可以進(jìn)一步推廣到111222333444555666777888999和999888777666555444333222111乘以從1到1000的所有整數(shù)，甚至更高位數(shù)的情形.在這些情形單靠人力很難做徹底的驗(yàn)證，但是對(duì)于我們隨機(jī)抽樣到的情形（除了乘數(shù)可以被3整除），上述有趣的性質(zhì)都是保持的.

基于上述研究，最后我們提出一個(gè)普遍的猜想：形如11…122…233…3……88…899…9和99…988…877…7……22…211…1（其中123456789每個(gè)數(shù)字均出現(xiàn)n次）的數(shù)乘以從1到10n的所有整數(shù)，除了乘數(shù)可以被3整除的情形，得到的結(jié)果中10個(gè)不同數(shù)字剛好每個(gè)數(shù)字都是出現(xiàn)n次.希望有人能證明這個(gè)猜想.