張海燕， 司紅穎

算子乘積的{1，2，3}－逆逆序律

張海燕， 司紅穎

(商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南商丘476000)

借助特殊的空間分解，研究算子乘積的廣義逆序律問(wèn)題，給出當(dāng)算子A、B、AB為閉值域算子時(shí)，B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}和B{1，2，4}A{1，2，4}=AB{1，2，4}分別成立的充要條件．

分塊算子矩陣;{1，2，3}－逆;逆序律

0 引言

為方便描述，首先介紹一些符號(hào)．用H和K表示無(wú)限維Hilbert空間，B(K，H)表示從K到H中的有界線性算子全體，當(dāng)K=H時(shí)，將B(K，H)簡(jiǎn)記為B(H)．給定算子A∈B(H，K)，用N(A)和R(A)分別表示算子A零空間和值域空間．對(duì)算子G∈B(K，H)，若滿足下列方程中的一個(gè)或者幾個(gè)均稱G為A的廣義逆:

記A{i，j，…，l}為滿足方程(i)，(j)，…，(l)的算子的集合．算子G∈A{i，j，…，l}稱為算子A的{i，j，…，l} － 逆，有 時(shí) 也 記 為 A(ij…l)．算 子 A 的{1，2，3，4}－逆 A+是唯一的，被稱為算子 A的Moore－Penrose逆或偽逆．方程(i)又稱為Moore－Penrose方程或Moore－Penrose條件．

近幾十年來(lái)，廣義逆理論已成為很有用的工具，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化控制、數(shù)值分析、微分方程等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用［1］，對(duì)多個(gè)矩陣或者算子乘積的廣義逆的逆序律及其相關(guān)問(wèn)題受到了很多學(xué)者的關(guān)注［2－18］．T．N．E．Greville［2］給出了一個(gè)較為經(jīng)典的結(jié)果，指出(AB)+=B+A+當(dāng)且僅當(dāng)R(A*AB) R(B)且R(BB*A*) R(A*)，其中A和B為復(fù)矩陣，該結(jié)果被文獻(xiàn)［3－4］推廣到A、B為無(wú)限維Hilbert空間上的有界線性算子仍然成立．

隨后，很多學(xué)者著手對(duì)各類廣義逆的逆序律進(jìn)行研究．文獻(xiàn)［5］利用一種特殊的空間分解研究算子乘積的{1，3，4}－逆序律問(wèn)題．文獻(xiàn)［6］利用類似的方法刻畫{1，2，3}－和{1，2，4}－逆的逆序律問(wèn)題，給出B{1，2，i}A{1，2，i} AB{1，2，i}(i=3，4)成立的充要條件，而在矩陣代數(shù)中，B{1，2，i}A {1，2，i}=AB{1，2，i}(i=3，4)成立的充要條件在文獻(xiàn)［7］中得到刻畫．

本文主要利用分塊算子矩陣技巧，將文獻(xiàn)［7］中相關(guān)結(jié)果推廣到無(wú)限維Hilbert空間中去，研究2個(gè)算子乘積的{1，2，3}－和{1，2，4}－逆的逆序律問(wèn)題，給出當(dāng)A、B、AB都為閉值域算子時(shí)，B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}和B{1，2，4}A{1，2，4} =AB{1，2，4}分別成立的充要條件．

1 單個(gè)算子的{1，2，3}－逆

設(shè)算子A∈B(H，K)是閉值域算子，則算子A在空間分解H=R(A*) N(A)與K=R(A) N(A*)下有矩陣分解形式

其中A1∈B(R(A*)，R(A))可逆．眾所周知，A的Moore－Penrose逆存在當(dāng)且僅當(dāng)A的值域是閉的，且此時(shí)A+有矩陣分解形式

算子A的{1，2，3}－逆也有類似的表現(xiàn)形式．在這一部分當(dāng)中，探討在特定的空間分解下算子的{1，2，3}－逆的一般矩陣形式．

引理1 設(shè)A∈B(H，K)是閉值域算子．若A關(guān)于空間分解H=H1H2H3與K=K1K2K3有矩陣形式

其中A11是可逆的且A22是滿射算子，則A的{1，2，3}－逆A(123)有如下分解形式

其中G31∈B(K1，H3)及G32∈B(K2，H3)是任意的，Gji∈B(Ki，Hj)(i，j=1，2)滿足

特別地，若N(A22)≠{0}，則滿足條件2)的G21不唯一．

證明 令G∈A{1，2，3}，可設(shè)G在空間分解K =K1K2K3與H=H1H2H3下有如下矩陣形式

因此

結(jié)合(3)式和Moore－Penrose條件3)(AG)*=AG有

由此將(3)式代入Moore－Penrose條件1)AGA=A有

其中，x1代表A11，y1代表G11，x2代表A12，y2代表G21，x3代表A22，y3代表G22，y4代表G12，所以有

因?yàn)锳11是可逆算子，所以

又結(jié)合A22G21=0，(3)式和Moore－Penrose條件3)知，A11G12+A12G22=0，因此 G12= －A－111A12G22．此時(shí)，AG的矩陣形式應(yīng)為

將此式代入Moore－Penrose條件2)GAG=G得

因此，G13=0，G23=0，G33=0，G31∈B(K1，H3)是任意的，且有G22A22G22=G22．結(jié)合G22∈A22{1}與(4)式中(A22G22)*=A22G22知，G22∈A22{1，2，3}．又因?yàn)锳22為滿射算子，則A22G22=IK2．從而由(5)式可以看出G32可以為K2到H3中的任意有界線性算子．證畢．

特別地，若在引理1中K2={0}，容易得出下面結(jié)論．

引理2 設(shè)A∈B(H，K)是閉值域算子．若A關(guān)于空間分解H=H1H2H3與K=K1K2有矩陣形式

其中A11是可逆的，則A的{1，2，3}－逆A(123)有如下分解形式其中G21∈B(K1，H2)及G31∈B(K1，H3)是任意的，

其中G21∈B(R(A)，N(A))是任意的．

2 算子乘積的{1，2，3}－逆的逆序律

推論1 設(shè)A∈B(H，K)是閉值域算子并具有矩陣形式(1)，則A(123)具有如下矩陣分解形式

文獻(xiàn)［7］主要利用矩陣行列變換研究矩陣乘積的{1，2，3}－逆的逆序律．在這一部分中主要利用算子分塊技巧研究無(wú)限維Hilbert空間上閉值域算子乘積的廣義逆序律．給出當(dāng)A、B、AB都是閉值域算子時(shí)，AB{1，2，3}=B{1，2，3}A{1，2，3}成立的充要條件，并以此推斷AB{1，2，4}=B{1，2，4}A {1，2，4}成立的等價(jià)條件．

定理1 設(shè)A∈B(H，K)，B∈B(K，H)，若A、B、AB都是閉值域算子，則AB{1，2，3}=B{1，2，3} A{1，2，3}的充要條件為R(A*AB) R(B)，且R(A)=R(AB)或R(B)∩N(A)={0}．

證明 為方便其見(jiàn)，首先給出一些記號(hào)，設(shè)

其中B+是B的Moore－Penrose逆，則H=H1H2H3H4且K=K1K2K3．接下來(lái)的證明分3種情況．

(i)H2={0}，則此時(shí)有R(B) N(A)，從而AB=0且有AB{1，2，3}={0}．

斷言1 B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}當(dāng)且僅當(dāng)A=0或B=0．

如果A=0或B=0，那么B{1，2，3}A{1，2，3} =AB{1，2，3}自然成立．假設(shè)A和B均不為零算子，則空間H可以正交分解為H=R(A*) R(B) ((N(A) R(B))，那么算子A和B有矩陣分解形式

其中A11、B21是可逆算子．根據(jù)推論1可知，算子A和B的{1，2，3}－逆的矩陣分解形式分別為

其中G21∈B(R(A)，R(B))，G31∈B(R(A)，N(A) R(B))，F(xiàn)21∈B(R(B)，R(B*))為任意算子．

所以

而此種情況下AB{1，2，3}={0}，結(jié)合已知B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}，有B(123)A(123)=0．從而且FG=0．而假設(shè)B≠0，知B≠0．從122121而G21=0．另一方面由推論1知對(duì)任意的G21都能使(6)式為A的{1，2，3}－逆，所以只能A=0，這與假設(shè)矛盾．故若B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}，則A=0或B=0，因此斷言1成立．

斷言2 R(A*AB) R(B)，且R(A)=R(AB)或R(B)∩N(A)={0}，當(dāng)且僅當(dāng)A=0或B=0．

充分性顯然成立．只需說(shuō)明必要性．若R(A)= R(AB)，而此時(shí)AB=0，則R(A)=0，即有A=0．若R(B)∩N(A)={0}，而此時(shí)R(B) N(A)，則R(B)=0，即有B=0，故斷言2成立．結(jié)合斷言1，知此情況下結(jié)論成立．

(ii)H2≠{0}，且H1≠{0}即R(B)∩N(A)≠{0}．此時(shí)A與B有矩陣表示形式如下

其中，A12、B11、B22是可逆算子，A24是滿射算子，從而

由推論1及引理1知，B和A的{1，2，3}－逆分別具有以下矩陣形式

且

其中，F(xiàn)31、F32及Gij，i∈{1，3}，j∈{1，2}是任意的，且Gij，i∈{2，4}，j∈{1，2}滿足

記

于是有

另一方面，結(jié)合AB的分解式(8)，由推論1知

其中M11、M31是任意的．

假設(shè)B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}，那么在相同的空間分解下，對(duì)任意的B(123)A(123)應(yīng)具有(AB)(13)的矩陣分解形式，對(duì)比(12)和(13)式得

據(jù)引理1，(10)式中的G12是可以任意的，因此此時(shí)只能有K2={0}，即有R(A)=R(AB)，則此時(shí)A的矩陣分解式(7)中A24=0，又從而A14G41=0，所以R(G41) N(A14)．根據(jù)引理2知，G41是任意的，結(jié)合H4的定義知，A14=0，結(jié)合(9)式知，R(A*AB) R(B)．

反之，若R(A*AB) R(B)且R(A)=R(AB)，則有K2={0}且A的分解式(7)中A24=0，A14=0．因此結(jié)合引理2知，(11)式中G22=0，G42=0，G21=是任意的，并且 G =0，因此(12)式中的12P12=0，B－1

22G22=0，P32=0，且P11、P31可取任意的有界線性算子．對(duì)比(12)與(13)式可知，B{1，2，3}A {1，2，3}=AB{1，2，3}成立．

(iii)H2≠{0}但H1={0}，顯然有J1={0}，則此時(shí)有R(B)∩N(A)={0}且H=H2H3H4且K=J2J3，那么A、B的矩陣形式為

其中，A12、B22是可逆的，A24是滿射算子．

從而

由推論1及引理1知，AB、B、A的{1，2，3}－逆分別具有以下矩陣形式:

且

其中，M31、F31、F32及Gij，i∈{1，3}，j∈{1，2}是任意的，且Gij，i∈{2，4}，j∈{1，2}滿足

于是有

假設(shè)B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}，對(duì)比(16)和(18)式得

反之，若R(A*AB) R(B)，則由(15)式知在(14)式中A14=0．據(jù)H4的定義可知，A24可逆，則在(17)式中，．代入(16)與(18)式做對(duì)比可知，B{1，2，3}A{1，2，3} =AB{1，2，3}．證畢．

由定理1的證明過(guò)程可知下述結(jié)果成立．

注1 設(shè)A∈B(H，K)，B∈B(K，H)為閉值域算子且AB也是閉值域的，則AB{1，2，3} B{1，2，3}A{1，2，3}恒成立．

由廣義逆的4個(gè)Moore－Penrose的條件可以看出，若算子G是算子A的{1，2，3}－逆，那么G*一定是算子A*的{1，2，4}－逆，根據(jù){1，2，3}－逆與{1，2，4}－逆的這種對(duì)偶關(guān)系容易得出下面的結(jié)論成立．

定理2 設(shè)A∈B(H，K)，B∈B(K，H)為閉值域算子且AB也是閉值域算子，則下列命題等價(jià):

由算子的{1，2，3}－逆，{1，2，4}－逆與其Moore－Penrose逆的關(guān)系，結(jié)合定理1和2，下面給出算子乘積Moore－Penrose逆序律成立的一個(gè)充分條件．

推論2 設(shè)A∈B(H，K)，B∈B(K，H)為閉值域算子且 AB也是閉值域算子，若 R(A*AB)= R(BB*A*)，且R(A)=R(AB)或R(B)∩N(A)= {0}成立，則(AB)+=B+A+．

證明 因?yàn)?R(A*AB)=R(BB*A*)，即有R(A*AB) R(B)，根據(jù)定理1可知，AB{1，2，3}= B{1，2，3}A{1，2，3}，所以有B+A+∈AB{1，2，3}．

接下來(lái)對(duì)應(yīng)定理1的證明過(guò)程中的3種情況分別說(shuō)明:

(i)H2={0}，此時(shí)有A=0或者B=0，則結(jié)論自然成立;

(ii)H2≠{0}，且H1≠{0}，此時(shí)A與B有矩陣表示形式如下:

其中，A12、B11、B22是可逆算子，從而有

對(duì)比A*與B*的矩陣形式可知，R(A*)∩N(B*)= {0}，而又知R(BB*A*)=R(A*AB) R(A*)，所以根據(jù)定理2，可知AB{1，2，4}=B{1，2，4}A{1，2，4}成立，則B+A+∈AB{1，2，4}，前面已證B+A+∈AB{1，2，3}，從而(AB)+=B+A+．

(iii)H2≠{0}但H1={0}，此時(shí)有

根據(jù)A12、B22的可逆性，可以得出此時(shí) R(B*)= R(B*A*)．而已知R(BB*A*)=R(A*AB)，所以根據(jù)定理2，可知AB{1，2，4}=B{1，2，4}A{1，2，4}成立，故B+A+∈AB{1，2，4}，所以(AB)+=B+A+成立．證畢．

這里推論2的條件只是充分條件而非必要條件．

例1 設(shè)H為實(shí)Hilbert空間，算子A、B為空間H H H的有界線性算子，其具體形式為

其中I為H上的單位算子，通過(guò)直接計(jì)算可得

而

所以AB{1，2，3}≠B{1，2，3}A{1，2，3}．

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要是利用了特殊的空間分解對(duì)閉值域算子進(jìn)行分塊處理，由此研究集合AB{1，2，3}與B{1，2，3}A{1，2，3}相等的充要條件．利用類似的分解方法也可以刻畫算子乘積的Moore－Penrose逆的逆序律成立等價(jià)條件［8］以及Moore－Penrose逆的乘積B+A+與集合AB{1，2，3}的關(guān)系．那么類似的方法是否可以適用于探討更多個(gè)算子乘積的廣義逆序律呢?這個(gè)問(wèn)題將有待于進(jìn)一步探討．

［1］WANG G，WEI Y，QIAO S．Generalized Inverses:Theory and Computations［M］．北京:科學(xué)出版社，2004．

［2］GREVILLE T N E．Note on the generalized inverse of a matrix product［J］．SIAM Rev，1966，8(4):518－521．

［3］BOULDIN R H．The pseudo－inverse of a product［J］．SIAM J Matrix Anal Appl，1973，24(4):489－495．

［4］IZUMINO S．The product of operators with closed range and an extension of the reverse order law［J］．Tohoku Math J，1982，34(2):43－52．

［5］王潔，張海燕，吉國(guó)興．兩個(gè)算子乘積的一種廣義逆序律［J］．陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，38(4):13－17．

［6］LIU X J，WU S X，CVETKOVIC－LLIC D S．New results on reverse order law for{1，2，3}and{1，2，4}－inverses of bounded operators［J］．Math Comput，2013，82(283):1597－1607．

［7］張鳳霞，李瑩，趙建立．兩個(gè)矩陣乘積的{1，2，3}－逆和 {1，2，4}－逆的反序律［J］．山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2011，46(4):78－81．

［8］張海燕．算子乘積的Moore－Penrose逆序律［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014，44(11):260－264．

［9］CVETKOVIC－LLIC D S，HARTE R．Reverse order law in C*－algebras［J］．Linear Algebra and Its Applications，2011，434(5):1388－1394．

［10］DJORDJEVIC D S，DINCIC N C．Reverse order law for the Moore－Penrose inverse［J］．J Math Anal Appl，2010，361(1): 252－261．

［11］杜鴻科．線性算子廣義逆的逆序律與Ep算子［J］．陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1984，8(1):11－19．

［12］DENG C Y．Reverse order law for the group inverses［J］．J Math Anal Appl，2011，382(2):663－671．

［13］武淑霞，劉曉驥．C*－代數(shù)上的廣義逆序律［J］．山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2011，46(4):82－85．

［14］LIU X J，HUANG S W，CVETKOVIC－LLIC D S．Mixed－type reverse－order laws for{1，3，4}generalized inverses over Hilbert spaces［J］．Appl Math Comput，2012，218(17):8570－8577．

［15］XIONG Z P，ZHENG B．The reverse order laws for{1，2，3}－and{1，2，4}－inverses of a two－matrix product［J］．Appl Math Lett，2008，21(7):649－655．

［16］XIONG Z P，QIN Y Y．A note on the reverse order law for least square g－inverse of operator product［J］．Linear and Multilinear Algebra，2016，64(7):1404－1414．

［17］付石琴，劉曉冀．廣義逆算子乘積的不變性［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，39(3):185－190．

［18］王宏興，劉曉冀．整環(huán)上矩陣的加權(quán)廣義逆［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，32(6):734－737．

Reverse Order Laws for{1，2，3}-inverse of Two-operator Product

ZHANG Haiyan， SI Hongying

(College of Mathematics and Information Science，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，Henan)

In this paper，we investigate the reverse order laws for{1，2，3}-inverse of two-operator product by making full use of block-operator matrix technique．When A，B，AB are closed range operators，the equivalent conditions for B{1，2，3}A{1，2，3}= AB{1，2，3}and B{1，2，4}A{1，2，4}=AB{1，2，4}are presented．

block-operator matrix;{1，2，3}-inverse;reverse order law

O177．1

A

1001－8395(2016)05－0671－07

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．010

(編輯 鄭月蓉)

2016－01－05

國(guó)家自然科學(xué)基金(11501345)、河南省自然科學(xué)基金(1523000410221)和河南省教育廳資助項(xiàng)目(14B110010)

張海燕(1980—)，女，副教授，主要從事算子理論與算子代數(shù)的研究，E－mail:csqam@163．com

2010 MSC:47A05;47A62