二維有限差分法地震波場數(shù)值模擬研究

許歡

摘 要：有限差分法是地震波場數(shù)值模擬中最重要的方法之一，但是有限差分法模擬地震波場 時，計算機的內(nèi)存不可能模擬無限大的無邊界的地質(zhì)模型，這時就考慮到吸收邊界問題。本 文就以二維聲波波動方程為例，通過對無吸收邊界條件，一階、二階吸收邊界條件效用的對 比，闡述人工邊界反射問題（虛假反射）及吸收邊界條件的重要性。

關(guān)鍵詞：有限差分法；地震波場；數(shù)值模擬；吸收邊界條件；偽反射

0引言

在當今的中國乃至整個世界，經(jīng)濟的發(fā)展相當部分由工業(yè)決定，工業(yè)離不開石油業(yè)的發(fā)展，石油業(yè)離不開地球物理勘探儀器與算法的進步，算法中最主要的是地震資料數(shù)據(jù)處理。 為了能更好地處理地震數(shù)據(jù)，掌握地震波傳播規(guī)律，我們這時就要做好最根本的工作——地 震波場數(shù)值模擬。波場數(shù)值模擬（正演）方法有有限元法、克?；舴蚍e分法、射線追蹤法、 波動方程有限差分法及以上方法的改進和綜合等方法。由于有限差分法編程簡單易實現(xiàn)，計算速度快，占用內(nèi)存少，模擬精度高，適用條件廣而備受青睞。但是有限差分法模擬地震波 場時，計算機的內(nèi)存不可能模擬無限大的無邊界的地質(zhì)模型，這時就考慮到人工邊界問題。 下面就以二維聲波波動方程為例，闡述人工邊界反射問題（虛假反射）及其克服方法。

1二維聲波方程的有限差分公式

二維標量聲波波動方程（含震源）：

（1）

對（1）式進行時間、空間均 2 階精度有限差分離散即 7 點差分格式（見圖 1），采用Ricker子波作為震源，整理后 可得以下差分格式：

式（2）中， k P Pi x j zk t i j = ΔΔΔ ） Δx， ， Δy，Δ z，Δt 為別為空間、時間離散步長， h =Δx =Δy =Δz ，Src為震源函數(shù)。

2吸收邊界條件條件

由于地質(zhì)模型的有限性，當?shù)卣鸩▊鞑サ降刭|(zhì)邊界時會產(chǎn)生因邊界內(nèi)外速度的巨大反差 （邊界外的速度為零），從而產(chǎn)生了不是由目標體界面產(chǎn)生的反射，這就是虛假反射（偽反射）。通過編程實現(xiàn)了地震聲波波場快照。如果沒有吸收邊界條件則會有很強的因人工邊界造成的虛假反射，這 給地震數(shù)據(jù)的采集、處理及解釋工作帶來了諸多不便。由此我們急需解決因人工邊界引起的 強虛假反射。這里我們采用Clayton Engquist majda一階吸收邊界條件，其一階形式為

其二階形式為

式（3）和式（4）中，n 為邊界的外法線方向，τ 為邊界的切線方向。

從圖2中可以看出：a、b 時刻波形未到達、剛到達邊界，沒有發(fā)生反射；c、 d 時刻波形正在通過邊界，已經(jīng)吸收了大部分能量，但仍有少部分能量發(fā)生了虛假反射。

從圖 3 可以看出：由于使用了二階吸收邊界條件，當能量傳播到邊界時，很好的被吸收 了，故 c、d 看不到因人工邊界而產(chǎn)生的虛假反射。

3結(jié)論

通過親自動手，獨立編程模擬出了各種條件下的地震波場數(shù)值模擬，為地震資料的有限 差分法波動方程逆時偏移處理打下了堅實的基礎(chǔ)。在用有限差分法解波動方程，然后模擬地 震波場的過程中，吸收邊界條件處理是不可或缺的一個環(huán)節(jié)。吸收邊界處理的本質(zhì)就是當?shù)?震波傳到因人工造成的波阻抗時，不會產(chǎn)生回射波（backward wave）即人工邊界變成無反 射的、透明的或者是吸收的。

當然，吸收邊界有很多種方法如多次入射法、旁軸近似法、高吸收區(qū)法、完全匹配層法 及多種方法聯(lián)立邊界條件等。在數(shù)值算法領(lǐng)域中，總存在這樣一對矛盾：數(shù)值計算精度越 高，計算量就越大，計算效率就低。所以我們在處理實際問題時，根據(jù)實際問題所要求的目 標來確定計算精度，這樣既提高了計算效率，又能完美地解決問題。

參考文獻：

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