由“畫負(fù)數(shù)”引發(fā)的思考

◇張新春

由“畫負(fù)數(shù)”引發(fā)的思考

◇張新春

一 負(fù)數(shù)是難以理解的

比0還小的數(shù)？就是表示比沒有還少！這是不容易理解的。筆者已然無法回憶起自己當(dāng)初是如何克服這種認(rèn)識(shí)上的障礙而理解負(fù)數(shù)的，不過對(duì)自己首次接觸虛數(shù)單位時(shí)的困惑仍記憶深刻。當(dāng)時(shí)我無論如何也無法理解，人們有什么權(quán)利規(guī)定一個(gè)東西的平方等于-1，而且還把這個(gè)東西叫作數(shù)——虛數(shù)。

有基于生物學(xué)的所謂 “歷史發(fā)生原理”的觀點(diǎn)認(rèn)為，個(gè)體的成長(zhǎng)要以某種形式重復(fù)群體成長(zhǎng)的過程。具體到數(shù)學(xué)教學(xué)上來說，可以粗略地理解為：學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念時(shí)遇到的困難，與人類作為一個(gè)整體接受這個(gè)概念時(shí)遇到的困難有一定的一致性。于是，我們不妨來看看歷史上人們是如何看待負(fù)數(shù)的。

直到17世紀(jì)，歐洲很多數(shù)學(xué)家都不愿意承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù)，或者認(rèn)為負(fù)數(shù)是荒謬的數(shù)。意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)在解方程時(shí)得到負(fù)數(shù)，但認(rèn)為這是不可能的結(jié)果，僅僅是一些記號(hào)而已。法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡則認(rèn)為從0減去4純粹是胡說。他的一位神學(xué)家兼數(shù)學(xué)家的朋友提出過有趣的意見，他懷疑-1∶1=1∶（-1）的正確性，因?yàn)?1小于1，一個(gè)較小數(shù)與一個(gè)較大數(shù)的比，怎么可能等于一個(gè)較大數(shù)與較小數(shù)的比呢？這種意見甚至得到了德國(guó)大學(xué)問家、微積分的發(fā)明者之一萊布尼茲的支持。

歷史上天才的數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)理解起來尚且如此不易，今天十一二歲的孩子理解負(fù)數(shù)自然也會(huì)出現(xiàn)困難。

二 “畫負(fù)數(shù)”是高明的

既然負(fù)數(shù)如此難以理解，那么如何利用巧妙的教學(xué)法加工手段，幫助學(xué)生克服這種困難，就成為負(fù)數(shù)教學(xué)時(shí)首要考慮的問題。

張齊華老師“畫負(fù)數(shù)”算得上是高明的教學(xué)法加工手段。

1.這種手段是有依據(jù)的。事實(shí)上，早在100多年以前，英國(guó)心理學(xué)家高爾頓（Francis Galton）就在《自然》雜志上發(fā)表文章，提出數(shù)具有空間特性。比如他在研究中發(fā)現(xiàn)，在某些人的頭腦中，數(shù)具有一定的形狀和方向，如位于數(shù)序列開始部分的數(shù)(1～12)排成一個(gè)類似鐘表面的圓環(huán)。近年，負(fù)數(shù)的空間表征也得到了關(guān)注。（如浙江大學(xué)田瑛的《負(fù)數(shù)的空間表征及其加工機(jī)制的研究》）“畫負(fù)數(shù)”似乎可以理解為賦予負(fù)數(shù)以空間表征的形式。

2.這種手段是符合學(xué)生實(shí)際的。引入負(fù)數(shù)，通常有兩種途徑：一是從具有相反意義的量的表示方式的角度引入，二是從運(yùn)算封閉性的角度引入。考慮到小學(xué)生的認(rèn)知水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)等方面的特點(diǎn)，我們通常以第一種方式引入負(fù)數(shù)。

在學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)中，具有相反意義的量是常見的。對(duì)這些常見的具有相反意義的量，很多可以賦予其幾何特征，即可以畫出來。從教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生豐富的圖形表征方式中可以知道，“畫負(fù)數(shù)”是接“學(xué)生經(jīng)驗(yàn)”這一地氣的。

3.這種手段是有效的。通過畫“-2層”，畫“-5℃”，學(xué)生理解了0、分界的重要性?！耙?yàn)榈孛孀兞?，相?yīng)的樓層也就變了?！薄拔矣X得地面就像是地上和地下的分界線，分界線變了，樓層當(dāng)然就變了。”“我覺得地面就像是0層，只有我們知道 0層在哪里，我們才能確定問號(hào)所在的到底是第幾層。”學(xué)生的這些認(rèn)識(shí)都是深刻的。（值得一提的是，在我們的生活經(jīng)驗(yàn)中，樓層表示的是一個(gè)空間，并且沒有0層，+1層緊連著-1層。就算規(guī)定地面為“0層”，這里的“層”的意義也不同于“+1層”和“-1層”中的“層”的意義。因此，稍嚴(yán)格地說，樓層并不太適合作為引入負(fù)數(shù)的材料。但從教學(xué)實(shí)踐來看，這似乎并不影響學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)的理解）

三 “畫負(fù)數(shù)”是有局限性的

局限性一：有些負(fù)數(shù)之“畫”有形無實(shí)。

如上圖所示，這里畫的僅僅是一個(gè)包含有負(fù)數(shù)的情境（當(dāng)然，也包括對(duì)其中負(fù)數(shù)的某種程度上的定性理解，比如-5℃是一個(gè)比較低的溫度），但并不包括對(duì)其中負(fù)數(shù)的數(shù)量特征的理解。換言之，在此圖中，將-5換成-6，圖中其他內(nèi)容無須作任何改變。

局限性二：有些重要的負(fù)數(shù)是不太好畫的。

負(fù)數(shù)表示相反意義的量。其中0是非常重要的。一般來說，有兩種意義上的0：第一種，我暫且稱之為自然意義上的0，如不虧不賺（或虧賺相抵）為0，不收不支（或收支相抵）為0；另一種是人為設(shè)定的0，如描述溫度的0，描述海拔的0。客觀地說，在0的第一種意義下的正負(fù)數(shù)，更能體現(xiàn)相反意義的量。在這里，正負(fù)數(shù)是可以抵消的。虧損100元和盈利100元（即-100元和+100元）可以抵消。表示3月財(cái)務(wù)狀況的-100元和表示 4月財(cái)務(wù)狀況的+200元是可以做加法的，其和有明顯的意義。在0的第二種意義下的正負(fù)數(shù)，并不能很好地體現(xiàn)相反意義的量。在那里，正負(fù)數(shù)有時(shí)不能抵消。如表示昨天溫度的+5℃與表示今天溫度的-5℃不能相加。

畫負(fù)數(shù)，似乎不太好畫表示收與支、盈與虧這類相反意義的量中的負(fù)數(shù)。

若這一觀點(diǎn)有其合理成分，我們可否在畫負(fù)數(shù)之后，和學(xué)生一起討論一下不太好畫的負(fù)數(shù)？

（作者單位：湖南長(zhǎng)沙市教育科學(xué)研究院）