有圖有真相

金楊建

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有圖有真相

金楊建

一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）是我們初中階段學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù).從函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的角度看，這是一個(gè)二元一次方程，可以從解方程（組）的角度研究相關(guān)問(wèn)題.但一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的圖像又是一條經(jīng)過(guò)、（0，b）兩點(diǎn)的直線，因此，我們可以借助它的圖像，直觀、形象地解決許多問(wèn)題.

A. 1＜a＜2B. -2＜a＜0

C. -3≤a≤-2 D. -10＜a＜-4

圖1

圖2

解法一：本題可以從“交點(diǎn)在第四象限”這個(gè)條件入手.求出直線與直線y=a的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這個(gè)點(diǎn)在第四象限，得出不等式組進(jìn)一步得到答案a＜-3，所以，符合條件的選項(xiàng)是D.

解法二：直線y=a是一條平行于x軸的直線，不妨畫(huà)出這條直線（如圖2），顯然，只有當(dāng)直線y=a與y軸的交點(diǎn)Q在點(diǎn)B下方時(shí)，符合題意.此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），所以a＜-3，進(jìn)一步得到符合條件的選項(xiàng)是D.

【點(diǎn)評(píng)】解法一是代數(shù)方法，需要正確解方程組和解不等式組.而解法二是數(shù)形結(jié)合法，利用圖形的特征，快速得到答案.你認(rèn)為哪種方法簡(jiǎn)單呢？

下面，我們不妨對(duì)這道中考題進(jìn)行改編，看看你能不能快速、準(zhǔn)確地得到答案.

變式一直線l：y=-2x+4與直線x=a（a為常數(shù)）的交點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍是_______________.

提示：畫(huà)出直線l：y=-2x+4的圖像（如圖3，示意圖即可），與y軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）.直線x=a的圖像是一條平行于y軸的直線，當(dāng)這兩條直線的交點(diǎn)在第一象限時(shí)，即交點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)之間.所以，0＜a＜2.

圖3

圖4

有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)變式一特別簡(jiǎn)單？似乎數(shù)形結(jié)合的方法沒(méi)有太明顯的優(yōu)勢(shì).不要急，好戲在后頭！

變式二直線y=-2x+4與直線y=3x+ b（b為常數(shù)）的交點(diǎn)在第一象限，則b的取值范圍是_____________.

提示：畫(huà)出直線y=-2x+4的圖像（如圖4，示意圖即可），與y軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）.直線y=3x+b的圖像是一條從左往右向上的直線，隨著b的變化，直線的位置發(fā)生變化，但這些直線都互相平行.設(shè)直線y=3x+ b與y軸的交點(diǎn)為P（0，b），與x軸的交點(diǎn)為.當(dāng)P在A點(diǎn)下方，Q在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，符合題意.此時(shí)所以-6＜ b＜4.

當(dāng)然，本題也可以直接求出直線l：y= -2x+4與直線y=3x+b的交點(diǎn)（解方程組），然后根據(jù)交點(diǎn)在第一象限，求出b的范圍（解不等式組）.這種方法計(jì)算量有點(diǎn)大哦.而且因?yàn)楹凶帜竍，在解方程組時(shí)容易出錯(cuò).

于是，數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)點(diǎn)就顯現(xiàn)出來(lái)了：一、直觀——方便思考；二、簡(jiǎn)潔——計(jì)算量少.下面還有兩個(gè)變式，你看看用哪種方法解答比較方便呢？

變式三直線y=2x+4與直線y=-x+b （b為常數(shù)）的交點(diǎn)不可能在哪個(gè)象限（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式四直線l：y=-2x+4與直線y= kx-2（k為常數(shù)）的交點(diǎn)在第一象限，則k的取值范圍是________________.

你不妨和小伙伴們做個(gè)比賽，看看他們是如何解答變式三和變式四的，比比誰(shuí)的速度快，誰(shuí)的方法好.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）