江勇才

概念是思維的基本單位。由于概念的存在和應(yīng)用，人們可以對(duì)復(fù)雜實(shí)物做出簡(jiǎn)化、概括或分類的反應(yīng)；由于概念是在揭示了經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系，獲得了實(shí)物的本質(zhì)特征以后形成的，所以，概念增加了經(jīng)驗(yàn)的意義。概念將事物依其共同屬性而分類，依其屬性的差異而區(qū)別，因此，概念的形成可以幫助學(xué)生了解事物之間的從屬或相對(duì)關(guān)系。

數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)明、概括的反映，并且都由反映概念本質(zhì)特征的符號(hào)來(lái)表示，這些符號(hào)使數(shù)學(xué)比別的學(xué)科有更加簡(jiǎn)明、清晰、準(zhǔn)確的表述形式。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提，是學(xué)好定理、公式、法則和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握既是正確思維的前提，又是提高數(shù)學(xué)解題能力的必要條件。而數(shù)學(xué)概念形成的主要途徑可以說(shuō)是教學(xué)。

三角形的內(nèi)角和這一定理在初中的數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位，它是初中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)、最重要的內(nèi)容之一，是以后學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和的基礎(chǔ)，特別是現(xiàn)代生活中的“鑲嵌”，也離不開三角形的內(nèi)角和定理。學(xué)習(xí)它，特別是學(xué)習(xí)它的推理證明，可以發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)他們自主學(xué)習(xí)、合作探究、推理論證等能力。

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)生在遇到新概念時(shí)，總是先用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)去同化，如果獲得成功，就得到暫時(shí)的平衡；如果同化不成功，則會(huì)調(diào)節(jié)已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)或重新建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以順應(yīng)新概念，從而達(dá)到平衡。本文以“14.2（1）三角形的內(nèi)角和”為題目，說(shuō)說(shuō)我是怎樣依據(jù)學(xué)生概念學(xué)習(xí)的這種機(jī)制，利用新概念與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的差異來(lái)設(shè)置出相應(yīng)的教學(xué)情境，以使學(xué)生能夠意識(shí)到這種不平衡，從而引起學(xué)生的認(rèn)知需要，促使學(xué)生展開積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：（1）經(jīng)歷對(duì)三角形內(nèi)角和進(jìn)行猜測(cè)、說(shuō)理證實(shí)的研究過(guò)程，體會(huì)直觀感知與理性思考的聯(lián)系和區(qū)別，感受添加輔助線的依據(jù)；（2）掌握三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，能運(yùn)用這一性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的說(shuō)理計(jì)算。

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：感受輔助線生成的過(guò)程，證實(shí)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)。本節(jié)課是由實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何過(guò)渡，初步經(jīng)歷和體驗(yàn)幾何推理的過(guò)程。

作為幾何證明的重要組成部分，這節(jié)課所涉及的內(nèi)容對(duì)于幾何證明的學(xué)習(xí)顯得十分重要。其原因一方面在于，這是添加輔助線、進(jìn)行幾何證明的首次學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)此普遍感到困難；另一方面，這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》下的“幾何公理體系”第一次循環(huán)的綜合運(yùn)用，即“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的綜合應(yīng)用。

我認(rèn)為本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是證明三角形內(nèi)角和為180°的輔助線的添法。為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫的線叫作輔助線，輔助線通常畫成虛線。三角形的內(nèi)角和為180°，這個(gè)定理學(xué)生小學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)，而且用操作的方法進(jìn)行了初步的驗(yàn)證，因此，本節(jié)課主要是定理的證明。在證明的過(guò)程中，設(shè)置了一個(gè)小提示，“180°是在什么情況下出現(xiàn)的？你可以怎樣建構(gòu)？”由于剛剛學(xué)習(xí)過(guò)平行線，因此，學(xué)生多數(shù)都能聯(lián)想到兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；也能想到，平角為180°，學(xué)生有了初步的想法：添加平行線。然后我根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)安排了分組討論證明，學(xué)生經(jīng)過(guò)小組討論，一共獲得了如下幾種證明的方法：

方法1：作AD∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到∠C=∠DAC，∠B+∠BAD=180°，再根據(jù)等量代換，得∠BAC+∠B+∠C=180°。

方法2：過(guò)點(diǎn)A作ED∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得到∠C=∠DAC，∠B=∠EAB，再由等量代換和平角的意義從而得∠BAC+∠B+∠C=180°。

方法3：過(guò)點(diǎn)A作ED∥BC，延長(zhǎng)BA，根據(jù)直線平行同位角和內(nèi)錯(cuò)角相等，得到∠C=∠DAC，∠B=∠EAD再由等量代換和平角的意義，得∠BAC+∠B+∠C=180°。

方法4：過(guò)點(diǎn)A，B，C作AD∥BE∥CF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等則∠ACD=∠DAC，∠EBA=∠BAD，再由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

方法5：過(guò)點(diǎn)A，B，C作AD⊥BC，BE⊥BC，CF⊥BC，由垂直的意義，得到∠EBC=∠FCD=90°，再由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得∠ACF=∠DAC，∠EBA=∠BAD，最后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

此時(shí)，本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)自然突破，在探索的過(guò)程中，無(wú)論是優(yōu)等生還是學(xué)困生都獲得了極大的成功感，優(yōu)等生能掌握更多的方法，而學(xué)困生也能掌握一兩種。

學(xué)生在探索添加輔助線證明這一部分一共用了25分鐘，后面的練習(xí)題分配的時(shí)間就相對(duì)少了，但是筆者認(rèn)為，多種輔助線的添加，不僅鍛煉了學(xué)生的思維品質(zhì)，還培養(yǎng)了他們自主學(xué)習(xí)、合作探究、推理論證等能力。本節(jié)課中三角形內(nèi)角和的熟練掌握也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)打下了良好的基礎(chǔ)。

（作者單位：重慶市南川區(qū)南川中學(xué)東勝校區(qū)）