直線過定點(diǎn)方法值得推廣

張前晟

直線方程的求法是直線與直線方程這節(jié)課的重點(diǎn)，而直線過定點(diǎn)問題則是難點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]、[2]中對其應(yīng)用做了總結(jié)。兩文中都提到了這一方法在直線與圓相交時(shí)，求解直線方程的應(yīng)用。最近，筆者在學(xué)生課堂探究的過程中對直線過定點(diǎn)方法有了一些收獲與思考，愿與同行分享。

[題目]例1.設(shè)：直線l的方程為若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求直線l的方程。

分析：這是一道典型的直線方程求解問題，核心是利用題目中所給的等量關(guān)系待定出字母k的值。

令x=0時(shí)，y=k-2;令y=0時(shí)，

截距相等，則解得：k1=0或k2=2

∴l(xiāng)的方程為x+y+2=0或3x+y=0

[探究]這種方法很常規(guī)，同學(xué)們也很容易想到，最后轉(zhuǎn)化為解方程的問題不難處理。另一方面，解析幾何與平面幾何聯(lián)系緊密。一般的，含有字母的直線方程都表示一個(gè)直線系，從幾何角度上看隱含著一個(gè)定點(diǎn)，即謂定點(diǎn)問題。于是，筆者就地取材，出變式如下：

[變式]設(shè)：直線l的方程為，則直線必過定點(diǎn)（1，-3）。

用代數(shù)方法研究幾何問題是解析幾何的基本方法，反之根據(jù)代數(shù)式探究其幾何意義卻少有訓(xùn)練。筆者本想借用變式的幾何意義給同學(xué)們加以強(qiáng)化，此時(shí)便有學(xué)生對上述題目提出了新的解法。

解法二：由題意知，直線過定點(diǎn)（1，-3），因此題目可以轉(zhuǎn)化為：已知直線l過點(diǎn)（1，-3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線方程。我們可以用待定系數(shù)法求解：

①直線的截距為0時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx，將點(diǎn)（1，-3）代入得k=-3

∴直線l的方程為y=-3x，即3x+y=0

②直線截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為：將點(diǎn)（1，-3）代入可求得a=-2

∴直線l的方程為x+y+2=0

綜上，l的方程為x+y+2=0或3x+y=0

對直線過定點(diǎn)方法又有同學(xué)稍加改變，從斜率方面考慮形成另一種解法。

解法三：分情況討論，

②直線的截距為0時(shí)，同解法二;

③直線的截距不為0時(shí)，設(shè)直線與x，y軸分別交于點(diǎn)（a，0）和（0，a），則：（a≠0）

∴直線l的方程為y+3=-（x-1），即x+y+2=0。

[推廣]學(xué)生各抒己見的活躍氣氛使筆者產(chǎn)生好奇，直線過定點(diǎn)方法在已知截距關(guān)系求直線方程中是不是一般意義都成立呢？為此，我們進(jìn)一步進(jìn)行探究。

例2.設(shè)：直線l的方程為（4n+3m）x+（2n-m）y-n+3m=0（m，n∈R）若l在兩坐標(biāo)軸上截距之和為2，求直線l的方程。

解法一：由題得：直線的截距之和為2，則

解得：n1=0或n2=-2m

∴l(xiāng)的方程為3x-y+3=0或x+y-1=0

解法二：整理直線方程為：n（4x+2y-1）+m（3x-y+3）=0即直線過定點(diǎn)。

由題意可設(shè)：直線的方程為;將點(diǎn)帶入有，a=±1。

∴l(xiāng)的方程為3x-y+3=0或x+y-1=0

例3.設(shè)：直線l的方程為若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求直線l的方程。

解法一：由題得：直線的截距相等，則

化簡得：解得：m=2∴l(xiāng)的方程為x+2y=0

解法二：整理直線方程為：即直線過定點(diǎn)（-2，1）

①直線的截距為0時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx將點(diǎn)（-2，1）帶入則，

∴直線l的方程為x+2y=0

②直線的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為將點(diǎn)（-2，1）帶入則，a=-1

∴直線l的方程為x+y+1=0

綜上，l的方程為x+y+1=0或x+2y=0

[反思]在例1與例2中用基本方法和過定點(diǎn)方法獲得的答案一致，最后例3中兩種解法卻產(chǎn)生了差異。顯然解法一由題設(shè)出發(fā)，最終解方程得到結(jié)果，這個(gè)答案最為準(zhǔn)確。解法二雖然由已知條件得到了定點(diǎn)，而直線需要一點(diǎn)加一斜率才可確定。問題恰恰出在了斜率的取值范圍上。

檢驗(yàn)：由l的方程有：。

由m與k的圖像（如下圖）可知，當(dāng)k=-1

時(shí)取不到，所以情況二答案應(yīng)舍去。

圖1

[小結(jié)]由上述討論我們可以看出，在以上的一

類題目中，用已知條件中的等量關(guān)系得到方程求解是通用方法。不論題目變到多么復(fù)雜該方法均可得到正確答案，難度來源于解方程的運(yùn)算技巧。

對形如等參數(shù)為1次的直線系方程，因?yàn)樾甭蔾的范圍無限制，所以兩類方法都沒有限制，過定點(diǎn)方法比基本方法計(jì)算量相當(dāng)或稍小。而在一些復(fù)雜的直線系方程中，除了隱含有定點(diǎn)之外，還有斜率范圍的限制，需考慮全面。計(jì)算量和難度都比基本方法要大。

參考文獻(xiàn)

[1]鄧昌驥.直線過定點(diǎn)的判斷和應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2002（12）

[2]袁擁軍.巧用直線過定點(diǎn)的方法解題[J].數(shù)學(xué)大世界（高中生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)版），2005（10）：17-18