姚貴豐郭桂芳

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“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）”教學(xué)設(shè)計(jì)

姚貴豐郭桂芳

教材分析

教材內(nèi)容：本節(jié)課是人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章第四節(jié)“生活中的優(yōu)化問題舉例”第一課時(shí)，主要內(nèi)容是用導(dǎo)數(shù)求生活中面積、體積的最值問題。

地位和作用：生活中的優(yōu)化問題是在導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)求極值、最值等內(nèi)容的基礎(chǔ)上教學(xué)的，它既是對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固，也是導(dǎo)數(shù)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。本節(jié)課以生活實(shí)例為題材，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和建模意識(shí)。學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知沖突，不同思維的碰撞，易激發(fā)學(xué)生思維的積極性，有助于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

學(xué)情分析：學(xué)生剛學(xué)完導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算、用導(dǎo)數(shù)求極值、最值等知識(shí)，為用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的問題創(chuàng)造了條件。高二年級(jí)的學(xué)生正值身心發(fā)展的鼎盛時(shí)期，思維活躍，并有相應(yīng)的認(rèn)知基礎(chǔ)，樂于探索、敢于探究。但邏輯思維能力還屬于經(jīng)驗(yàn)型，運(yùn)算能力不強(qiáng)，數(shù)學(xué)建模方法的運(yùn)用還不夠熟練，有待進(jìn)一步加強(qiáng)訓(xùn)練。

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握利用函數(shù)思想、導(dǎo)數(shù)方法求有關(guān)面積、體積的最值問題。

過程與方法：以日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐中典型的問題為載體，探討利用函數(shù)思想、導(dǎo)數(shù)方法求面積和體積問題的應(yīng)用。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：學(xué)生分享將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)樂趣，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)模型，用導(dǎo)數(shù)方法求解函數(shù)最值問題的程序化步驟。

難點(diǎn)：對(duì)最值、最值與極值概念的區(qū)別與聯(lián)系的理解。

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入

以本班學(xué)生參加元旦匯演的圖片引入。K1303舉行了2016年的元旦迎新活動(dòng)，數(shù)學(xué)興趣小組就活動(dòng)前的海報(bào)設(shè)計(jì)和活動(dòng)后海報(bào)的再利用進(jìn)行了如下課題探究活動(dòng)。下面我們一起再現(xiàn)他們的活動(dòng)過程。

設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生成功的活動(dòng)經(jīng)歷引入，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、活動(dòng)設(shè)計(jì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

探究一：如果海報(bào)為如下圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm。若海報(bào)版心高為xdm，

1.求四周空白面積關(guān)于x的函數(shù)解析式；

2.求四周空白面積最小值。

探究二：若海報(bào)材料用的是長20dm、寬10dm的長方形硬紙板，活動(dòng)結(jié)束后，興趣小組準(zhǔn)備將海報(bào)做成廢品收集箱進(jìn)行再利用。如下圖所示，從長方形紙板的4個(gè)角上分別切去面積相等的正方形，再把紙板的邊沿虛線折起，用膠粘好，做成一個(gè)無蓋的長方體箱子。問廢品收集箱底面的長、寬分別是多少時(shí)，其容積最大，最大容積是多少。

探究三：興趣小組將另外兩張廢棄海報(bào)用膠紙拼成如下圖所示的邊長為20dm的正方形ABCD，切去陰影部分所示的4個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得4個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xdm。

（1）包裝盒要顯得更大氣，因而要增大包裝盒的側(cè)面積。試問x取何值時(shí)，包裝盒的側(cè)面積S（dm2）最大？

（2）另一同學(xué)認(rèn)為包裝盒要更適用，因而要使包裝盒的容積最大。但限于某種原因，x∈（0，c]，（c∈（0，10]的常數(shù)），試問x應(yīng)取何值時(shí)，包裝盒容積V （dm3）最大？并求其最大值。

（3）先學(xué)后教，以學(xué)定教

教師讓學(xué)生欣賞元旦匯演的圖片后，引入探究一。學(xué)生思考后進(jìn)行解答。觀察到學(xué)生用基本不等式求解面積最值時(shí)，教師抓住契機(jī)提出問題，引入導(dǎo)數(shù)作為工具，求面積、體積的最值。教學(xué)探究三時(shí)，教師讓學(xué)生先分組討論，然后概括思路，再由學(xué)生作答。教師通過實(shí)物投影儀當(dāng)堂評(píng)價(jià)，并就學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題進(jìn)行現(xiàn)場講評(píng)，做到舉一反三。

三、練習(xí)鞏固，融會(huì)貫通

教師設(shè)計(jì)了兩組檢測題，學(xué)生根據(jù)各自的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)自主選擇，力求做到人人可檢測，個(gè)個(gè)有收獲。

A組

1.用長為20cm的鐵絲圍成兩個(gè)正方形，若其中一個(gè)邊長為xcm，設(shè)兩個(gè)正方形的面積之和S=f（x），則正確的是（ ）。

A.f（x）的定義域是[0，5]

B.f（x）=x2+（5-x）2（0＜x＜5）

2.要做一個(gè)底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為72cm3，底面兩鄰邊邊長之比為1：2，則它的長為_____，寬為_____，高為_____時(shí)，表面積最小。

B組

1.把長為100cm的鐵絲分成兩段，圍成一個(gè)正方形與一個(gè)圓，那么怎樣分，能使它們的面積之和最??？

2.請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？

四、總結(jié)反思，提升經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生談?wù)剬?duì)這節(jié)課的收獲，教師利用學(xué)生的反饋，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)反思，及時(shí)提升經(jīng)驗(yàn)。

（作者單位：長沙市第二十一中學(xué)）