覃玉榮，黃冬麗，林　浩

(廣西大學(xué)計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院， 廣西南寧530004)

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直流電場(chǎng)作用下心肌細(xì)胞膜電位計(jì)算模型

覃玉榮，黃冬麗，林浩

(廣西大學(xué)計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院， 廣西南寧530004)

摘要：為研究直流電場(chǎng)作用對(duì)單心肌細(xì)胞膜電位變化的影響，基于電磁場(chǎng)理論和分離變量法，建立了單心肌細(xì)胞在直流電場(chǎng)作用下的膜電位計(jì)算模型。模型表明：對(duì)于心肌細(xì)胞膜上某點(diǎn)P，其膜電位變化與外電場(chǎng)強(qiáng)度、細(xì)胞橫截面外膜半徑、該點(diǎn)極徑和外電場(chǎng)夾角的余弦值成正比。計(jì)算模型的建立為研究心肌細(xì)胞的電磁生物效應(yīng)機(jī)理提供很有意義的理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：直流電場(chǎng)；心肌細(xì)胞；膜電位；計(jì)算模型

隨著各類家用電器、移動(dòng)通信等設(shè)備的普及，電磁環(huán)境日趨惡化。人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦薪佑|的環(huán)境電磁場(chǎng)越來越復(fù)雜，這些電磁場(chǎng)是否會(huì)影響人類健康和壽命？這是全球極度關(guān)注的問題。眾多研究表明電磁場(chǎng)作用可影響生物的心血管系統(tǒng)等[1-4]。目前人群中高血壓、冠心病等心血管疾病的患病率越來越高，連被譽(yù)為“世界長(zhǎng)壽之鄉(xiāng)·中國(guó)人瑞圣地”的廣西巴馬縣，情況亦是如此。在1990年以前，巴馬老人患心血管疾病的比例頗低，這可能是他們健康長(zhǎng)壽的一個(gè)重要原因[5]。但隨著人們使用家電及通信設(shè)備數(shù)量的增多，巴馬老人患心血管疾病的比例也在不斷提高[6-7]。影響人群長(zhǎng)壽的可能因素有遺傳、居住環(huán)境的空氣負(fù)離子、飲食習(xí)慣等，但日益惡化的電磁環(huán)境也是不容忽略的一個(gè)重要因素[8-11]。心臟作為人體的發(fā)動(dòng)機(jī)，其興奮機(jī)能主要以心肌細(xì)胞的電變化為基礎(chǔ)。外電場(chǎng)刺激使心肌細(xì)胞的跨膜電位發(fā)生變化，改變了細(xì)胞膜的離子選擇通透性，造成離子跨膜運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致心肌細(xì)胞的電生理活動(dòng)變化，從而引起一系列有益或有害于人們身體的生物效應(yīng)。因此，研究外電場(chǎng)刺激下心肌細(xì)胞跨膜電位的變化規(guī)律很有意義。建立外電場(chǎng)中心肌細(xì)胞膜電位變化計(jì)算模型，將為人們探索心肌細(xì)胞的電磁效應(yīng)機(jī)理奠定必要的理論基礎(chǔ)。

處于外加直流電場(chǎng)中的球形細(xì)胞膜電位計(jì)算模型已被人們熟知[12-13]，然而對(duì)于圓柱形心肌細(xì)胞在外電場(chǎng)作用下膜電位變化的計(jì)算模型，目前未見報(bào)道。本文將在建立心肌細(xì)胞的物理模型基礎(chǔ)上，根據(jù)電磁場(chǎng)理論及分離變量法，推導(dǎo)直流電場(chǎng)作用下單心肌細(xì)胞膜電位變化的計(jì)算模型，揭示外直流電場(chǎng)對(duì)心肌細(xì)胞膜電位變化的影響規(guī)律。

1直流電場(chǎng)作用下圓柱形心肌細(xì)胞膜電位計(jì)算模型的建立

圖1　處于外加直流電場(chǎng)中的心肌細(xì)胞橫截面示意圖Fig.1　A diagram illustrating a cross-sectional view of a myocardial cell exposed to a direct current electric field

心肌細(xì)胞大致呈圓柱形，其直徑遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度，因此本文將心肌細(xì)胞等效為一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)圓柱體。圖1為處于直流電場(chǎng)中的心肌細(xì)胞物理模型橫截面圖，以細(xì)胞膜為邊界分成三個(gè)區(qū)域，假設(shè)各區(qū)域?yàn)榫鶆蚯腋飨蛲缘模瑘D中Ri和Re分別表示細(xì)胞內(nèi)、外膜半徑；r≤Ri為細(xì)胞質(zhì)區(qū)域，其電導(dǎo)率為σi；Ri≤r≤Re區(qū)域代表細(xì)胞膜，其電導(dǎo)率為σm；r≥Re對(duì)應(yīng)細(xì)胞膜外液，電導(dǎo)率為σe。

如圖1建立圓柱坐標(biāo)系，E0=exE0為外加直流電場(chǎng)，φ是外加電場(chǎng)矢量和場(chǎng)點(diǎn)極徑的夾角。假設(shè)無(wú)限長(zhǎng)圓柱形心肌細(xì)胞的軸與z軸重合，因此其標(biāo)量電位分布函數(shù)不含變量z。若用φi(ρ,φ)、φm(ρ,φ)和φe(ρ,φ)分別表示細(xì)胞質(zhì)、細(xì)胞膜和細(xì)胞外液的標(biāo)量電位，則各標(biāo)量電位滿足二維Laplace方程：

2φi(ρ,φ)=0,ρ≤Ri,

(1)

2φm(ρ,φ)=0,Ri≤ρ≤Re,

(2)

2φe(ρ,φ)=0,ρ≥Re,

(3)

標(biāo)量電位φ(ρ,φ)應(yīng)滿足的邊界條件為:

φi(0,φ)為有限值,ρ=0,

(4)

φe(ρ,φ)→φ0(ρ,φ)=-E0ρcosφ,ρ→∞,

(5)

(6)

(7)

由于電場(chǎng)E0關(guān)于x軸對(duì)稱，電位φ(ρ,φ)是φ的偶函數(shù)，所以根據(jù)分離變量法推導(dǎo)出心肌細(xì)胞模型中各標(biāo)量電位的通解只有余弦分量，即通解為：

(8)

由邊界條件可知，式(8)中n只能取1，則心肌細(xì)胞模型中各區(qū)域的電位分別為：

φi(ρ,φ)=Aρcosφ,ρ≤Ri,

(9)

φm(ρ,φ)=(Bρ+Cρ-1)cosφ,Ri≤ρ≤Re,

(10)

φe(ρ,φ)=(-E0ρ+Dρ-1)cosφ,ρ≥Re,

(11)

其中A、B、C、D為待定系數(shù)。代入邊界條件式(6)和式(7)，消去cosφ，可得到:

(12)

(13)

(14)

(15)

故心肌細(xì)胞模型中細(xì)胞質(zhì)、細(xì)胞膜和細(xì)胞外液的電位分別為:

(16)

(17)

(18)

其中:

k1=(σi+σm)(σe+σm)-(σi-σm)(σe-σm)Ri2/Re2，

(19)

k2=(σi-σm)(σe+σm)Ri2-(σi+σm)(σe-σm)Re2,

(20)

因此，在外直流電場(chǎng)作用下心肌細(xì)胞膜電位的變化為Δφm，即細(xì)胞內(nèi)外膜上的膜電位差：

Δφm=φm(Ri,φ)-φm(Re,φ)=

(21)

一般而言，細(xì)胞膜的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于細(xì)胞質(zhì)和細(xì)胞外液的電導(dǎo)率(細(xì)胞電穿孔情況除外)，故式(21)中細(xì)胞膜電導(dǎo)率可忽略不計(jì)(即σm=0)，則式(21)可簡(jiǎn)化為：

Δφm=2ReE0cosφ,

(22)

式(22)為單心肌細(xì)胞在外直流電場(chǎng)作用下膜電位變化的計(jì)算模型。其中E0表示直流電場(chǎng)的大小，Re對(duì)應(yīng)心肌細(xì)胞橫截面的外膜半徑，φ為直流電場(chǎng)矢量和場(chǎng)點(diǎn)極徑的夾角。

2討論

本文首先建立了單心肌細(xì)胞的物理模型，并基于該模型應(yīng)用電磁場(chǎng)理論和分離變量法推導(dǎo)出單心肌細(xì)胞在外直流電場(chǎng)作用下膜電位變化的計(jì)算模型。從模型可知：心肌細(xì)胞膜電位變化與外電場(chǎng)大小、心肌細(xì)胞橫截面外膜半徑以及電場(chǎng)矢量和場(chǎng)點(diǎn)極徑夾角的余弦值成正比。相同的外加直流電場(chǎng)作用下，同一心肌細(xì)胞膜電位隨極角而變，當(dāng)極角為0°、360°時(shí)，外電場(chǎng)引起的膜電位變化值最大；當(dāng)極角為90°和270°時(shí)，膜電位變化值為零。

心肌細(xì)胞包括兩類：工作心肌細(xì)胞和具有自律性、起搏功能的心肌細(xì)胞。前者的靜息電位約在-95 mV到-40 mV之間取值；后者因?yàn)橛凶月苫顒?dòng)(自動(dòng)去極)而不存在靜息狀態(tài)，其最大極化狀態(tài)時(shí)的膜電位值為最大舒張電位。在外加電場(chǎng)的作用下，心肌細(xì)胞膜電位為:

Um=Uo+Δφm,

(23)

在式(23)中，Uo為工作心肌細(xì)胞的靜息電位或者是自律等心肌細(xì)胞的最大舒張電位。不論是哪一類心肌細(xì)胞，外電場(chǎng)強(qiáng)度作用將使其膜上的電壓依賴性離子通道開放而導(dǎo)致跨膜電位變化。如果一定強(qiáng)度的外電場(chǎng)作用使心肌細(xì)胞膜電位變化超過其閾值，則引起心肌細(xì)胞興奮而產(chǎn)生動(dòng)作電位并傳導(dǎo)，由此引發(fā)對(duì)人體有益或有害的正負(fù)效應(yīng)。

本文主要探索單心肌細(xì)胞膜電位在外直流電場(chǎng)作用下的變化規(guī)律。由于心臟由多個(gè)心肌細(xì)胞構(gòu)成，在外直流電場(chǎng)作用下，每個(gè)心肌細(xì)胞的電特性可等效為一電偶極子，各等效電偶極子間的相互作用使空間電場(chǎng)變化復(fù)雜化，也使得每個(gè)心肌細(xì)胞膜電位的變化有別于單細(xì)胞情況，因此各心肌細(xì)胞間的相互影響是研究外直流電場(chǎng)作用下多心肌細(xì)胞系統(tǒng)需要考慮的一個(gè)重要因素。

3結(jié)論

本文根據(jù)電磁場(chǎng)理論和分離變量法，建立了單心肌細(xì)胞在直流電場(chǎng)作用下膜電位變化的計(jì)算模型。模型表明心肌細(xì)胞膜電位的變化與外電場(chǎng)大小成正比；與心肌細(xì)胞橫截面外膜半徑成正比；與外加直流電場(chǎng)和場(chǎng)點(diǎn)極徑的夾角的余弦值成正比。心肌細(xì)胞膜電位在外電場(chǎng)作用下發(fā)生變化，當(dāng)膜電位變化超過一定閾值時(shí)將導(dǎo)致細(xì)胞產(chǎn)生動(dòng)作電位而引發(fā)心肌細(xì)胞的一系列電生理和生化活動(dòng)。本文所建立的計(jì)算模型為更好研究心肌細(xì)胞的電磁生物效應(yīng)機(jī)理提供有意義的理論依據(jù)。

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(責(zé)任編輯梁碧芬)

收稿日期：2015-12-01；

修訂日期：2016-01-22

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61161009)；廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013GXNSFAA019341)

通訊作者：覃玉榮(1965—)，女，廣西河池人，廣西大學(xué)教授，博士研究生導(dǎo)師；E-mail: qyr111@163.com。

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0822

中圖分類號(hào)：TN99

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào)：1001-7445(2016)03-0822-04

A computational model for transmembrane potential on a myocardial cell exposed to a DC electric field

QIN Yu-rong， HUANG Dong-li，LIN Hao

(School of Computer, Electronics and Information, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Abstract:According to the electromagnetic theory and the method of variable separation, a computational model is built to research the influence of the intensity of the direct current electric filed on the transmembrane potential of a single myocardial cell. The model shows that the potential on the transmembrane of the myocardial cell exposed to a direct current electric field increases with the increase of the electric field intensity, the outer membrane radius of the cross section of the myocardial cell and cosφ (φ is the polar angle between the direction of the electric field and the radial coordinate). The model provides a significant theoretical basis for the study on the mechanism of electromagnetic bio-effects on myocardial cells.

Key words:DC electric fields; myocardial cells; transmembrane potential; analytical solution

引文格式： 覃玉榮，黃冬麗，林浩.直流電場(chǎng)作用下心肌細(xì)胞膜電位計(jì)算模型[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，41(3)：822-825.