應(yīng)用數(shù)字高程模型計(jì)算土方量的誤差估計(jì)

崔晨耕

（西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子工程學(xué)院，陜西　西安　710089）

應(yīng)用數(shù)字高程模型計(jì)算土方量的誤差估計(jì)

崔晨耕

（西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子工程學(xué)院，陜西西安710089）

數(shù)字高程模型（DEM）是在一定范圍內(nèi)通過(guò)規(guī)則格網(wǎng)點(diǎn)描述地面高程信息的數(shù)據(jù)集，用于反映區(qū)域地貌的空間部分，它是國(guó)家基礎(chǔ)地理信息數(shù)字成果的主要組成部分。DEM作為地球表面地形的數(shù)字描述和模擬已成為空間數(shù)據(jù)基礎(chǔ)設(shè)施和“數(shù)字地球”的重要組成部分，已成為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)產(chǎn)品，并越來(lái)越廣泛地被用來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)地形圖中等高線對(duì)地形的描述。傳統(tǒng)測(cè)繪產(chǎn)品的質(zhì)量評(píng)價(jià)體系不能保證合理地對(duì)DEM產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量評(píng)價(jià)，文章通過(guò)對(duì)應(yīng)用數(shù)字高程模型計(jì)算土方量的誤差分析，對(duì)DEM的誤差進(jìn)行了研究并詳細(xì)推導(dǎo)出誤差計(jì)算公式，對(duì)土方量計(jì)算的誤差分析具有重要的意義。

DEM；土方量；誤差估計(jì)；誤差分析

0　引言

DEM最早應(yīng)用于土木工程領(lǐng)域，可大量節(jié)省內(nèi)外業(yè)工作量，所有計(jì)算由計(jì)算機(jī)完成，能使估算過(guò)程達(dá)到自動(dòng)化和規(guī)范化。準(zhǔn)確的土方量計(jì)算無(wú)疑會(huì)提高作業(yè)的效率，最終獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，工程單位愈加注意計(jì)算所得土方量的誤差大小，可為生產(chǎn)實(shí)踐提供科學(xué)合理的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。傳統(tǒng)的土方量計(jì)算方法有多種，常用的有斷面法、方格網(wǎng)法、散點(diǎn)法和表格法。每種方法都有它的不足之處，總體來(lái)講就是數(shù)據(jù)采集方式機(jī)械且繁瑣，數(shù)據(jù)采集量大，對(duì)實(shí)際地面的起伏變化描述不能夠滿足精度要求等。由于其存在著諸多缺點(diǎn)，進(jìn)而導(dǎo)致最終所建立的模型失真，這也就使得最后所計(jì)算出來(lái)的結(jié)果不能滿足高精度土方量計(jì)算的要求。就目前的土方量計(jì)算研究現(xiàn)狀，本論述對(duì)數(shù)字高程模型計(jì)算土方量計(jì)算進(jìn)行誤差估計(jì)。

1　土方量計(jì)算的基本原理

土方量計(jì)算有給定設(shè)計(jì)標(biāo)高和不給定設(shè)計(jì)標(biāo)高兩種：后者是指對(duì)于一個(gè)區(qū)域，進(jìn)行場(chǎng)地平整時(shí)，不對(duì)外產(chǎn)生挖、填方量，可用程序計(jì)算場(chǎng)地平整后的標(biāo)高和繪制挖填平衡線。給定設(shè)計(jì)標(biāo)高又分兩種：一種是設(shè)計(jì)標(biāo)高固定，設(shè)計(jì)平面為水平面；另一種是設(shè)計(jì)標(biāo)高是變動(dòng)的，設(shè)計(jì)平面為一個(gè)傾斜面或幾個(gè)傾斜面的組合，均可用程序建立設(shè)計(jì)面的平面方程，用設(shè)計(jì)平面與數(shù)字高程模型相切，計(jì)算每個(gè)格網(wǎng)內(nèi)的方量，匯總得到整個(gè)區(qū)域的挖、填方量和總方量。由DEM來(lái)計(jì)算土方量是根據(jù)實(shí)地測(cè)定的地面點(diǎn)坐標(biāo)和設(shè)計(jì)高程，通過(guò)生成三角網(wǎng)來(lái)計(jì)算每一個(gè)三棱柱的填挖方量，最后累計(jì)得到指定范圍內(nèi)填方和挖方的土方量。如果將DEM視為空間的曲面，填挖前后的兩個(gè)DEM即為兩個(gè)空間曲面，那么計(jì)算機(jī)便可以自動(dòng)計(jì)算兩個(gè)曲面的交線，也可以用一個(gè)鉛垂面同時(shí)對(duì)兩個(gè)曲面任意切割，并計(jì)算夾在兩個(gè)切割下來(lái)的曲面間的空間體積，實(shí)際上就是土方計(jì)算的填挖交界線、填方量和挖方量。

實(shí)踐中應(yīng)用較多的是規(guī)則格網(wǎng)DEM，為了方便，討論較多的是在規(guī)則格網(wǎng)情況下土方量的量算及誤差估計(jì)。在規(guī)則格網(wǎng)DEM情況下DEM體積由四棱柱體積進(jìn)行累加得到，四棱柱體上表面用雙曲拋物面擬合。曲面的平均高程為：，其中a為格網(wǎng)邊長(zhǎng)。ZP可由雙線性內(nèi)插求得。

ZA、ZB、ZC、ZD為格網(wǎng)四個(gè)角的高程。于是積分可得，得到后可計(jì)算挖填方量

S為四棱柱的底面積，H為我們要達(dá)到挖填后的平面的高程。

2　土方量的誤差估計(jì)

土方量總體估計(jì)中存在兩類誤差：

（1）由于地形的復(fù)雜性引起的對(duì)平均高程估計(jì)的誤差；

（2）由于底面邊界的不確定性引起的誤差。

2.1對(duì)總體平均高程估計(jì)的誤差分析

分析雙線性建模過(guò)程中的誤差傳播及線性表達(dá)地形導(dǎo)致的精度損失，可得到以下公式：

2.1.2平均高程誤差的總體估計(jì)

i．對(duì)研究域V的平均高程Z（V）的總體估計(jì)。

ii．總體估計(jì)方差

在規(guī)則格網(wǎng)情況下有：

故（2）式為

2.1.3兩點(diǎn)說(shuō)明

i．公式（3）為近似估計(jì)，當(dāng)N較大時(shí)近似程度較好。通常進(jìn)行土石方量算時(shí)該條件可以滿足。

ii．公式（3）為總體估計(jì)方差不同于概率統(tǒng)計(jì)中的樣本平均數(shù)的方差。

2.2底面面積估計(jì)的誤差分析

2.2.1面積S的總體估計(jì)

令k（x）為待估面積的指示函數(shù)

s為待估區(qū)域，x為二維空間的點(diǎn)

圖1　數(shù)字高程格網(wǎng)

有面積的估計(jì)量為

p1，p2為網(wǎng)格序數(shù)，（X01，X02）為坐標(biāo)原點(diǎn)，見(jiàn)圖1所示。若用N（x0）表示的格網(wǎng)數(shù)目，面積的估計(jì)量為

2.2.2S的總體估計(jì)方差

由公式（4）可知S的估計(jì)量S*（x0）是依賴于x0的位置的，對(duì)于每一個(gè)新的網(wǎng)格原點(diǎn)，都有一個(gè)相應(yīng)的S的估計(jì)量。所以確定估計(jì)量誤差的一個(gè)可能途徑就是算出當(dāng)網(wǎng)格原點(diǎn)X0在基本格網(wǎng)面積a2中取各種可能位置時(shí)的平均值?？捎洖?/p>

容易證得S*（x0）的數(shù)學(xué)期望就是S，于是公式（5）進(jìn)行轉(zhuǎn)化并簡(jiǎn)寫(xiě)為一維的形式

運(yùn)用公式（5）對(duì)公式（8）進(jìn)一步進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得

1.96σS=1.96*1.14273*a2≈2

所以面積S的置信度為95%的置信區(qū)間為［20*a2，24*a2］。

2.3土方量的總體估計(jì)方差

由土方量計(jì)算公式V=S*（H-m）S為底面面積，H為平均高程，并假設(shè)兩者不相關(guān)。根據(jù)方差協(xié)方差傳播律有為平均高程誤差的總體估計(jì)方差，為底面面積總體估計(jì)的方差。S可用S*近似代替，H可用近似代替。

3　結(jié)束語(yǔ)

基于DEM的土方量計(jì)算實(shí)現(xiàn)了土方量計(jì)算的計(jì)算機(jī)自動(dòng)化，通過(guò)軟件可以針對(duì)不同地形生產(chǎn)各種DEM產(chǎn)品，且誤差都符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的要求，但不同軟件對(duì)于不同地形在精度上存在一定的差異。所以在計(jì)算土方量時(shí)，必須根據(jù)實(shí)際情況，選擇合適的DEM產(chǎn)品。

通過(guò)分析我們可以得知土方量總體估計(jì)誤差取決于以下幾個(gè)方面的因素：

（1）原始數(shù)據(jù)的精度，采點(diǎn)密度（格網(wǎng)大?。?；

（2）地形的復(fù)雜度；

（3）內(nèi)插方法的選擇；

（4）要進(jìn)行挖填地的底面曲線的復(fù)雜度。

對(duì)應(yīng)用規(guī)則格網(wǎng)DEM進(jìn)行土方量計(jì)算在實(shí)踐中已應(yīng)用很廣泛，但對(duì)其進(jìn)行誤差分析并不多見(jiàn)，所以針對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)的探討是有實(shí)踐和理論意義的。

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TU751

A

10.3969/j.issn.1672-6375.2016.07.028

2016-4-9

崔晨耕 （1980-），男，漢族，陜西楊凌人，碩士，講師，主要研究方向：建筑智能化、航空攝影測(cè)量與遙感。