自旋-1/2算符對易關系和中心庫侖場定態(tài)粒子概率密度的討論

林　炯，陳　軍，高偉康

（華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東　廣州　510006）

自旋-1/2算符對易關系和中心庫侖場定態(tài)粒子概率密度的討論

林炯，陳軍，高偉康

（華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東廣州510006）

從Stern-Gerlach實驗及其兩個拓廣實驗出發(fā)，結合量子力學假設，給出了自旋-1/2算符對易關系的一種導出方法。每個方向的自旋本征態(tài)均構成Hilbert空間完備基，可用完全性關系將x、y、z三個方向自旋-1/2算符用相應本征態(tài)表示出來。接著通過兩個拓廣實驗可初步確定x、y方向自旋本征態(tài)與z方向自旋本征態(tài)的關系。進一步各算符可表示成只含有z方向自旋本征態(tài)。通過Hilbert空間態(tài)矢間的運算法則，最終可得到三個方向間自旋-1/2算符對易關系。另外一個問題，對于中心庫侖場含時定態(tài)波函數(shù)對應的概率密度出現(xiàn)空間不對稱情況，通過對比庫侖場經典解，發(fā)現(xiàn)經典系統(tǒng)粒子初速度已經破壞了系統(tǒng)空間對稱性。對應到量子系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)初態(tài)概率密度空間不對稱是其原因。

自旋-1/2；對易關系；中心庫侖場；概率密度；空間不對稱

0　引言

討論自旋-1/2時，一般將對易關系和實驗結果作為出發(fā)點［4］。實驗與對易關系的聯(lián)系很少被討論。從實驗出發(fā)，結合量子力學假設，可給出自旋-1/2算符對易關系。另一方面，對于中心庫侖場定態(tài)波函數(shù)對應概率密度出現(xiàn)空間不對稱，給出一種解釋。

1　自旋-1　/2　算符對易關系一種導出方法

1.1量子力學測量理論

1.2自旋-1/2算符對易關系的導出

1.2.1Stern-Gerlach實驗［4］

從K極射出的s態(tài)氫原子進入不均勻磁場，在照片上出現(xiàn)兩條強度相等的分立線。s態(tài)氫原子角量子數(shù)為0不可能引起線分立。為解釋此類現(xiàn)象，引入自旋角動量。

1.2.2對易關系的導出

δ1是任意相因子。對于，考慮到與應正交，則：

δ2為任意相因子。

由（1）式，x、y方向自旋-1/2算符：

（4）由（2）（9）式，可得自旋-1/2算符對易關系：

2　中心庫侖場定態(tài)波函數(shù)解對應概率密度的空間不對稱問題

2.1中心庫侖場含時定態(tài)波函數(shù)解

單粒子處于中心庫侖場（場源電荷量）相應定態(tài)Schr?dinger方程為：

則含時定態(tài)波函數(shù)為：

2.2定態(tài)概率密度角分布現(xiàn)象

t時刻定態(tài)粒子概率密度即時刻t測量到粒子出現(xiàn)在某空間點單位體積內的概率為?？梢宰C明，當粒子角量子數(shù)l≥1，，即定態(tài)粒子概率密度

出現(xiàn)角分布現(xiàn)象。

2.3空間對稱性

若對系統(tǒng)進行X操作，系統(tǒng)狀態(tài)不變，則系統(tǒng)在X操作下具有對稱性。中心庫侖場對繞過原點任意軸旋轉操作保持不變，則具有球對稱性，數(shù)學上由SO3群描述。

2.4概率密度角分布解釋

若系統(tǒng)是空間對稱的，粒子出現(xiàn)的可能概率應空間對稱，不出現(xiàn)角分布。因此系統(tǒng)必存在不對稱條件。

考慮中心庫侖場的經典力學解。由比耐軌道微分方程［5］：

其中e為常數(shù)。由（12）式可得軌道離心率為：

自旋角動量，結果有：e＜0，軌道為橢圓；當E=0時，e=0，軌道為拋物線。

經典力學解的軌道對稱性沒有達到SO3。出現(xiàn)對稱性最高的為圓周運動，軸對稱可由SO2群描述。尋找經典力學系統(tǒng)的不對稱性是比較直觀的。一旦體系粒子初速度被事先確定下來，空間對稱性便被破壞了。

3　結束語

結合Stern-Gerlach實驗及其拓廣實驗和量子力學假設導出自旋-1/2對易關系。但過程中引入的兩個相因子選取還有待進一步討論。在討論量子力學問題時，與經典力學相比照是一種常用方法。對于中心庫侖場含時定態(tài)波函數(shù)對應概率密度出現(xiàn)空間不對稱，通過對比經典解指出初態(tài)空間不對稱是其原因。當然本問題還可以有其他分析方法。

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O413

A

10.3969/j.issn.1672-6375.2016.07.029

2016-4-8

林炯（1993-），男，漢族，廣東汕頭人，大學本科在讀，主要的研究方向：物理學。