小學(xué)數(shù)學(xué)典型錯(cuò)例分析及矯正策略

編者按：學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，不可避免地會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。作為教師，我們不僅要寬容學(xué)生的錯(cuò)誤，更要對(duì)其進(jìn)行全面的診斷和分析，讓錯(cuò)題成為學(xué)生進(jìn)行再度探究的學(xué)習(xí)資源，成為教師反思自己教學(xué)得失的載體。

數(shù)與代數(shù)

【錯(cuò)例】

【診斷】

1.運(yùn)算習(xí)慣欠佳。學(xué)生缺乏良好的審題習(xí)慣，拿到習(xí)題，沒(méi)有仔細(xì)分析題目特點(diǎn)，理清運(yùn)算順序，而是盲目計(jì)算。

2.算式結(jié)構(gòu)干擾。第1題學(xué)生是被運(yùn)算符號(hào)呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)性對(duì)稱(chēng)所干擾，忽略了同級(jí)運(yùn)算要“從左到右依次計(jì)算”的法則，此類(lèi)題作為“直接寫(xiě)得數(shù)”的題目錯(cuò)誤率會(huì)比脫式計(jì)算要高。第2題學(xué)生顯然知道應(yīng)用乘法分配律來(lái)簡(jiǎn)算，但是展開(kāi)時(shí)另一個(gè)因數(shù)沒(méi)有乘括號(hào)外的因數(shù)，大多是受到和分母相同的影響。

【對(duì)策】

1.注重培養(yǎng)習(xí)慣?；旌线\(yùn)算的教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成“一看、二慢、三通過(guò)”的運(yùn)算習(xí)慣。一看，即看清題目要求，看準(zhǔn)數(shù)字及運(yùn)算符號(hào)；二慢，不急于動(dòng)筆計(jì)算，要明確運(yùn)算順序，在需要變一變的地方想清楚根據(jù)；三通過(guò)，就是細(xì)心計(jì)算，必要時(shí)用好草稿本。對(duì)于“能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算”等要求保持冷靜，不能“瞎簡(jiǎn)算”。

2.促進(jìn)算理建構(gòu)。教學(xué)乘法分配律不是一蹴而就的，前期要多滲透，多積累；中期要多體驗(yàn)，多變式；后期要多推進(jìn)，多交流。乘法分配律的應(yīng)用從整數(shù)擴(kuò)展到小數(shù)和分?jǐn)?shù)時(shí)，也要給足時(shí)間，逐步深化理解。在解決實(shí)際問(wèn)題中，要有意識(shí)地通過(guò)一題多解，溝通算理，生成新的感悟和體驗(yàn)。

3.加強(qiáng)題組辨析。精心設(shè)計(jì)題組練習(xí)，堅(jiān)持一題多變，一題多練，呈現(xiàn)不同的習(xí)題構(gòu)成，用類(lèi)似的題目盡可能揭示可能的解題錯(cuò)誤。如：和（100-1）和25×100-1等。

【錯(cuò)例】

【診斷】

2.屬性解讀不準(zhǔn)。第2題的錯(cuò)誤在于6+x≠6x，6是已知數(shù)，x是未知數(shù)，兩者屬性不同，兩者是相加關(guān)系，不是相乘關(guān)系，不能變成6x，也有學(xué)生這里出現(xiàn)7x的錯(cuò)誤，原因與之相同。

【對(duì)策】

1.把握解法依據(jù)。利用等式的性質(zhì)解方程，是當(dāng)前小學(xué)階段較為通行的做法。其目的是等式一側(cè)的簡(jiǎn)化，使之只剩下x。含有未知數(shù)的項(xiàng)可以出現(xiàn)在等號(hào)的左邊，也可以在右邊。教師要提供給學(xué)生多種形式的方程，如2x+1.2=3.6、8x=25+3x、9x=81、0.42-0.14=7x等，讓學(xué)生利用等式的性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行變換，防止思維定勢(shì)的形成。同時(shí)，也要重視減法和除法各部分之間的關(guān)系，減數(shù)=被減數(shù)－差、被減數(shù)=差+減數(shù)；除數(shù)=被除數(shù)÷商、被除數(shù)=商×除數(shù)。如24-x=9、10÷x=5、2.8-0.4x=1等。

2.強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)回顧。使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值才是方程的解，能不能滿(mǎn)足兩邊相等，需要將所求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn)。可以說(shuō)，檢查驗(yàn)算是解題活動(dòng)中的重要環(huán)節(jié)，是正確解題的保障。實(shí)際上相當(dāng)多學(xué)生怕麻煩，不能自覺(jué)去檢驗(yàn)。教學(xué)中，一方面規(guī)范檢驗(yàn)過(guò)程，教會(huì)檢驗(yàn)方法，另一方面時(shí)刻強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)，多采取口頭說(shuō)一說(shuō)的研究方式，培養(yǎng)檢驗(yàn)意識(shí)。當(dāng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)求解錯(cuò)誤了，提醒學(xué)生不要急忙擦去重做，而應(yīng)先排查什么地方有錯(cuò)，想明白錯(cuò)誤原因，然后再有根有據(jù)、有條有理地解答。

3.溝通多種方法。解方程時(shí)，思路常常不是唯一的。學(xué)生多掌握一種思想方法，就會(huì)多一份解決問(wèn)題的底氣。如（6+x）×5=150，第一步可以?xún)蛇呁瑫r(shí)除以5，得6+x=30，解得x=24；也可以將方程左邊展開(kāi)得到6× 5+x×5=150，變成30+5x=150，5x=120，解得x=24。呈現(xiàn)不同的解題思路之后，還要注意分析方程變形的依據(jù)和聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)立體式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

【錯(cuò)例】

1.男生人數(shù)比女生人數(shù)多25%，那么，女生人數(shù)比男生人數(shù)少（25）%。 2.一列火車(chē)每小時(shí)行130千米，比一輛汽車(chē)快。這輛汽車(chē)每小時(shí)行多少千米？

答：這輛汽車(chē)每小時(shí)行91千米。

【診斷】

1.相差關(guān)系負(fù)遷移。第一學(xué)段學(xué)習(xí)中學(xué)生接觸了大量的兩個(gè)量相差關(guān)系問(wèn)題，積累了形如“甲比乙少5個(gè)”則“乙比甲多5個(gè)”的經(jīng)驗(yàn)。這種經(jīng)驗(yàn)對(duì)于“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)多（少）幾分之幾”的干擾是潛在的。第2題是將“火車(chē)比汽車(chē)快3”錯(cuò)誤理解成“汽車(chē)比火車(chē)慢3”。1010兩題錯(cuò)誤本質(zhì)上是相同的。學(xué)生變換比較時(shí)忽視了單位“1”的不同。

2.理解分率不到位。這類(lèi)錯(cuò)題中學(xué)生顯然缺乏對(duì)分率正確而細(xì)致的解讀。男生人數(shù)比女生人數(shù)多25%，這個(gè)25%是女生人數(shù)的25%，完整的說(shuō)法是“男生比女生多的人數(shù)相當(dāng)于女生人數(shù)的25%”，即（男生人數(shù)-女生人數(shù)）÷女生人數(shù)。“女生人數(shù)比男生人數(shù)少百分之幾”，意思是“女生比男生少的人數(shù)相當(dāng)于男生人數(shù)的百分之幾”。

【對(duì)策】

1.找準(zhǔn)關(guān)系，靈活轉(zhuǎn)化。百分?jǐn)?shù)也叫百分比。抓住百分?jǐn)?shù)與比的聯(lián)系，對(duì)關(guān)系句進(jìn)行多種表述的轉(zhuǎn)化，是對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的強(qiáng)化，也是有遠(yuǎn)見(jiàn)的拓展。男生人數(shù)比女生人數(shù)多25%→男生人數(shù)是女生的125%→男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是125∶100（或者最簡(jiǎn)整數(shù)比5∶4）→女生人數(shù)與男生人數(shù)的比是4∶5→女生人數(shù)是男生人數(shù)的即80%）→女生人數(shù)比男生少20%。這樣一步步轉(zhuǎn)化，思路簡(jiǎn)易，脈絡(luò)分明。

2.借助圖示，落實(shí)方程。列方程解決實(shí)際問(wèn)題是五六年級(jí)才學(xué)習(xí)的，此前長(zhǎng)期使用算術(shù)方法。在最初學(xué)習(xí)列方程解法時(shí)，因?yàn)闀?shū)寫(xiě)繁瑣，影響了學(xué)生對(duì)方程解法的正確認(rèn)識(shí)。教師應(yīng)該站在小學(xué)與初中銜接的高度看待方程的價(jià)值，著力展現(xiàn)方程解法的優(yōu)勢(shì)。通過(guò)畫(huà)圖，表現(xiàn)出事件演變，從開(kāi)始到結(jié)束理出進(jìn)程，辨析起始條件是否已知，如果條件未知時(shí)引入字母來(lái)表示未知數(shù)即可，就把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題了。

【錯(cuò)例】

a、b是互質(zhì)數(shù)，a和b的最小公倍數(shù)是（a），最大公因數(shù)是（b）。

【診斷】

1.概念不清?！皵?shù)的整除”單元概念術(shù)語(yǔ)多，內(nèi)容抽象，文字表述上又多有相近和相似之處，學(xué)生容易混淆，不易掌握，從而產(chǎn)生不少錯(cuò)誤。此題中，學(xué)生顯然對(duì)“互質(zhì)數(shù)”是無(wú)視或遺忘的，對(duì)最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)的知識(shí)點(diǎn)也無(wú)從想起。

2.字母影響。最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的知識(shí)點(diǎn)在分?jǐn)?shù)的約分、通分、化簡(jiǎn)比等后續(xù)學(xué)習(xí)及練習(xí)中不時(shí)會(huì)用到，不過(guò)面對(duì)的數(shù)值都是具體數(shù)。筆者跟蹤調(diào)查發(fā)現(xiàn)，此題改成具體數(shù)后學(xué)生的錯(cuò)誤率直線(xiàn)下降。如：5和8的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。

【對(duì)策】

1.利用思維導(dǎo)圖，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。新授時(shí)教師要扎實(shí)組織好學(xué)生理解每一個(gè)概念，每一課時(shí)內(nèi)容都安排相應(yīng)的知識(shí)承包人，不同的負(fù)責(zé)人尋找并展示交流不同概念之間的聯(lián)系。如：因數(shù)倍數(shù)組，奇數(shù)偶數(shù)組，質(zhì)數(shù)合數(shù)組等。這樣保證第一時(shí)間把知識(shí)學(xué)對(duì)學(xué)會(huì)。單元整理復(fù)習(xí)中建議利用思維導(dǎo)圖，理清每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的衍生情況，理清眾多概念的聯(lián)系及區(qū)別，最后幾個(gè)小組通力合作，繪制本單元知識(shí)樹(shù)，構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

2.用好錯(cuò)題資源，設(shè)計(jì)開(kāi)放練習(xí)。平時(shí)教師應(yīng)精心采集班級(jí)學(xué)生中真實(shí)的錯(cuò)例，復(fù)習(xí)前認(rèn)真辨析學(xué)生所犯的錯(cuò)誤，排除偶然的錯(cuò)誤和小眾的錯(cuò)誤，找出一錯(cuò)再錯(cuò)的頑固性、普遍性的問(wèn)題，發(fā)動(dòng)學(xué)生分析其內(nèi)在機(jī)制。隨后找出知識(shí)點(diǎn)之間的銜接和發(fā)展、聯(lián)系和區(qū)別，抓住核心問(wèn)題，在宏觀(guān)整合方面下足工夫。設(shè)計(jì)開(kāi)放性的問(wèn)題，在學(xué)生你說(shuō)我說(shuō)的交流、較量、思辨、碰撞中喚醒知識(shí)印象，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

【錯(cuò)例】

【診斷】

1.缺乏解題反思。榨油問(wèn)題的基本常識(shí)是油的質(zhì)量應(yīng)遠(yuǎn)小于原料的質(zhì)量。而此題答案“1噸花生可以榨油噸”顯然是不合常理的。如果學(xué)生能夠把答句寫(xiě)完整再讀一讀，這種錯(cuò)誤是能夠被發(fā)現(xiàn)和改正的。

2.數(shù)量關(guān)系混亂。受分?jǐn)?shù)的干擾，學(xué)生沒(méi)有仔細(xì)把握數(shù)量之間的關(guān)系，表現(xiàn)為思維時(shí)的慌忙和混亂。求“1噸花生可以榨油多少?lài)崱迸c“求花生的出油率”解題思路一致，遺憾的是，學(xué)生解題過(guò)程中所想太死板，并不能清晰地辨別“油的質(zhì)量÷花生的質(zhì)量”與“花生的質(zhì)量÷油的質(zhì)量”兩者的不同。

【對(duì)策】

1.列表整理，理解聯(lián)系。在教學(xué)這類(lèi)除法問(wèn)題時(shí)，首先要堅(jiān)持列表整理，弄清楚條件與問(wèn)題中包含哪兩種相關(guān)聯(lián)的量，這兩種量的變與不變是什么。

2.調(diào)查交流，形成印象。在教學(xué)百分率時(shí)，可以再次提及這類(lèi)問(wèn)題，開(kāi)展課后調(diào)查及交流展示，豐富學(xué)生對(duì)油料作物出油率的了解。如，我國(guó)常用的油料有：芝麻、花生、油菜籽、大豆、棉籽、核桃仁、葵花籽、山茶籽等。其出油率參考值為：芝麻45%～55%，花生40%～50%，油菜籽30%～45%，大豆12%～18%，棉籽11%～25%，核桃仁60%～70%，葵花籽50%～55%，山茶籽26%～38%。采用家用榨油機(jī)壓榨，出油率一般比理論值要低5%左右。

3.緊扣對(duì)應(yīng)，探究多解。上面的問(wèn)題中條件、問(wèn)題中所含的兩個(gè)比的比值是相等的。因?yàn)槭峭环N花生，出油率相同。設(shè)1噸花生可以榨x噸油，可以列出的比例有：等。利用比例的基本性質(zhì)都得到1x= 10，可謂殊途同歸，最后解得x=。比例的解法還可以擴(kuò)展到很多類(lèi)似的情境及問(wèn)題。如“一輛汽車(chē)行千米用汽油升，行1千米用汽油多少升？1升汽油可供這輛汽車(chē)行多少千米？”總復(fù)習(xí)時(shí)，教師要堅(jiān)持融合與創(chuàng)新，不能滿(mǎn)足學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)某類(lèi)問(wèn)題的特定思路，必須不斷地在多樣的知識(shí)方法框架下審視此前的一些問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn)，讓學(xué)生習(xí)得更加簡(jiǎn)易、更加清晰的解決方案，增強(qiáng)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

【錯(cuò)例】

一項(xiàng)服裝加工出口任務(wù)，甲車(chē)間獨(dú)立完成需要8天，乙車(chē)間獨(dú)立完成需要10天?，F(xiàn)在由甲、乙車(chē)間共同完成，一段時(shí)間后乙車(chē)間另有安排，剩下的由甲車(chē)間接著完成，又用了4天。完成任務(wù)一共用了多少天？

【診斷】

1.問(wèn)題解析不到位。學(xué)生對(duì)于“完成任務(wù)一共用了多少天”缺乏準(zhǔn)確的判斷，錯(cuò)解一是在合作完成的天數(shù)上又加上剩下的甲獨(dú)做的天數(shù)；錯(cuò)解二是僅僅考慮了甲、乙共同做的天數(shù)。此題中施工情況可以分為兩種，在同一時(shí)間內(nèi)，一種是一個(gè)車(chē)間在做，另一種兩個(gè)車(chē)間都在做這個(gè)任務(wù)。不管是甲、乙先共同做然后甲接著做，還是甲先做然后甲、乙再共同做，對(duì)應(yīng)的總天數(shù)是一樣的，因?yàn)榧讖念^到尾都在做這個(gè)任務(wù)，乙參與部分時(shí)間，也就是說(shuō)，甲工作的時(shí)間也就是一共的天數(shù)，乙參與的時(shí)間比甲少四天。

2.找不準(zhǔn)合作總量。在工程問(wèn)題中，都是把工作總量視為單位“1”，基于這個(gè)前提，才有了甲、乙各自的幾分之一的工作效率。而錯(cuò)解前兩種所求天數(shù)對(duì)應(yīng)的工作總量是大于1的，第三種錯(cuò)解中天數(shù)所對(duì)應(yīng)工作總量小于1。從糾錯(cuò)難度看，錯(cuò)解三訂正的難度最小。

【對(duì)策】

1.回歸生活，實(shí)現(xiàn)推演。教師從“最近發(fā)展區(qū)”入手，精心設(shè)置臺(tái)階，在已知與未知之間鋪路搭橋，減緩學(xué)生理解掌握新知的坡度。從具體的工作總量入手，理出解題基本思路，即：合作的工作總量÷工作效率的和=合作完成天數(shù)。如，新修一條長(zhǎng)6000米的公路。兩個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)單獨(dú)修20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修要30天完成。兩隊(duì)合作完成需要多少天？然后改為3000米、3千米、1千米等，比較算式，并思考：道路總長(zhǎng)發(fā)生變化的時(shí)候，哪些量在變，哪些量沒(méi)有變？

2.猜想驗(yàn)證，比較歸納。猜想與驗(yàn)證是學(xué)生自主探究的有效方法。先讓學(xué)生發(fā)散思維，在猜想中預(yù)測(cè)結(jié)果，提高學(xué)生參與驗(yàn)證的熱情。不給出具體工作總量，只知道甲、乙兩隊(duì)各自完成的時(shí)間，怎樣求他們合做完成時(shí)間呢？小組討論形成思路，理解解答特點(diǎn)。根據(jù)學(xué)生討論歸納：（1）把工作總量看成單位“1”；（2）幾天完成，工作效率就是幾分之一；（3）用工作總量除以工作效率和就得到工作時(shí)間。隨后，將新知與舊知“給出具體數(shù)量的工程問(wèn)題”進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分新舊知識(shí)的異同點(diǎn)，生成認(rèn)知新體系。這里，筆者建議大家提一提列方程的解題方法，或者使用列方程的方法貫穿全程也是可以的。

3.變式訓(xùn)練，類(lèi)推應(yīng)用。通過(guò)變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)行遷移、類(lèi)推，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的理解與對(duì)知識(shí)的消化，有效鞏固工程問(wèn)題的解題思路和解題方法，從而提高解題能力。如改變問(wèn)題情境，將工程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為行程問(wèn)題。（1）甲車(chē)從A城市到B城市要行駛2小時(shí)，乙車(chē)從B城市到A城市要行駛3小時(shí)。兩車(chē)同時(shí)分別從A城市和B城市出發(fā)，幾小時(shí)后相遇？（2）水庫(kù)遭遇暴雨，水位已經(jīng)超過(guò)警戒線(xiàn)，需盡快泄洪。這個(gè)水庫(kù)有兩個(gè)泄洪口。只打開(kāi)A口，8小時(shí)可以完成任務(wù)，只打開(kāi)B口，6小時(shí)可以完成任務(wù)?，F(xiàn)在兩個(gè)泄洪口同時(shí)打開(kāi)，幾小時(shí)可以完成任務(wù)？（3）張先生去市場(chǎng)買(mǎi)家具，預(yù)算資金如果全部買(mǎi)餐桌可買(mǎi)10張，如果全部買(mǎi)餐椅可買(mǎi)60把。后來(lái)他用這筆錢(qián)成套添置了餐桌椅，一張餐桌配4把椅子。你知道他買(mǎi)了多少套嗎？

【錯(cuò)例】

王笑笑把800元壓歲錢(qián)存入農(nóng)業(yè)銀行，定期兩年，年利率是2.25%。到期后，她可以從銀行取回多少元？

錯(cuò)解一：800+800×2.25%=818（元）

答：她可以從銀行取回818元。

錯(cuò)解二：800×2.25%×2

=800×0.225×2

=360（元）

答：她可以從銀行取回360元。

錯(cuò)解三：800×2.25×2=3600（元）

3600+800=4400（元）

答：她可以從銀行取回4400元。

【診斷】

1.缺乏活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生沒(méi)有實(shí)際參與過(guò)儲(chǔ)蓄活動(dòng)，不了解存款、取款的現(xiàn)實(shí)情況是怎樣的。對(duì)于生活在城鎮(zhèn)的學(xué)生來(lái)說(shuō)最多有ATM取款的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)家庭存款、貸款、炒股等理財(cái)情況，學(xué)生也大都是不知道的。這就導(dǎo)致學(xué)生在計(jì)算時(shí)會(huì)機(jī)械計(jì)算，缺少最基本的預(yù)估。題中的年利率是2.25%，要存40多年，才能達(dá)到100%，也就是利息和本金同樣多。

2.沒(méi)有掌握公式。利息=本金×利率×存期，應(yīng)用這個(gè)公式，錯(cuò)解一中忘記了乘存款的時(shí)間；錯(cuò)解二是計(jì)算過(guò)程中把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，且沒(méi)有計(jì)算本金；錯(cuò)解三只乘2.25等數(shù)，忽略了百分號(hào)。整體看是沒(méi)有掌握計(jì)算利息的公式，缺少百分?jǐn)?shù)的計(jì)算技巧。

【對(duì)策】

1.豐富實(shí)踐體驗(yàn)。教學(xué)利息的內(nèi)容之前，教師布置調(diào)查性作業(yè)，讓學(xué)生走入銀行儲(chǔ)蓄網(wǎng)點(diǎn)，實(shí)地了解儲(chǔ)蓄的事宜，搜集存貸款利率；和家長(zhǎng)交流，了解家庭存貸款情況。通過(guò)這樣的前置學(xué)習(xí)活動(dòng)，了解本金、利息、利率、存期等概念術(shù)語(yǔ)。教學(xué)中可以安排填寫(xiě)存款單、設(shè)立模擬銀行，有條件的還可以邀請(qǐng)?jiān)诮鹑跈C(jī)構(gòu)工作的學(xué)生家長(zhǎng)走入課堂，開(kāi)設(shè)相關(guān)講座。

2.充實(shí)欣賞拓展。教學(xué)中可以設(shè)計(jì)“你知道嗎”板塊，介紹近年來(lái)歷次利率變動(dòng)情況，補(bǔ)充利息稅的知識(shí)，或講述有關(guān)利息的歷史故事（如法國(guó)與盧森堡之間的玫瑰花案、美國(guó)人德哈文的借款、成都湯婆婆的老存單等）。還可以利用機(jī)動(dòng)課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生探索單利復(fù)利、理財(cái)、貸款、分期付款、股票等數(shù)學(xué)問(wèn)題，促使學(xué)生能夠在更加廣闊的生活及文化背景里審視數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力。

（仲崇恒）

圖形與幾何

【錯(cuò)例】

在直徑4米的圓形花壇外，鋪一條環(huán)形石子路，路面寬2米。這條石子路的面積是多少平方米？

【診斷】

1.干擾條件過(guò)多。學(xué)生往往知道求環(huán)形面積的方法，即用外面大圓的面積減去里面小圓的面積。但是環(huán)形面積計(jì)算過(guò)程中干擾條件過(guò)多，如大圓和小圓的半徑、直徑和周長(zhǎng)，還有大圓和小圓之間的距離等，無(wú)法使學(xué)生排除干擾聚焦到“大圓半徑和小圓半徑”上去，即使考慮到大圓半徑和小圓半徑，也不容易在多變的條件中準(zhǔn)確找到需要的信息。

2.解題方法過(guò)少。學(xué)生在解決類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)往往缺少有效的方法幫助表征題意、理清信息，在頭腦中對(duì)題中的數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系尚不完全清楚的情況下，就開(kāi)始動(dòng)筆列式，出現(xiàn)錯(cuò)誤也就難免了。

【對(duì)策】

1.學(xué)會(huì)畫(huà)圖，尋找半徑。教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖表征題意的習(xí)慣，并在畫(huà)好的圖中標(biāo)出樣相關(guān)的數(shù)據(jù)，這樣就可以很直觀(guān)地看到各個(gè)數(shù)量間的關(guān)系，明確大圓的半徑比小圓半徑多的就是路面的寬。也有利于排除無(wú)關(guān)因素的的干擾，將注意力集中在大、小圓的半徑上。

2.對(duì)比訓(xùn)練，排除干擾。這一類(lèi)型的題目其實(shí)只要不去理會(huì)過(guò)多的其他信息，緊緊盯住大半徑和小半徑，再用大圓面積減去小圓面積即可。在教學(xué)這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可設(shè)計(jì)下列對(duì)比題（以錯(cuò)例一為例），逐題練習(xí)比較：

（1）在半徑4米的圓形花壇外，鋪一條環(huán)形石子路，路面寬2米。這條石子路的面積是多少平方米？

（2）在直徑4米的圓形花壇外，鋪一條環(huán)形石子路，路面寬2米。這條石子路的面積是多少平方米？

（3）在周長(zhǎng)12.56米的圓形花壇外，鋪一條環(huán)形石子路，路面寬2米。這條石子路的面積是多少平方米？

3.適度拓展，靈活運(yùn)用。環(huán)形面積的計(jì)算也有很多拓展題型，如下面兩幅圖中已知陰影部分的面積，求環(huán)形的面積等，將環(huán)形的面積計(jì)算與正方形、三角形的面積相結(jié)合。這種題目的解答，需要學(xué)生根據(jù)陰影部分的面積整體考慮環(huán)形中的R2-r2，有利于學(xué)生對(duì)于環(huán)形面積計(jì)算方法的本質(zhì)的理解，更有利于學(xué)生幾何思維的發(fā)展。

【錯(cuò)例】

在一個(gè)長(zhǎng)7分米、寬5分米的長(zhǎng)方形紙上，要剪出兩條直角邊是2分米的等腰三角形小旗，最多能剪多少個(gè)？

錯(cuò)解：（7×5）÷（2×2÷2）=17（個(gè)）……1（平方分米）

答：最多能剪17個(gè)。

【診斷】

1.解題思路的負(fù)遷移。這種類(lèi)型的題目在平面圖形和立體圖形部分學(xué)習(xí)時(shí)比較常見(jiàn)，有的是把大的長(zhǎng)方形紙剪成小的長(zhǎng)方形、正方形、三角形，求可以剪成多少個(gè)；也有的是把一個(gè)大的長(zhǎng)方體木塊切成小的正方體木塊、或是在長(zhǎng)方體的盒子中裝入正方體，求能切成或能裝入多少塊。學(xué)生常犯的錯(cuò)誤是在平面圖形中用大面積除以小面積，在立體圖形中用大體積除以小體積。犯錯(cuò)的原因從本質(zhì)上講，就是求一個(gè)總量中有多少個(gè)部分量的解題思路的負(fù)遷移作用，在思維上習(xí)慣性地認(rèn)為大長(zhǎng)方形中有多少個(gè)小三角形，就應(yīng)該用大長(zhǎng)方形的面積除以小三角形的面積。

2.空間觀(guān)念的不成熟。在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生不但考慮原來(lái)長(zhǎng)方形的面積與剪成的小三角形面積間的關(guān)系，更要考慮到實(shí)際情況，即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與三角形的兩條直角邊之間的倍數(shù)關(guān)系，是否可以正好剪成幾份、在剪的過(guò)程中是否會(huì)存在“邊料”等問(wèn)題。在立體圖形中則要考慮長(zhǎng)、寬、高三個(gè)維度的切割情況，這就要求學(xué)生具備一定的空間想象能力。從學(xué)生的錯(cuò)解情況來(lái)看，顯然學(xué)生的空間觀(guān)念尚未得到較好的發(fā)展。

【對(duì)策】

1.養(yǎng)成畫(huà)圖習(xí)慣。在圖形與幾何部分的習(xí)題解答中，養(yǎng)成根據(jù)題意畫(huà)示意圖的習(xí)慣可以有效地幫助理解題意，獲得問(wèn)題的解法。要讓學(xué)生邊讀題邊畫(huà)示意圖，同時(shí)要注意畫(huà)圖的方法指導(dǎo)，根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)確定圖中相關(guān)的長(zhǎng)度、大小等，并把數(shù)據(jù)標(biāo)在圖中。如圖，學(xué)生從圖中可以輕易地看出，因?yàn)樵诩舻倪^(guò)程中存在無(wú)法利用的邊料，所以最多剪12個(gè)三角形小旗。

2.形成正確思路。在畫(huà)圖直觀(guān)幫助理解的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)解中方法的不足，即沒(méi)能考慮到實(shí)際情況，錯(cuò)解中的方法只能適用于剪切時(shí)沒(méi)有邊料，恰好能全部利用的情況。所以正確的解題方法應(yīng)該是，看沿著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)能剪成幾列、沿著長(zhǎng)方形的寬能剪成幾行，再根據(jù)剪成的行數(shù)和列數(shù)算出剪成多少個(gè)小正方形，進(jìn)而算出剪成多少個(gè)小的三角形。在立體圖形中則要從長(zhǎng)、寬、高三個(gè)維度考慮可以切成幾層、每層幾排、每排幾個(gè)，形成關(guān)于這一類(lèi)題目的思考模式。

3.堅(jiān)持對(duì)比訓(xùn)練?？梢栽谄矫鎴D形部分和立體圖形部分分別安排如下的題組對(duì)比練習(xí)，在對(duì)比中體會(huì)剪切的不同情況，以及平面與立體圖形中這類(lèi)問(wèn)題思考方法的共同之處，和這種思考方法的普遍適用性。

（1）在一個(gè)長(zhǎng)9分米、寬6分米的長(zhǎng)方形紙上，要剪出邊長(zhǎng)是3分米的小正方形，最多能剪多少個(gè)？

（2）在一個(gè)長(zhǎng)9分米、寬6分米的長(zhǎng)方形紙上，要剪出邊長(zhǎng)是2分米的小正方形，最多能剪多少個(gè)？

（3）把一個(gè)長(zhǎng)8分米、寬6分米、高4分米的長(zhǎng)方形體木塊上，切割成棱長(zhǎng)是2分米的小正方體，最多能切多少個(gè)？

（4）把一個(gè)長(zhǎng)8分米、寬6分米、高4分米的長(zhǎng)方形體木塊上，切割成棱長(zhǎng)是3分米的小正方體，最多能切多少個(gè)？

【錯(cuò)例】

長(zhǎng)江長(zhǎng)6400多（米），一個(gè)城市城區(qū)的面積為25（公頃）。

【診斷】

1.單位建構(gòu)不深刻。在各個(gè)年級(jí)學(xué)習(xí)測(cè)量單位時(shí)，學(xué)生往往對(duì)單位之間的進(jìn)率，以及單位之間的化聚掌握相對(duì)較好。但對(duì)這些長(zhǎng)度、面積、體積單位所代表實(shí)際大小沒(méi)有確切的概念，多數(shù)學(xué)生僅僅停留在1個(gè)單位長(zhǎng)度或面積表象，能夠比畫(huà)出諸如1米的長(zhǎng)度、甚至用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出1公頃的大小，即“邊長(zhǎng)為100米的正方形的面積”，卻不能將其與生活實(shí)際緊密聯(lián)系起來(lái)，遇到要將知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際物體的長(zhǎng)度、面積中就缺乏解決的策略。

2.生活經(jīng)驗(yàn)的缺失。學(xué)生對(duì)長(zhǎng)江的長(zhǎng)度以及一個(gè)城市城區(qū)的面積接觸不多，甚至是沒(méi)有接觸?？吹健?400多”，他們認(rèn)為這已經(jīng)是相當(dāng)大的一個(gè)數(shù)字，以為用“米”已經(jīng)夠長(zhǎng)了，他們覺(jué)得用上“千米”不可思議；學(xué)生覺(jué)得25公頃已經(jīng)是很大的面積了，25平方千米到底有多大，與他們的生活經(jīng)驗(yàn)相去甚遠(yuǎn)。

3.解題策略的缺乏。遇到類(lèi)似的與生活經(jīng)驗(yàn)有一定距離、數(shù)據(jù)或單位又比較大的情況，學(xué)生也未能采用與身邊熟悉的生活場(chǎng)景、實(shí)物進(jìn)行比較思考的策略，多是憑著感覺(jué)走，所以出現(xiàn)錯(cuò)誤也就在情理之中了。

【對(duì)策】

1.構(gòu)建單位表象。利用生活中的資源，適時(shí)展示更多的實(shí)物，幫助學(xué)生建立起對(duì)各個(gè)單位實(shí)際大小的正確表象，通過(guò)觀(guān)察、比較、描述、估測(cè)、想象等活動(dòng)，把各個(gè)單位的表象印在腦中，并用身邊熟悉的實(shí)物、以及“身體尺”隨時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)物體之間的相互對(duì)比，努力將學(xué)生實(shí)際感知與估測(cè)能力的發(fā)揮相結(jié)合，將“測(cè)量”教學(xué)與生活實(shí)際相結(jié)合，培養(yǎng)其估測(cè)能力與參照能力。

2.豐富生活經(jīng)驗(yàn)。在形成對(duì)各個(gè)單位實(shí)際大小正確的表象之后要結(jié)合相關(guān)的資料介紹，為學(xué)生提供更多的含有不同數(shù)據(jù)的資源，讓學(xué)生將單位與數(shù)據(jù)結(jié)合起來(lái)對(duì)實(shí)物進(jìn)行考量，獲得更多的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)量體驗(yàn)。如世界各大河流的長(zhǎng)度、不同的橋的長(zhǎng)度、一些湖泊的面積、公園的面積、城市的面積、各個(gè)省的面積、國(guó)家的國(guó)土面積等。

3.形成有效思路。當(dāng)然也不能讓學(xué)生進(jìn)行刻板的記憶，要通過(guò)對(duì)這些數(shù)量的體驗(yàn)，幫助學(xué)生建立參照體系，形成利用參照物進(jìn)行比較與思考的方法。如生活中比較熟悉的一條路大約長(zhǎng)3千米，那么思考長(zhǎng)江的長(zhǎng)度會(huì)不會(huì)只有這條路的兩倍長(zhǎng)？學(xué)校的操場(chǎng)大約是2公頃、學(xué)校的總面積大約是8公頃，那么城區(qū)的面積會(huì)不會(huì)只有學(xué)校面積的3倍左右？學(xué)生在填寫(xiě)單位的過(guò)程中將頭腦中的表象與生活中的經(jīng)驗(yàn)以及正確對(duì)比、參照的思路相結(jié)合，出錯(cuò)的概率就會(huì)下降。

【錯(cuò)例】

1.把一個(gè)圓平均分成若干份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比圓的周長(zhǎng)多2分米，圓的面積是多少平方分米？

錯(cuò)解：22×3.14=12.56（平方分米）

2.把一個(gè)圓柱的底面平均分成若干個(gè)扇形，然后切開(kāi)拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)增加了200平方厘米。已知圓柱高20厘米，圓柱的體積是多少立方厘米？

錯(cuò)解：（200÷20）2×3.14×20=6280（立方厘米）

【診斷】

1.數(shù)量關(guān)系復(fù)雜。圓和圓柱在化曲為直的過(guò)程中，在保持面積不變和體積不變的情況下，一些數(shù)量發(fā)生了變化，需要尋找這些變化的量發(fā)生變化的原因，并從這種變化中找到相關(guān)的數(shù)據(jù)，從而完成問(wèn)題的解決。在圓化轉(zhuǎn)成正方形過(guò)程中，牽涉到的量有周長(zhǎng)、面積、半徑、半圓周等，在圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體的過(guò)程中牽涉到的量更多，這些量之間的關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生常常會(huì)感到無(wú)所適從，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

2.數(shù)學(xué)模型不熟。兩道題目各有一個(gè)數(shù)學(xué)模型，如下圖所示。第一個(gè)模型中的圓與長(zhǎng)方形，有面積相等的部分，有長(zhǎng)度相等的部分，也有多出的部分；第二個(gè)模型中的圓柱與長(zhǎng)方體，有體積相等的部分，有面積相等的部分，也有面積多出的部分。在相等與多出的部分中又有一些諸如半徑、長(zhǎng)、寬、高等量之間的關(guān)系，如果學(xué)生對(duì)于這兩個(gè)模型以及相關(guān)數(shù)量間的聯(lián)系不熟悉乃至不明確，那么在解題過(guò)程中勢(shì)必會(huì)遇到困難。

3.空間想象不夠。學(xué)生在學(xué)習(xí)圓的面積推導(dǎo)和圓柱的體積推導(dǎo)時(shí)，借助于圖形的演示和教師的引導(dǎo)，能夠得出相關(guān)的公式。但是當(dāng)學(xué)生脫離具體的圖示，頭腦中的表象就不是那么特別清晰，具體解決這樣的問(wèn)題時(shí)再?zèng)]有養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣，而空間想象能力又不是特別成熟，所以很容易出錯(cuò)。

【對(duì)策】

1.細(xì)化推導(dǎo)過(guò)程。學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)圓的面積公式和圓柱的體積公式推導(dǎo)時(shí)，就要對(duì)變化前后的圖形之間的關(guān)系進(jìn)行細(xì)致、深刻的討論，明確各部分量之間的聯(lián)系，知道哪些量發(fā)生了變化、哪些量沒(méi)有發(fā)生變化，發(fā)生變化的原因是什么等等。即不以公式推導(dǎo)為唯一目的，重視對(duì)圖形的變與不變的分析與感受。

2.強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型?？梢酝ㄟ^(guò)題組練習(xí)，以專(zhuān)題討論的形式，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)兩個(gè)公式推導(dǎo)的圖形模型的理解與認(rèn)識(shí)。如圓的面積推導(dǎo)的模型，可以出示下圖組織學(xué)生討論下面幾組題：

（1）長(zhǎng)方形的面積是（）平方厘米；長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是（）厘米；長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是（）厘米；比圓的周長(zhǎng)多（）厘米。

（2）把一個(gè)圓平均分成若干份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比圓的周長(zhǎng)多2分米，圓的面積是多少平方分米？

（3）把一個(gè)圓平均分成若干份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是9.42分米，長(zhǎng)方形的面積是多少平方分米？

（4）把一個(gè)圓平均分成若干份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形與圓重疊部分的面積是3.14平方分米，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少分米？

3.培養(yǎng)畫(huà)圖習(xí)慣。對(duì)于部分空間想象能力落后的學(xué)生，則要幫助他們養(yǎng)成畫(huà)示意圖理解題意的習(xí)慣，讓他們?cè)谥庇^(guān)形象中描一描、標(biāo)一標(biāo)、比一比、算一算，以求得正確的解答。

【錯(cuò)例】

如圖，畫(huà)出把左邊平行四邊形按2∶1放大后的圖形。

錯(cuò)解：圖中右邊的平行四邊形。

【診斷】

1.本質(zhì)認(rèn)識(shí)有偏差。圖形在按比例放大與縮小的變換過(guò)程中應(yīng)該有兩個(gè)本質(zhì)屬性：一是不改變每個(gè)角的大小，二是對(duì)應(yīng)線(xiàn)段都擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。在錯(cuò)解中，學(xué)生把平行四邊形的底和高都擴(kuò)大了2倍，但是左右兩條斜邊擴(kuò)大的并不是2倍，而且4個(gè)對(duì)應(yīng)的角的大小也都發(fā)生了改變，即兩個(gè)本質(zhì)屬性都不符合。

2.素材選取太片面。在教學(xué)“放大與縮小”這一內(nèi)容時(shí)，教材例題以及習(xí)題中只有讓學(xué)生讓一定比例放大或縮小長(zhǎng)方形、正方形或直角三角形，這幾種圖形其實(shí)是比較特殊的，因?yàn)樗鼈冎恍枰P(guān)注兩條成直角的邊放大或縮小相同的倍數(shù)即符合了兩個(gè)本質(zhì)要求，無(wú)意中就回避了對(duì)相鄰兩條邊的夾角不能發(fā)生變化的屬性的關(guān)注。由于習(xí)慣性操作的負(fù)遷移，學(xué)生在解答這類(lèi)習(xí)題時(shí)，也無(wú)意中會(huì)選擇成直角的底和高來(lái)放大或縮小，學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤也就在情理之中。

【對(duì)策】

1.豐富教學(xué)素材。在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“放大與縮小”時(shí)，即選擇長(zhǎng)方形、直角三角形、一般三角形、平行四邊形等多種圖形作為教學(xué)素材，分別討論放大與縮小過(guò)程中的相關(guān)變化與不變的因素，豐富學(xué)生的感知。

2.強(qiáng)化變換本質(zhì)。在不同類(lèi)圖形的變換討論中，強(qiáng)化變換過(guò)程中的兩個(gè)本質(zhì)屬性：不改變每個(gè)角的大小，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。同時(shí)讓學(xué)生理解兩個(gè)屬性之間的內(nèi)在聯(lián)系，即每個(gè)角的兩條邊的長(zhǎng)度擴(kuò)大或縮小，原本就對(duì)角的大小是沒(méi)有影響的。在提供正面例子積累感性經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，也可呈現(xiàn)錯(cuò)誤的反例，在對(duì)比中加深認(rèn)識(shí)。

3.指導(dǎo)變換方法。圖形的放大與縮小可采用不同的方法，如圖a中將兩條鄰邊及中間夾著的對(duì)角線(xiàn)分別延長(zhǎng)2倍至A、B、C多個(gè)點(diǎn)，再把AC、BC連接即可；也可如圖b所示把平行四邊形的底和一條高分別擴(kuò)大2倍，但要注意這條高所在的垂足位置始終應(yīng)該在底邊的三分之一處，然后再把相應(yīng)的邊連接起來(lái)。這些方法的指導(dǎo)，還是要引導(dǎo)學(xué)生討論，這樣的操作從本質(zhì)上講還是為了保證放大與縮小的兩個(gè)屬性。

（張敏）

統(tǒng)計(jì)與概率

【錯(cuò)例】

1.氣象站在一天的2點(diǎn)、8點(diǎn)、13點(diǎn)、20點(diǎn)測(cè)得的溫度分別是8度、15度、24度、17度。求這天平均氣溫的算式是（B）。

A.（8+15+24+17）÷4

B.（8+15+24+17）÷（2+8+13+20）

2.下面是開(kāi)元公司2015年4個(gè)季度生產(chǎn)情況統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的數(shù)據(jù)選擇。要求平均每月生產(chǎn)多少萬(wàn)噸，正確的算式是（A）。

A.（40+60+80+120）÷4

B.（40+60+80+120）÷12

開(kāi)元公司2015年各季度生產(chǎn)情況統(tǒng)計(jì)圖2016年1月

3.一輛汽車(chē)從相距400千米的甲地開(kāi)往乙地，去時(shí)平均每小時(shí)行80千米，回來(lái)時(shí)平均每小時(shí)行100千米。求這輛汽車(chē)往返甲、乙兩地平均速度的算式是（A）。

A.400÷（400÷80+400÷100）

B.400×2÷（400÷80+400÷100）

4.小強(qiáng)身高155厘米，他到一個(gè)平均水深90厘米的小河里游泳，（B）危險(xiǎn)。

A.還會(huì)有B.不會(huì)有

【診斷】

1.平均數(shù)意義剖析不到位。教學(xué)時(shí)教師沒(méi)有很好地將平均數(shù)的意義剖析到位，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)平均數(shù)意義的理解不全面，從而在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)思路混亂現(xiàn)象。

2.學(xué)生多種習(xí)慣沒(méi)有養(yǎng)成。學(xué)生沒(méi)有養(yǎng)成良好的審題、檢驗(yàn)習(xí)慣，對(duì)題中的關(guān)鍵性已知條件也沒(méi)有進(jìn)行細(xì)致分析，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤的解答。

【對(duì)策】

1.從動(dòng)態(tài)演示中幫助學(xué)生理解平均數(shù)的意義。雖然學(xué)生在第一學(xué)段已學(xué)過(guò)平均分，但是這與平均數(shù)的意義既有聯(lián)系又有區(qū)別。所以在教學(xué)時(shí)，教師要充分借助多媒體技術(shù)，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生理解“平均數(shù)是把一組數(shù)據(jù)里多的移一些補(bǔ)給少的（移多補(bǔ)少），勻得每份變得同樣多”，同時(shí)要通過(guò)教學(xué)，讓學(xué)生理解“平均數(shù)”代表一組數(shù)據(jù)的總體情況，它不是指這組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都是平均數(shù)的值，它的范圍在最大數(shù)和最小數(shù)之間，一組數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)的變化，都會(huì)影響平均數(shù)的大小。

2.從指導(dǎo)審題中培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。教師要指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，特別是要將題中隱藏的或容易被忽視的已知條件挖掘出來(lái)，通過(guò)畫(huà)一畫(huà)或再讀一讀等方法，理解其含義。同時(shí)在解題結(jié)束后，要引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)。如第3題中“往返甲、乙兩地”，通過(guò)審題，要讓學(xué)生明白這輛汽車(chē)行駛的總路程不是400米，而是“400×2”米，解題結(jié)束時(shí)，可以通過(guò)估算判斷平均速度為千米/小時(shí)是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗愠龅钠骄鶖?shù)不是在80和100之間。

【錯(cuò)例】

1.下面是某校五年級(jí)一班體育達(dá)標(biāo)合格人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖。

五年級(jí)一班體育達(dá)標(biāo)合格人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖2016年1月

觀(guān)察統(tǒng)計(jì)圖回答問(wèn)題：這個(gè)班至少有多少人？

答：這個(gè)班至少有48人。

2.在一個(gè)圓形花壇內(nèi)種了三種花（如下圖所示），用條形統(tǒng)計(jì)圖表示各種花占地面積應(yīng)該是（A）。

【診斷】

1.教師教學(xué)偏差。上面兩題都是學(xué)生不會(huì)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析引起的，其深層的原因在于教師對(duì)“數(shù)據(jù)分析觀(guān)念”理解不透，教學(xué)時(shí)，過(guò)于關(guān)注技能性目標(biāo)的達(dá)成，而忽視讓學(xué)生經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的全過(guò)程，從而導(dǎo)致學(xué)生缺少對(duì)數(shù)據(jù)的“感悟”。

2.學(xué)生觀(guān)察不全。學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)只落到某一兩個(gè)數(shù)據(jù)上，由于觀(guān)察不全面，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。如第1題，學(xué)生只關(guān)注“立定跳遠(yuǎn)”，將“立定跳遠(yuǎn)”中達(dá)標(biāo)合格的男、女生人數(shù)相加，而沒(méi)有整體觀(guān)察四個(gè)項(xiàng)目中男、女生達(dá)標(biāo)最多的各有多少人。第2題學(xué)生關(guān)注到了扇形統(tǒng)計(jì)圖中雞冠花和萬(wàn)年紅表示的數(shù)量相等，菊花的數(shù)量比雞冠花和萬(wàn)年紅多，但是沒(méi)有根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義進(jìn)行思考，從而沒(méi)有形成三種花各占總數(shù)的百分之幾的數(shù)學(xué)意識(shí)。

【對(duì)策】

1.引導(dǎo)學(xué)生全面看圖、整體分析。如教學(xué)復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，可以將“圖例”“項(xiàng)目和數(shù)量”“數(shù)據(jù)”等作為重點(diǎn)來(lái)學(xué)習(xí)。教學(xué)扇形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，要讓學(xué)生理解“用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個(gè)扇形的大小表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)量的百分之幾”，還要培養(yǎng)學(xué)生看圖讀圖的意識(shí)，從圖中不但要能看出部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)量的百分之幾，還要能夠從扇形的大小中估計(jì)出部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)量的百分之幾。在這基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)鍵性知識(shí)入手，作數(shù)據(jù)分析，這里的分析不只停留在數(shù)據(jù)信息的直接描述上，而要通過(guò)觀(guān)察、比較、計(jì)算和估算，對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、判斷或解釋?zhuān)瑥亩岣邔W(xué)生數(shù)據(jù)分析觀(guān)念的形成與發(fā)展。

2.指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分析提出問(wèn)題并解決問(wèn)題。如第1題中，在分析數(shù)據(jù)后，可以引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題：男、女生成績(jī)相差最大的運(yùn)動(dòng)是哪一項(xiàng)？這個(gè)班最需要加強(qiáng)的是哪一項(xiàng)訓(xùn)練？

【錯(cuò)例】

拋兩枚硬幣，如果兩枚硬幣朝上的面相同，小明勝，否則小強(qiáng)勝。這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？為什么？

答：不公平。因?yàn)閽亙擅队矌艜r(shí)，硬幣朝上有三種情況：正正、正反、反反，所以?xún)擅队矌懦系拿嫦嗤目赡苄员葍擅队矌挪煌拿娉系目赡苄源蟆?/p>

【診斷】

1.綜合思考能力不強(qiáng)。這是一個(gè)比較綜合的題，它涵蓋可能性的大小和一一列舉等知識(shí)。這里的錯(cuò)誤主要在于學(xué)生沒(méi)有用列舉的方法，將拋兩枚硬幣出現(xiàn)的各種情況（兩面朝上和一個(gè)面朝上、一個(gè)面朝下），不遺漏也不重復(fù)地一一列舉出來(lái)，并進(jìn)行綜合思考。

2.學(xué)生參與活動(dòng)不足。在教學(xué)“可能性”時(shí)，學(xué)生實(shí)際參與活動(dòng)是必不可少的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。但是由于時(shí)間緊加上課堂紀(jì)律難以控制，被許多教師所省略，取而代之的是課件操作。由于學(xué)生沒(méi)有親身體驗(yàn)，從而失去了感悟的過(guò)程，影響了學(xué)生分析能力的提高。

【對(duì)策】

1.分組探索，通過(guò)實(shí)踐操作感悟規(guī)則是否公平。這一游戲規(guī)則是否公平，可以通過(guò)分組探索的方法讓學(xué)生在小組中活動(dòng)，從而初步感悟拋兩枚硬幣，兩面朝上和一個(gè)面朝上、一個(gè)面朝下出現(xiàn)的情況有四種。

2.策略引領(lǐng)，通過(guò)一一列舉發(fā)現(xiàn)規(guī)則的公平。教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用一一列舉的方法完成，讓學(xué)生明白，如果第一枚硬幣正面朝上，有“正正”“正反”兩種情況；如果第一枚硬幣反面朝上，有“反正”“反反”兩種情況。這樣拋兩枚硬幣的結(jié)果一共4種情況，其中兩枚硬幣朝上的面相同的有2種情況，兩枚硬幣朝上的面不相同的也是2種情況，也就是兩枚硬幣朝上的面相同的可能性與朝上的面不相同的可能性相等，所以這個(gè)游戲規(guī)則公平。

【錯(cuò)例】

根據(jù)小明對(duì)一個(gè)月天氣情況的描述，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖。

“這個(gè)月有30天，晴天經(jīng)常出現(xiàn)，陰天和雨天出現(xiàn)的少，雪天偶爾出現(xiàn)?！币阎缣斓奶鞌?shù)超過(guò)總天數(shù)的一半；陰天天數(shù)和雨天天數(shù)相等；雨天天數(shù)是雪天天數(shù)的2.5倍。（均以整天數(shù)計(jì)算）算出各種天氣的天數(shù)，再完成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖。

看到這道題，比較多的學(xué)生無(wú)從下手。

【診斷】

1.思考策略單一。這一題以課本畫(huà)條形統(tǒng)計(jì)圖為載體，將統(tǒng)計(jì)與可能性的練習(xí)綜合在一起，只有學(xué)生正確算出晴天、陰天、雨天和雪天的天數(shù)才能畫(huà)出條形統(tǒng)計(jì)圖。由于題中條件較多且比較復(fù)雜，學(xué)生不知從哪個(gè)條件入手分析，當(dāng)一種解題思路受阻時(shí)，不知道從另外的角度思考，因而一時(shí)找不到解題思路。

2.推理方法無(wú)序。要知道30天中各種天氣的天數(shù)，其關(guān)鍵要通過(guò)題中條件進(jìn)行推算。由于學(xué)生不會(huì)根據(jù)題中條件進(jìn)行有序合情推理，加之對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)理解不透，出現(xiàn)解題困難。

【對(duì)策】

1.從梳理數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)中引導(dǎo)感悟。教材中出現(xiàn)比較多的“可能性”方面的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)為“一定”“可能”和“不可能”。所以在復(fù)習(xí)階段要讓學(xué)生正確理解這三個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的意義，同時(shí)通過(guò)日常生活中的具體例子讓學(xué)生感悟。教學(xué)時(shí)還要對(duì)于表述可能性大小的特殊詞語(yǔ)進(jìn)行比較，讓學(xué)生體會(huì)其含義。例如“經(jīng)常出現(xiàn)”“偶爾出現(xiàn)”等。

2.從指導(dǎo)分析中學(xué)會(huì)合情推理。教學(xué)時(shí)要根據(jù)解決問(wèn)題的需要，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、推理與猜測(cè)，發(fā)展初步的合情推理能力。這題我們可以先用列舉的方法，推算出晴天、陰天、雨天和雪天的天數(shù)，再繪制條形統(tǒng)計(jì)圖。我們從“雨天天數(shù)是雪天天數(shù)的2.5倍（均以整天數(shù)計(jì)算）”中，可以知道，雪天天數(shù)應(yīng)該是2的倍數(shù)。這樣并可推得雪天為2天，雨天為2×2.5=5（天），由于陰天天數(shù)和雨天天數(shù)相等，所以陰天也為5天，晴天為30-2-5-5=18（天）。

【錯(cuò)例】

星期日小芳爸爸帶全家開(kāi)車(chē)去游玩，開(kāi)始以1.2千米/分的速度行駛。20分鐘后，汽車(chē)發(fā)生了故障，爸爸停車(chē)進(jìn)行維修，10分鐘后故障排除，車(chē)又重新啟動(dòng)，以1千米/分的速度繼續(xù)前行，又經(jīng)過(guò)50分鐘到達(dá)了目的地。根據(jù)下面的統(tǒng)計(jì)圖回答問(wèn)題。

哪一幅表示他們?nèi)业耐局羞\(yùn)行情況？在正確的圖上打“√”。

【診斷】

1.學(xué)生綜合思考能力不強(qiáng)。這一題與我們平時(shí)看到的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖不同，它是表示兩種量關(guān)系的運(yùn)行圖。選擇時(shí)，學(xué)生只顧及看圖，而忽視了通過(guò)題中的已知條件先計(jì)算再進(jìn)行綜合思考，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。從練習(xí)中還發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生看不懂圖形，從而出現(xiàn)不會(huì)選擇的情況。

2.教師缺少全面分析指導(dǎo)。教師在教學(xué)時(shí)只按一般折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行指導(dǎo)觀(guān)察和分析，導(dǎo)致學(xué)生沒(méi)有真正理解圖形所表述的意義，因而答題錯(cuò)誤。

【對(duì)策】

1.對(duì)運(yùn)行圖要進(jìn)行全面剖析。教學(xué)時(shí)首先要選擇一幅圖，指導(dǎo)學(xué)生看懂運(yùn)行圖的意思。既要看橫軸和縱軸所表示的意義，又要分析圖中曲線(xiàn)的走向。比如第1幅圖，先看橫軸，時(shí)間為0分時(shí)，對(duì)應(yīng)的縱軸上的數(shù)為0千米；時(shí)間為10分時(shí)，對(duì)應(yīng)的縱軸上的數(shù)大約為6千米，也就是汽車(chē)10分鐘大約行了6千米……時(shí)間為20分時(shí)，對(duì)應(yīng)的縱軸上的數(shù)大約為11千米，時(shí)間為30分時(shí)，對(duì)應(yīng)的縱軸上的數(shù)仍大約為11千米，也就是汽車(chē)在這10分鐘內(nèi)沒(méi)有行駛……

2.對(duì)有用信息要進(jìn)行整合思考。指導(dǎo)學(xué)生閱讀題，并根據(jù)問(wèn)題，選擇有用信息進(jìn)行整合思考：先求出20分鐘行的千米數(shù)：20×1.2=24（千米），再根據(jù)“20分鐘后，汽車(chē)發(fā)生了故障，爸爸停車(chē)進(jìn)行維修，10分鐘后故障排除，車(chē)又重新啟動(dòng)”和“以1千米/分的速度繼續(xù)前行，又經(jīng)過(guò)50分鐘到達(dá)了目的地”進(jìn)行綜合思考，得出第2幅圖是正確的運(yùn)行圖。選后再看圖檢驗(yàn)：從第2幅圖中可以看出，汽車(chē)20分鐘，大約行了24千米，到了第30分鐘還是24千米，說(shuō)明在這10分鐘內(nèi)汽車(chē)沒(méi)有行駛，從題中條件知道，這段時(shí)間正好在修車(chē)，繼續(xù)觀(guān)察，再行駛50分鐘，一共行了70千米多一些，與題中已知條件吻合。

（趙云峰）