洞察結(jié)構(gòu)：“中點(diǎn)四邊形”變著花樣考

王芳

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洞察結(jié)構(gòu)：“中點(diǎn)四邊形”變著花樣考

王芳

在四邊形解題過(guò)程中，同學(xué)們一定對(duì)“中點(diǎn)四邊形”有著深刻的印象，它的確是中考試卷中的寵兒，熟悉它的結(jié)構(gòu)和常見(jiàn)變式對(duì)于迅速貫通解題思路有著非常重要的作用.下面選兩道考題，與同學(xué)們一起思考.

例1（2015·無(wú)錫）如圖1，已知矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為8 cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于_______cm.

圖1

圖2

【思路講解】一般思路是連接AC、BD，如圖2，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD=8（cm），

∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，

∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于4+4+4+4= 16（cm）.

然而，根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，常常發(fā)現(xiàn)不少優(yōu)秀學(xué)生只要3秒就能搞定這樣的考題.他們第1秒首先識(shí)別確認(rèn)這是矩形的中點(diǎn)四邊形問(wèn)題，則該中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形；第2秒連接對(duì)角線(xiàn)AC，BD，確認(rèn)AC= BD=8 cm；第3秒則利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)得出EF=4 cm，從而得出菱形EFGH周長(zhǎng)為16 cm.

【回顧反思】上面我們講解的“優(yōu)秀學(xué)生的思路”你理解嗎？你是否用的是這樣的方法呢？事實(shí)上，對(duì)于惜時(shí)如金的考場(chǎng)，誰(shuí)在這些基礎(chǔ)題、熟悉題的解題速度上勝出，誰(shuí)就贏(yíng)得了更多的時(shí)間去突破攻克把關(guān)題.

例2（2015·南京）如圖3，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A(yíng)B，CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，∠BEF、∠DFE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)H.

（1）求證：四邊形EGFH是矩形；

圖3

（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過(guò)G作MN∥EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，過(guò)H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點(diǎn)P，Q，得到四邊形MNQP，此時(shí)，他猜想四邊形MNQP是菱形，請(qǐng)?jiān)谙铝锌蛑醒a(bǔ)全他的證明思路.

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證平行四邊形MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件______________，MN∥EF，故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證____________ ________，_________________，故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，_______________，即可得證.

【思路講解】

（1）利用角平分線(xiàn)的定義結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠FEH+∠EFH=90°，進(jìn)而得出∠GEH=90°，進(jìn)而求出四邊形EGFH是矩形；

（2）利用菱形的判定方法首先得出要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，再證∠MGE=∠QFH得出即可.

∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，

∴∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）

=180°-90°=90°，

同理可得：∠EGF=90°.∵EG平分∠AEF，∵EH平分∠BEF，

∵點(diǎn)A、E、B在同一條直線(xiàn)上，

∴∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°，

∴四邊形EGFH是矩形.

（2）解：答案不唯一：

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，

要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，

故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證GE=FH，∠GME=∠FQH.

故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE= ∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證.

【反思回顧】事實(shí)上，這道考題是把同學(xué)們熟悉的中點(diǎn)四邊形改編呈現(xiàn)，原命題如果看作：菱形MNQP的中點(diǎn)四邊形EGFH是矩形，這道考題的本質(zhì)就是要求同學(xué)們回答：中點(diǎn)四邊形EGFH是矩形時(shí)，原四邊形（易證平行四邊形）是菱形.搞清問(wèn)題的本質(zhì)后，我們也可提出如下問(wèn)題，供同學(xué)們繼續(xù)思考：

（3）連接MQ，NP，求證：MQ、NP互相垂直平分；

（4）連接MQ，設(shè)MQ交EF于O，O是否為矩形EGFH的對(duì)稱(chēng)中心？為什么？

（作者單位：江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)）