李紅

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知識學(xué)習(xí)園/難點(diǎn)提示
CHU ZHONG SHENG SHI JIE

辨析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)

李紅

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)從不同側(cè)面給我們提供了同一組數(shù)據(jù)的面貌，都是描述數(shù)據(jù)的集中趨勢的“特征數(shù)”.三者都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表，但是它們反映數(shù)據(jù)的特征有所不同.學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的難點(diǎn)是理解這三個量之間的區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下幾個方面.

1.意義和求法不同

平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕校幵谧钪虚g位置的一個數(shù)或最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).只要找，不必計算就可求出.

例1若五個正整數(shù)的中位數(shù)是3，唯一的眾數(shù)是7，則這五個數(shù)的平均數(shù)是_______.

【分析】首先根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義，得出這五個數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，再根據(jù)一組數(shù)據(jù)由五個正整數(shù)組成，得出其它兩個數(shù)，最后由平均數(shù)的意義得出結(jié)果.

解：∵五個正整數(shù)的中位數(shù)是3，唯一的眾數(shù)是7，

∴知道的三個數(shù)是3，7，7.

∵一組數(shù)據(jù)由五個正整數(shù)組成，

∴另兩個為1，2.

∴這五個正整數(shù)的平均數(shù)是（1+2+3+ 7+7）÷5=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義，掌握平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的計算公式是解題的關(guān)鍵.

2.個數(shù)不同

在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)和中位數(shù)都具有惟一性，但眾數(shù)有時不具有唯一性.在一組數(shù)據(jù)中，可能不止一個眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù).

3.呈現(xiàn)形式不同

平均數(shù)：是一個“虛擬”的數(shù)，是通過計算得到的，它不是數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù)，它可能與原數(shù)據(jù)中的某一個相同，也可能與原數(shù)據(jù)中的任何一個都不同.

中位數(shù)：是一個不完全“虛擬”的數(shù).當(dāng)一組數(shù)據(jù)是奇數(shù)個時，它就是該組數(shù)據(jù)排序后最中間的那個數(shù)據(jù)，是這組數(shù)據(jù)中真實(shí)存在的一個數(shù)據(jù)；但在數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)的情況下，中位數(shù)是最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，只有當(dāng)中間的兩個數(shù)相同時，它才與這組數(shù)據(jù)中的兩個或兩個以上數(shù)據(jù)相同，是數(shù)據(jù)中的一個真實(shí)的數(shù)，如果正中間的兩個數(shù)不同，此時的中位數(shù)就是一個“虛擬”的數(shù).

眾數(shù)：是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的原數(shù)據(jù)，它是真實(shí)存在的.但當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都出現(xiàn)相同次數(shù)時，這組數(shù)據(jù)就沒有眾數(shù)了.

例2公園里有甲、乙兩群游客正在做團(tuán)體游戲，兩群游客的年齡如下（單位：歲）：

甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；

乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57.

解答下列問題（直接填在橫線上）：

（1）甲群游客的平均年齡是_______歲，中位數(shù)是_______歲，眾數(shù)是_______歲，其中能較好反映甲群游客年齡特征的是_______.

（2）乙群游客的平均年齡是_______歲，中位數(shù)是_______歲，眾數(shù)是_______歲，其中能較好反映乙群游客年齡特征的是_______.

【分析】平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)都是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的量，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的大小比較接近時（如甲群游客），三個量也比較接近；當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個別數(shù)特別大或特別小時（如乙群游客），它就會影響平均數(shù)的大小，但不影響中位數(shù)、眾數(shù)，此時可由中位數(shù)或眾數(shù)反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

【答案】（1）15，15，15，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；

（2）15，5.5，6，中位數(shù)、眾數(shù).

4.代表不同

平均數(shù)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來代表數(shù)據(jù)的總體“平均水平”.

中位數(shù)：像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前后兩部分，因此用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”.

眾數(shù)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”.

這三個統(tǒng)計量雖然有所不同，但都可以反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，都可以作為一組數(shù)據(jù)一般水平的代表.

例3某車間準(zhǔn)備采取每月任務(wù)定額，超產(chǎn)有獎的措施提高工作效率，為制定一個恰當(dāng)?shù)纳a(chǎn)定額，從該車間200名工人中隨機(jī)抽取20人統(tǒng)計其某月產(chǎn)量如下：

每人生產(chǎn)數(shù) 260 270 280 290 300 310 350 520人數(shù)　11543411

（1）請應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計知識，為制定生產(chǎn)定額的管理者提供有用的參考數(shù)據(jù)；

（2）你認(rèn)為管理者將每月每人的生產(chǎn)定額定為多少最合適？為什么？

（3）估計該車間全年可生產(chǎn)零件多少個？

【分析】在確定生產(chǎn)定額時，需參考的數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)有：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù).合理的生產(chǎn)定額應(yīng)確定在使多數(shù)人經(jīng)過努力能夠完成或超額完成的基礎(chǔ)上.如果將眾數(shù)280定為生產(chǎn)定額，則絕大多數(shù)工人不需太努力就可完成任務(wù)，這就不利于提高工作效率；若將平均數(shù)305定為生產(chǎn)定額，則多數(shù)工人不可能超產(chǎn)，甚至完不成定額，會挫傷工人的積極性.

解：（1）平均數(shù)305，中位數(shù)290，眾數(shù)280；

（2）取中位數(shù)290作為生產(chǎn)定額較合適，原因是這個定額使多數(shù)工人經(jīng)過努力能完成或超額完成；

（3）305×12×200=7.32×105（個），估計全年總產(chǎn)量約為7.32×105個.

5.特點(diǎn)不同

平均數(shù)的計算中要用到每一個數(shù)據(jù)，因而它反映的是一組數(shù)據(jù)的總體水平，選擇特征數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢時，我們用得最多的是平均數(shù)，用它作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較可靠和穩(wěn)定，但容易受到極端數(shù)據(jù)的影響.

中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)的中間量，代表了中等水平.中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)的數(shù)值排序中處于中間位置，在統(tǒng)計學(xué)分析中扮演著“分水嶺”的角色，由中位數(shù)可以對事物的大體趨勢進(jìn)行判斷和掌控.如果在一組相差較大的數(shù)據(jù)中，用中位數(shù)作為這組數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計量往往更有意義.

眾數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平，若一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)的頻數(shù)比較大，并且與其他數(shù)據(jù)的頻數(shù)相差較大時，我們一般選用眾數(shù).還要特別注意如下例題：某班42名同學(xué)，年齡11歲的有24個人，年齡10歲的有8個人，年齡12歲的有6個人，年齡超過12歲的有4個人.則該班同學(xué)年齡分布的眾數(shù)為11歲，它表明該班年齡為11歲的同學(xué)最多（注意眾數(shù)不是24人）.

例4某班7個合作學(xué)習(xí)小組人數(shù)如下：4、5、5、x、6、7、8，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）.

A.5B.5.5C.6D.7

【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義先求出這組數(shù)據(jù)中的x，再將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，然后找出最中間的數(shù)即可.

解：∵4、5、5、x、6、7、8的平均數(shù)是6，

∴（4+5+5+x+6+7+8）÷7=6，解得：x=7，

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4、5、5、6、7、7、8，最中間的數(shù)是6.

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，故選C.

【點(diǎn)評】此題考查了中位數(shù)，掌握中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）.

這三種特征數(shù)都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表，但它們所表示的意義是不同的.選用它們表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢時，一般是遵循“多數(shù)原則”，即哪種特征數(shù)能代表這組數(shù)據(jù)的絕大多數(shù).我們解題時要正確選用合適的特征數(shù)來說明、評價、分析實(shí)際問題，避免誤用和濫用.

6.作用不同

平均數(shù)：是統(tǒng)計中最常用的數(shù)據(jù)代表值，平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的整體平均情況，也可以用來作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個標(biāo)準(zhǔn).因此，它在生活中應(yīng)用最廣泛，比如我們經(jīng)常所說的平均成績、平均身高、平均體重等.

中位數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，因?yàn)樗焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù).但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個別數(shù)據(jù)偏大或偏小時，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢就比較合適.

眾數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性也比較差，因?yàn)樗仓焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù).在一組數(shù)據(jù)中，如果個別數(shù)據(jù)有很大的變動，且某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，此時用該數(shù)據(jù)（即眾數(shù)）表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”就比較適合.

例5某校為舉行百年校慶，決定從高二年級300名男生中挑選80人組成儀仗方隊，現(xiàn)隨機(jī)抽測10名高二男生的身高如下（單位：米）：1.69，1.75，1.70，1.65，1.72，1.69，1.71，1.68，1.71，1.69.試確定參加儀仗方隊學(xué)生的最佳身高值.

【分析】理想的儀仗方隊?wèi)?yīng)由身材較高，且高矮一致的人組成，因此身高的挑選標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)由身高中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值所確定.

解：上面10個數(shù)據(jù)中的眾數(shù)為1.69米，說明全年級身高為1.69米的男生最多，估計約有90人，因此將挑選標(biāo)準(zhǔn)定在1.69米，便于組成身高整齊的儀仗方隊.

例6甲、乙兩名運(yùn)動員在6次百米跑訓(xùn)練中成績?nèi)缦拢▎挝唬好耄?/p>

甲　10.8　10.9　11.0　10.7　11.2　10.8乙　10.9　10.9　10.8　10.8　10.5　10.9

請你比較這兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)，談?wù)勀愕目捶?

【分析】本題需比較兩人成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來衡量兩人成績水平情況.

解：甲運(yùn)動員的成績的眾數(shù)是10.8，中位數(shù)是10.85，平均數(shù)為10.9；

乙運(yùn)動員成績的眾數(shù)是10.9，中位數(shù)是10.85，平均數(shù)為10.8.

從兩人成績的眾數(shù)看，甲的成績好于乙的成績；

從兩人成績的中位數(shù)看，兩人的成績相同；

從兩人成績的平均數(shù)看，乙的成績好于甲的成績.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）