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      初中數(shù)學(xué)課堂反例的應(yīng)用

      2016-08-26 15:38:06方小龍
      關(guān)鍵詞:推理反例作用

      方小龍

      摘要:在初中階段,邏緝推理能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)非常重要的一種能力。所以,我們?cè)谝髮W(xué)生寫(xiě)證明題時(shí)必須做到每一步都要有理由,但是有時(shí)候在證明一些命題時(shí),我們沒(méi)有辦法找到證明的理由,特別是在說(shuō)明一個(gè)命題是否正確時(shí),就需要我們?cè)谡n堂上找到反例來(lái)幫助說(shuō)明。反例就是解決這個(gè)特殊問(wèn)題的,其實(shí)反例就是我們課堂所舉的那些只能滿足題目的條件,但不能滿足題目結(jié)論的例子。(即命題條件與其命題的結(jié)論相互矛盾的例子)。當(dāng)我們要證明某個(gè)命題正確時(shí),就要說(shuō)明當(dāng)滿足它的條件時(shí),它的結(jié)論都是正確的。而我們要說(shuō)某個(gè)結(jié)論不對(duì),只要找一個(gè)結(jié)論不正確,可是卻滿足命題條件的例子。像這樣的例子就叫做反例。

      關(guān)鍵詞:反例;推理;滿足;作用

      中圖分類(lèi)號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1992-7711(2015)12-0088

      數(shù)學(xué)中的反例就是一個(gè)例子,它的作用就是拿來(lái)說(shuō)明某個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。它只能滿足命題的條件,卻不能滿足命題的結(jié)論。這樣的例子叫做反例。比如說(shuō),有這樣的一個(gè)命題:我們班所有的同學(xué)都喜歡上數(shù)學(xué)課。那么我們應(yīng)該怎樣說(shuō)明這句話是錯(cuò)誤的呢?怎樣去尋找說(shuō)明這句話是錯(cuò)誤的反例呢?我們只需要找一個(gè)班上的同學(xué),但他又不喜歡上數(shù)學(xué)課的同學(xué)。也就是“一個(gè)不愛(ài)上數(shù)學(xué)課的班上同學(xué)”成為這個(gè)命題的反例,在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)幾何證明過(guò)程中,舉反例的方法和證明的方法都是我們平時(shí)常用的兩種方法,舉反例是我們正面無(wú)法證明時(shí)很好的一種補(bǔ)充方法。證明就是用一句正確的話,去推出另一句話也是正確的。但是,反例是用一句正確的話,去說(shuō)明另一句話是錯(cuò)誤的。事物和事物之間的聯(lián)系都能用這兩種方法來(lái)推理。美國(guó)數(shù)學(xué)家蓋爾鮑姆說(shuō)過(guò),不斷提出證明和舉出反例的過(guò)程就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程,它決定了數(shù)學(xué)發(fā)展的兩個(gè)主要方向。

      在數(shù)學(xué)課堂上要想讓學(xué)生學(xué)得好,除了正面的證明,也要使用舉反例的方法幫助學(xué)生從另一個(gè)方面進(jìn)行正確理解。它也是我們平時(shí)教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常用到的方法,它可以讓學(xué)生很輕松地理解書(shū)本所學(xué)知識(shí)??梢愿玫亟庾x性質(zhì)、定理,掌握好數(shù)學(xué),提高學(xué)生的解題能力。

      接下來(lái),我們將從反例的組成、反例在數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用、反例對(duì)學(xué)生推理能力培養(yǎng)、舉反例要關(guān)注的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

      一、反例的組成

      我們只有經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理論證,才能說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是正確可靠的;但是要說(shuō)一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的,只要找到舉一個(gè)反例就可以了。平時(shí)在課堂上,我們可直接舉一個(gè)符合該命題的反例,就可以說(shuō)明這一句話是錯(cuò)誤的,不要通過(guò)繁雜的證明過(guò)程,從而更容易理解該結(jié)論。

      那反例怎么找呢?是不是隨便找一個(gè)例子都是反例呢?這就要求所找到的例子必須一個(gè)符合命題的反例,也就要求學(xué)生必需經(jīng)過(guò)很多的思考,還有以往經(jīng)驗(yàn)的積累,反例不是很容易就能出現(xiàn)的。要想得到反例,分析命題的條件是必須的。例如:相等的角是對(duì)頂角,這個(gè)命題的條件是什么呢??jī)蓚€(gè)相等的角,從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),所有相等的角當(dāng)中未必都是對(duì)頂角。

      在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們要學(xué)習(xí)很多概念。若給出一個(gè)概念的定義,然后判斷它對(duì)不對(duì),我們常常需要從命題的條件入手分析來(lái)尋找反例。反例是一種簡(jiǎn)單又好用的判斷命題錯(cuò)誤的方法,同時(shí)它也可以提高學(xué)生逆向思維,又能幫助學(xué)生正確理解定義、性質(zhì)。反例是我們?cè)谧C明過(guò)程中完美的補(bǔ)充,它也是一種數(shù)學(xué)證明方法。

      二、反例在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

      在我們初中數(shù)學(xué)課堂上,利用反例對(duì)我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有什么幫助呢?

      1. 幫助我們正確全面地理解數(shù)學(xué)概念

      當(dāng)我們解讀某個(gè)數(shù)學(xué)的概念給學(xué)生聽(tīng)時(shí),除了進(jìn)行正面的理解外,有的時(shí)候還要從反過(guò)來(lái),找到一個(gè)合適該數(shù)學(xué)概念的反例來(lái)幫助說(shuō)明概念的含義,讓學(xué)生更容易地理解此概念。

      例1. 在學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時(shí),有一小部分學(xué)生是這樣想的:只要有變化而變化,這種關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系,如何讓學(xué)生正確理解函數(shù)的概念呢?我們可以提出以下兩個(gè)問(wèn)題:

      (1)人的身高與體重成函數(shù)關(guān)系嗎?

      (2)若y=x2,則y是x的函數(shù)嗎?

      筆者認(rèn)為很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為人的身高與體重構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。因?yàn)槿碎L(zhǎng)大了,體重也就增加了。所以,人的身高與體重有關(guān)系,只要有關(guān)系那就是函數(shù)關(guān)系。此時(shí),我們可以問(wèn)學(xué)生,當(dāng)你13歲這一年中,你的體重是不是都不變呢?你能確定嗎?通過(guò)這樣的反例,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn),雖然人的身高和體重有關(guān)系,但是當(dāng)人體重確定時(shí),人的身高有可能不唯一,即當(dāng)自變量(人的體重)發(fā)生變化時(shí),因變量(身高)沒(méi)有完全唯一的值和它對(duì)應(yīng),因此不符合函數(shù)的定義。從而加深了對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)。而(2)中學(xué)生會(huì)說(shuō):y不是x的函數(shù),因?yàn)楫?dāng)x=±1時(shí),y=(±1)2=1,因變量y不隨x的變化而變化(當(dāng)時(shí),y值都是1),此時(shí)我們可以問(wèn)學(xué)生當(dāng)確定時(shí),唯一嗎?其實(shí)對(duì)每一個(gè)給定x的值,當(dāng)x變化時(shí),雖然y的值有時(shí)不變。但還是有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng),由此認(rèn)識(shí)到y(tǒng)是x的函數(shù),并非一定要求y隨x的變化而變化,而是對(duì)每一個(gè)給定x的值,y都有唯一值和它對(duì)應(yīng)。什么是函數(shù)關(guān)系?通過(guò)所舉兩個(gè)反例的學(xué)習(xí),他們就掌握了函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)。

      課堂上,當(dāng)我們?cè)诮虒W(xué)生學(xué)習(xí)概念、定理、公式一時(shí),經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)一些關(guān)鍵句不夠理解,而是強(qiáng)行記憶概念、定理、公式,并沒(méi)有真正地理解。結(jié)果遇到與概念、定理、公式有點(diǎn)相似的,就容易造成混淆。

      例2. 對(duì)于矩形、菱形、正方形的判定它們內(nèi)容很相近,這就容易讓他們搞不清楚。因此,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,我們可以讓他們相互多舉一些這樣反例,以便更好地強(qiáng)化對(duì)判定的理解。

      例3. 當(dāng)我們?cè)趯W(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形時(shí),它們之間有很多性質(zhì),而且它們之間既有區(qū)別,同時(shí)又有聯(lián)系。 這時(shí)學(xué)生就很容易發(fā)生錯(cuò)誤 例如把矩形的性質(zhì)說(shuō)成對(duì)角線互相垂直這樣的錯(cuò)誤等等。當(dāng)我們碰到這種情況時(shí),我們可以先讓學(xué)生上黑板畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)方形(非正方形),然后叫他們用尺子比一比,看看它們的對(duì)角線是否互相垂直。通過(guò)這樣的反例,學(xué)生很容易就能發(fā)現(xiàn)這是不對(duì)的。從而使他們?nèi)?、深刻地理解所學(xué)知識(shí)。因此,當(dāng)所學(xué)相關(guān)知識(shí)較多時(shí),我們可以通過(guò)讓學(xué)生舉一些反例幫助理解。

      3. 培養(yǎng)思維的發(fā)散性

      在數(shù)學(xué)課堂上,可以利用反例大大豐富課堂教學(xué)。因?yàn)榉蠢慕M成不是唯一的,所以我們可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生多多地舉出反例。從而調(diào)動(dòng)了數(shù)學(xué)課堂氛圍,充分展開(kāi)想象,同時(shí)也讓學(xué)生的發(fā)散性思維得到充分發(fā)揮和訓(xùn)練。

      反例經(jīng)常用于否定錯(cuò)誤的命題。在平面幾何學(xué)習(xí)中,我們往往通過(guò)對(duì)比來(lái)發(fā)現(xiàn)一些錯(cuò)誤的命題,這就需要用到反例來(lái)否定這些錯(cuò)誤的命題。

      例14. 我們可能會(huì)把“所有的正方形都會(huì)相似”的結(jié)論移植到矩形中,誤認(rèn)為“所有的矩形都會(huì)相似”。此時(shí)就可以構(gòu)造反例:一個(gè)矩形長(zhǎng)為3,寬為2;另矩形長(zhǎng)為4,寬為5,顯然兩個(gè)矩形長(zhǎng)和寬不會(huì)成比例。可見(jiàn),所有的矩形都會(huì)相似這句話是錯(cuò)誤的。

      四、舉反例要關(guān)注的問(wèn)題

      反例雖然在我們數(shù)學(xué)課堂上廣泛運(yùn)用,但在課堂教學(xué)中,運(yùn)用反例時(shí)還要注意一些小問(wèn)題:

      1. 注意主次。在正常的上課過(guò)程中,我們學(xué)習(xí)概念、定理和法則,一般是以書(shū)本上的證明為主。而舉反例的方法只是一種輔助方法,只要能運(yùn)用它否定錯(cuò)誤的命題就可以了,不必要學(xué)太深。2. 注意適當(dāng)。反例的選擇不是隨隨便便的,它既要合適又能說(shuō)明問(wèn)題。不要花很多時(shí)間找來(lái)一大堆無(wú)效的反例。這樣不僅沒(méi)用,又容易讓學(xué)生產(chǎn)失敗感。不一樣的知識(shí)點(diǎn),所用到的反例也不一樣,要求也不一樣??傊线m的反例才是最好的反例。

      總之,對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō),解題是他們必須掌握的數(shù)學(xué)能力。通過(guò)解題,可以考查他們對(duì)知識(shí)的掌握情況。而反例能很好地幫助學(xué)生解題。它很好地輔助了我們的課堂教學(xué)。因此,我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)題時(shí),除了讓他們學(xué)會(huì)從正面尋找解題的出路,也要讓他們學(xué)會(huì)用反例的方法來(lái)證明,從而更好地提高學(xué)生的綜合解題能力。

      參考文獻(xiàn):

      [1] 王知人.淺談反例的教學(xué)功能[J].教學(xué)研究,2000(23).

      [2] 郭要紅.反例的來(lái)源與潛在功能[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2003.

      [3] 羅增儒.學(xué)解題引論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2003.

      [4] 李文銘.初等幾何教學(xué)研究[M].西安:數(shù)學(xué)史陜西師范大學(xué)出版社,2003.

      [5] 郭天印.教育科學(xué)研究[J].教育科學(xué)研究,2003(2).

      (作者單位:福建省福鼎十七中 355209)

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