Knight不確定與隨機匯率下外商投資決策①

費為銀， 夏登峰， 唐仕冰

(安徽工程大學金融工程系， 蕪湖 241000)

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Knight不確定與隨機匯率下外商投資決策①

費為銀， 夏登峰， 唐仕冰

(安徽工程大學金融工程系， 蕪湖 241000)

在奈特不確定及機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下研究了匯率變動對跨國投資決策的影響. 首先，通過It公式，推導得出機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下利潤流的動力學方程. 其次，利用最大最小期望效用(α-MEU)偏好模型對項目投資期望值進行了刻畫. 再利用隨機分析方法推導出在奈特不確定及機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下考慮匯率變動的項目預期價值公式及利潤流臨界現(xiàn)值. 最后，對結(jié)果進行數(shù)值模擬，分析了不同參數(shù)對跨國投資的影響.

奈特不確定； 機制轉(zhuǎn)換； 隨機匯率； α-最大最小期望效用； 伊藤公式

0　引　言

傳統(tǒng)的投資策略問題研究，大多是在完備的金融市場假設條件下進行. Merton[1]在1971年研究了連續(xù)時間下的最優(yōu)消費和投資問題. 但實際上投資過程是一種經(jīng)濟行為，因此在投資過程中，投資者的信仰、經(jīng)濟周期、實際經(jīng)濟環(huán)境等因素都具有不確定性，這些不確定因素會使得最終收益發(fā)生一些改變. 因此利用傳統(tǒng)的方法來確立最優(yōu)投資策略將會與實際投資情況存在偏差.

針對這一現(xiàn)實經(jīng)濟問題，國內(nèi)外學者做過大量研究. Chen和Epstein[2]建立了多先驗效用的連續(xù)時間跨期模型，并對風險溢價和含糊溢價進行了闡述，由于其模型僅考慮最壞情形下的決策問題，對含糊的態(tài)度是極端否定的，但在現(xiàn)實生活中，不是所有的決策者都是完全的悲觀主義者，這使得其所建模型在一定程度上忽視了含糊所帶來的積極影響. Ghiradato等[3]在2004年研究并建立了α-MEU偏好模型，它是兩種極端情形(最好的情形與最壞的情形)的凸組合. Olszewski[4]于2007年使用該模型研究了決策者面對含糊情況下的相關(guān)問題.α-MEU偏好框架的建立，使得檢驗決策者對含糊持有的不同態(tài)度所帶來的影響成為可能. Schroder[5]指出即使一個投資者只擁有少許樂觀態(tài)度，他仍會期待含糊及含糊所帶來的收益. Heath等[6]在1991年也指出由于投資者的過分自信，他們在面對含糊時往往趨向于只看最好的情形. 這表明了Knight不確定性將在一定程度上影響投資者最終的投資決策. Liu[7]考慮了在連續(xù)時間內(nèi)，當預期收益率不可測且遵循一個兩狀態(tài)馬爾科夫模型時，引入含糊性的投資組合和消費決策問題. 研究了含糊性和參數(shù)不確定性是如何影響跨期對沖需求、最優(yōu)投資組合策略和最優(yōu)消費財富比率的. Fei[8]于2007年研究了含糊和預期條件下的最優(yōu)消費和投資組合問題. 韓立巖等[9]研究Knight不確定環(huán)境下基于模糊測度的期權(quán)定價模型. 2008年張慧等[10]研究了不確定環(huán)境下再裝股票期權(quán)的穩(wěn)健定價模型. Fei[11]在2009年利用α-最大最小期望效用(α-MEU)模型研究了在含糊環(huán)境下的最優(yōu)消費和投資問題. 2010年張慧[12]研究了Knight不確定性與一般風險資產(chǎn)的動態(tài)最小定價問題. 2011年韓立巖等[13]研究了不確定環(huán)境下的期權(quán)價格上下界問題. 2012年韓立巖等[14]研究了基于奈特不確定性隨機波動率期權(quán)定價. 但是，以上的研究過程中并沒有考慮到機制轉(zhuǎn)換. 他們僅僅處理了無限時間段內(nèi)的投資決策的相關(guān)問題，即使在現(xiàn)實經(jīng)濟中這個時間段內(nèi)的許多投資項目都擁有固定到期日或者有限生命周期.

Hamilton[15]是最早將機制轉(zhuǎn)換環(huán)境引入問題研究的學者. 2003年Driffill等[16]僅在機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下研究了進出口問題引入機制轉(zhuǎn)換環(huán)境對金融和行為經(jīng)濟學的研究具有十分重要意義. 例如Jang等[17]指出是否考慮機制轉(zhuǎn)換環(huán)境對交易成本的確立有著重要影響，他強調(diào)考慮機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下的交易成本將會遠遠大于沒有考慮機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下的交易成本. Fuh等[18]還利用隱Markov機制轉(zhuǎn)換模型研究了微笑波動率等問題. 如果投資利潤流是依賴于商業(yè)周期的，決策者一定會在決策時將其考慮在內(nèi). 眾所周知，當一個市場處于低迷狀態(tài)時，此時的產(chǎn)品價格可能會降低甚至導致公司的破產(chǎn). 由此可見項目的利潤流會在市場狀態(tài)不同的情形產(chǎn)生差異. 正因如此，人們逐漸將機制轉(zhuǎn)換環(huán)境引入最優(yōu)投資消費決策問題的研究中，不斷優(yōu)化完善投資模型.

另一方面根據(jù)已有的研究成果，隨著經(jīng)濟全球化的不斷加深，跨國投資已成為投資選擇中的重要組成部分. 談毅[19]探討了本土化經(jīng)驗是如何影響跨境風險投資績效的. 國內(nèi)學者對匯率變動也做了相關(guān)研究.段玉婉等[20]分析了人民幣升值對我國國內(nèi)物價的影響；尹力博等[21]基于隨機規(guī)劃方法分析了人民幣外匯期權(quán)套保策略；李曉峰等[22]從行為金融視角下研究了人民幣匯率決定因素. 進一步，1995年Kathryn[23]研究了匯率變動對投資所帶來的影響. 2011年劉慧[24]研究了人民幣匯率變動對我國外商投資的影響. 其研究結(jié)果表明外匯匯率在跨國經(jīng)濟貿(mào)易中起著重要作用，匯率的變動對一國經(jīng)濟有著深刻的影響. 2012年李宏等[25]研究了人民幣匯率變動對我國貿(mào)易平衡的影響. 王志鵬[26]在2002年討論研究了外商直接投資對實際匯率的影響. 2005年魏鋒等[27]研究了融資約束、不確定性與公司投資行為. 2006年孫霄翀等[28]研究了匯率調(diào)整對外商直接投資的影響. 同年，邱立成和劉文軍[29]研究了人民幣匯率水平的高低與波動對外國直接投資的影響.2007年王松奇等[30]研究了匯率的決定機制、波動區(qū)間與政策搭配問題. 2008年閆偉等[31]研究了帶有匯率因素的不連續(xù)價格過程的最優(yōu)投資組合. 程瑤等[32]在2009年研究了人民幣匯率波動對外商直接投資影響的實證分析. 2009年王晉斌等[33]研究了中國匯率傳遞效應問題. 同年，吳吉林等[34]研究了基于機制轉(zhuǎn)換與隨機波動的我國短期利率問題. 2010年孫文莉等[35]研究了匯率的不確定性、投資區(qū)位選擇與公司內(nèi)貿(mào)易問題. 2011年彭紅楓[36]基于實物期權(quán)的理論分析與中國的實證研究了匯率對FDI的影響.

通過上述文獻綜述分析，可知在不確定性的研究中通常分為概率不確定性和奈特不確定性，概率不確定性是指變量具有明確的概率分布的不確定，又稱為風險；而奈特不確定指變量不具有明確的概率分布的不確定，它不同于風險，此時的不確定可用某一先驗集加以刻畫. 另一方面，機制轉(zhuǎn)換是由于現(xiàn)實的經(jīng)濟環(huán)境的突然變化引起的經(jīng)濟模式的改變，例如國家政治體制的變化、經(jīng)濟體制的改變，自然災害等. 由于國際投資者對國際形勢的信息了解不全面，對決策對象的很多方面的基本狀況掌握不具體，使得決策是具有某種不確定性，往往具有隨機性又有奈特不確定的共存，所以在跨國投資決策中自然需要考慮奈特不確定又有機制轉(zhuǎn)換特點的國際經(jīng)濟環(huán)境，以便更為有效的提供決策分析. 事實上，本模型中就將奈特不確定和機制轉(zhuǎn)換的特性進行了有機的結(jié)合，模型中先驗集就體現(xiàn)了奈特不確定并分析了奈特不確定的結(jié)論表現(xiàn)，同時結(jié)果中也體現(xiàn)了機制轉(zhuǎn)換的速率和國際市場匯率是如何影響最優(yōu)決策的. 通常的模型分析中并未同時將奈特不確定性和機制轉(zhuǎn)換加以考慮. 尤其，基于奈特不確定環(huán)境和機制轉(zhuǎn)換的跨國投資中將匯率作為模型輸入變量是合理的，所得投資決策分析不僅具有更為深刻的理論意義和較高應用的實際經(jīng)濟意義. 不確定性、機制轉(zhuǎn)換和匯率變動都會在很大程度上影響項目投資的結(jié)果. 因此，本文在上述模型的基礎上考慮奈特不確定和匯率變動，對現(xiàn)有模型進行進一步推廣和量化分析. 作者將綜合考慮奈特不確定性、機制轉(zhuǎn)換及匯率變動環(huán)境下的項目投資決策問題，利用隨機分析方法不僅在理論上得出了在奈特不確定及機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下考慮匯率變動的項目估值公式，而且對相關(guān)理論結(jié)果進行了數(shù)值分析并給予經(jīng)濟學解釋，得出一些有經(jīng)濟意義的結(jié)論.

1　奈特不確定及機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下的

模型構(gòu)建

假設一個跨國投資的投資商面臨兩個不確定市場環(huán)境，其一是面臨投資所在國的市場不確定性，另一個是面臨國際金融市場匯率變動給投資者以本幣表示的投資收益的影響. 設投資所在國的經(jīng)濟環(huán)境是“擴張(expansion)”和“緊縮(contraction)”兩種機制交錯發(fā)生的. 當獨立于市場且強度為λi的Poisson過程發(fā)生跳躍時，經(jīng)濟狀態(tài)從機制i轉(zhuǎn)變到j，其中i≠j,i,j∈{E,C}.

(1)

其中h與δ為正常數(shù)，h表示即期預期匯率，δ表示匯率波動率，H0為已知.

(2)

其中

=π(t)dH(t)+H(t)dπ(t)+dπ(t)dH(t)

由于投資商對投資所在國的經(jīng)濟環(huán)境不是十分熟悉，在投資決策時往往擔心模型的誤定(modelmisspecification)或是有奈特不確定性. 現(xiàn)給出投資商的奈特不確定程度的刻畫.

首先給定密度生成元集為[11]

(3)

其中

(4)

另一方面，假設面對奈特不確定的投資商在投資時對不確定性存有不同的態(tài)度，用α∈[0,1]表示投資者面對不確定時的樂觀程度. 正如Fei[11]所述，投資商的態(tài)度既不是極度悲觀的也不是極度樂觀的，而是介于極度悲觀與樂觀之間的. 因此，將刻畫投資商決策問題.

設存在一個隨機函數(shù)f(x)，其期望值為最好情形(權(quán)重為α)與最壞情形(權(quán)重為1-α)的凸組合. 利用α-MEU偏好模型，可以檢驗投資商的含糊態(tài)度(ambiguityattitude)對投資的影響. 定義α-期望值為

i=E,C

(5)

(6)

則投資商對項目的估值為

Fi(π(0)|α)=max{Vi(π(0)|α)-I,0},

i=E,C

(7)其中I表示項目的初始成本. 項目估值Fi將用于判斷是否進行投資，若Fi為正，表示項目存在收益則進行投資，若Fi小于0，表示項目虧損則放棄投資.

2　考慮匯率變動環(huán)境下的跨國投資

決策

為了計算投資的期望值Vi(π(0)|α)，定義一個隨機過程I(t)為

假定一個在0到t時間內(nèi)擴張期利潤流的占位時(occupation time)

引理1若Y1與Y2為概率測度P下標準正態(tài)變量，且相關(guān)系數(shù)為ρ，則對于常數(shù)a,b來說，滿足

E[eaY1+bY2]=e(a2+b2+2ρab)/2

引理2[37]對于任意實常數(shù)a,b,c有下列等式成立

EQθ[exp{aζ(s)+bBθ(s)+cX(s)}|σ(0)=σi]

證明見附錄.

定理1當利潤流均值計算公式由式(6)定義時，考慮匯率變動，則以下等式成立

(8)

(9)

fE(s,u)e-λEsδ0(s-u)+c-λC(s-u)-λEu×

(10)

fC(s,u)e-λCsδ0(s-u)+c-λC(s-u)-λEu×

(11)

這里Bessel修正函數(shù)定義為

Ia(z)

證明見附錄.

由上述定理可以推導出以下結(jié)論.

推論1在機制i∈{E,C}時，對于一個樂觀的程度值為α∈[0,1]的投資商來說，項目的α-期望值如下

(12)

其中fi(s,u)由式(10)和式(11)給出.

現(xiàn)令

推論2(完全悲觀)在機制i∈{E,C}時，對于一個樂觀程度值α=0(即此時投資者對于不確定性完全處于悲觀狀態(tài))的投資商來說，項目的α-期望值給定如下

其中fi(s,u)由式(10)和式(11)給出.

推論3(不考慮奈特不確定)只考慮單一概率測度時，投資商對含糊的不確定程度將為0(此時不考慮Knight不確定性對于投資決策所產(chǎn)生的影響)，即k=0.匯率變動動力學方程由式(1)給出，利潤流的動力學方程可以由方程(2)和(3)給出.在k=0條件下利用公式 (12)，可得

其中fi(s,u)由式(10)和式(11)給出.

接下來將進行模型參數(shù)的敏感性分析.

1)投資商的預期利潤流對參數(shù)α的敏感性.

由于

2)投資商的預期利潤流對預期匯率h的敏感性.

由于

fi(s,u)du]ds+(1-α)×

3)投資商的預期利潤流對匯率波動率δ的敏感性.

由于

1)考慮機制轉(zhuǎn)換及奈特不確定環(huán)境下帶匯率變動的利潤流的臨界現(xiàn)值計算公式為

(14)

2)考慮α=0及機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下帶匯率變動的利潤流的臨界現(xiàn)值為

3)僅考慮機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下帶匯率變動的利潤流的臨界現(xiàn)值為

3　數(shù)值分析

在本節(jié)中，將投資利潤流模型進行數(shù)值模擬分析. 固定模型中某些參數(shù)值，觀察變動量對預期利潤流及利潤流的臨界現(xiàn)值所帶來的影響程度. 首先假定存在一個準備進行跨國投資的中國籍投資商，將投資于美國項目工程. 現(xiàn)給定模型中參數(shù)值擴張及緊縮機制下泊松跳過程的強度λi分別為λE=0.29，λC=3.413，定義不同機制下隨機過程中漂移項μi分別為μE=0.056 349 723，μC=0.030 692 00，類似設定波動項分別為σE=0.14，σC=0.3，ρ=0.1，π(0)=0.16，初始成本值設為I=10，γ=0.5，H0=6.24，δ=0.13.令即期預期匯率(美元/人民幣)h=6.297 2. 利用Matlab軟件，可以得到以下結(jié)論.

圖1　當T=5,γ=0.5,α=0.5,K=0.1時，擴張機制下項目投資平均收益Vi(π(0)|α)隨即期預期匯率h及匯率波動率δ的變化情況(見式(12))

1)由圖1可知在擴張機制下且T=5時，隨即期預期匯率h的增大，投資平均收益Vi(π(0)|α)呈上升趨勢，隨匯率波動率δ增大，投資收益Vi(π(0)|α)同樣呈上升趨勢，增幅較即期預期匯率偏低. 圖形表明，當匯率波動率及即期預期匯率上升時，都會對投資平均收益帶來有益影響. 在此情形下，中國籍投資商進行跨國項目投資的幾率也將增大.

圖2　當T=5,γ=0.5,α=0.5,K=0.1時, 項目投資平均收益Vi(π(0)|α)隨即期預期匯率h的變化情況(見式(12))

2) 由圖2可知在擴張及緊縮機制下且T=5時，隨h (即期預期匯率)值增大時，投資平均收益Vi(π(0)|α)呈上升趨勢. 意味著，當即期預期匯率h上升(人民幣貶值)時，中國投資商進行跨國項目投資的幾率越大，且在緊縮機制下投資商進行的跨國投資幾率大于擴張機制. 而從現(xiàn)實經(jīng)濟情況分析，當即期預期匯率上升時，進行跨國投資收益值增大，進而投資者傾向于進行跨國投資，因此模型中匯率與投資的平均收益數(shù)值模擬結(jié)果與現(xiàn)實經(jīng)濟相符.

3)由圖3可知在擴張及緊縮機制下且T=5時，隨匯率波動率δ增大，利潤流的臨界現(xiàn)值呈下降趨勢，且在緊縮機制下趨勢較緩. 即當匯率波動率增大時，利潤流的臨界現(xiàn)值降低，跨國投資的可能性增大. 總體來說，圖3顯示了匯率波動率對投資利潤流臨界現(xiàn)值的影響程度. 可知在不同機制下匯率波動率都會對投資利潤流臨界現(xiàn)值帶來負面的影響，并逐步趨于平穩(wěn).在擴張機制下，匯率波動對投資臨界現(xiàn)值影響程度高于緊縮機制下. 聯(lián)系現(xiàn)實經(jīng)濟，可知面對匯率波動的不確定性，存在的投資的利潤與風險也在不斷加大，部分風險偏好投資者樂于在此時投資特別是在經(jīng)濟環(huán)境良好的情形下. 投資過程的利潤流呈上升趨勢利潤流的臨界現(xiàn)值呈下降趨勢. 并且隨波動率的增長，逐步趨向于平穩(wěn). 因此模型中考慮匯率對投資臨界現(xiàn)值的影響結(jié)果與實際相符.

圖3　當T=5,γ=0.5,α=0.5,K=0.1時, 利潤流的臨界現(xiàn)值π*隨匯率波動率δ的變化情況(見式(14))

圖4　當T=5,γ=0.5,K=0.1時, 項目投資平均收益Vi(π(0)|α)隨即期預期匯率波動率h的變化情況(見式(12))

4)由圖4可知在擴張及緊縮機制下且T=5時，隨即期預期匯率h的增大，投資平均收益Vi(π(0)|α)呈上升趨勢，且無論在擴張或緊縮機制下α=1時投資平均收益高于α=0. 圖形表明，當即期預期匯率上升時，中國籍投資商進行跨國項目投資的幾率也將增大. 且面對不確定時樂觀程度越高的投資商更期待匯率變動所帶來的項目收益，即其在即期預期匯率變動時更樂于跨國項目投資.

4　結(jié)束語

本文研究了投資商在奈特不確定及機制轉(zhuǎn)換環(huán)境下考慮匯率波動時的跨國投資決策問題. 利用隨機分析方法，推導出帶有匯率波動的項目投資利潤流的動力學方程. 并對模型進行了數(shù)值分析，結(jié)論表明即期預期匯率、匯率波動率對跨國投資的平均收益均存在正面影響，而樂觀程度高的投資商更樂于進行跨國投資. 因此在跨國投資過程中投資商將在一定程度上期待項目所在國的匯率波動. 而對于本國來說，適當?shù)卣{(diào)整匯率，也將在一定程度上帶來更多的國際商機. 最后，知道影響外商跨國投資的因素還有例如投資所在國的通貨膨脹等變量. 費為銀等[38]基于通貨膨脹研究了跳擴散環(huán)境下的最優(yōu)動態(tài)資產(chǎn)配置問題；尹力博和韓立巖[39]研究了對沖通脹風險的戰(zhàn)略視角及微觀選擇問題. 事實上，在考慮隨機通脹和匯率聯(lián)合影響下的跨國投資問題是未來值得進一步探討的課題.

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附錄: 引理2及定理1的證明

引理2證明： 容易知道下列等式成立

證畢.

又由引理2可得

另一方面

因此

又由于θ(t)∈[-k,k]，所以

同樣，也可以得到式(9).

證畢.

On study of a foreign investor’s investment with random exchange rate under Knightian uncertainty

FEIWei-yin,XIADeng-feng,TANGShi-bing

Department of Financial Engineering, Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China

This paper studies the optimal investment with random exchange rates under Knightian uncertainty and regime switching. Firstly, by using anItformula, the dynamics of profit flow under regime switching is obtained. Secondly,α-maxmin expected utility (α-MEU) model is utilized to characterize an investor’s expected value of the investment. Thirdly, the profit flow calculation formula with random exchange rates are derived by the stochastic calculus, and the critical present values of the profit flow are also given. Finally, numerical simulations are provided to explain the effect of the parameters on an investor’s investment decisions.

Knightian uncertainty; regime switching; random exchange rates; α-maxmin expected utility;Itformula

① 2015-03-26；

2015-12-26.

國家自然科學基金資助項目(71171003； 71571001)； 安徽省自然科學基金資助項目(1608085MA02).本文入選“第十二屆金融系統(tǒng)工程與風險管理年會”優(yōu)秀論文(山西大學， 2014年8月).

費為銀(1963—)， 男， 安徽蕪湖人， 博士， 教授， 博士生導師. Email: wyfei@ahpu.edu.cn

O211.6； F224.5

A

1007-9807(2016)06-0125-11