跳躍風險如何影響期權復制收益?①
——基于多維跳躍擴散的模型與證據

劉楊樹 , 鄭振龍, 陳　蓉

(1. 廈門大學管理學院財務學系， 廈門 361005; 2. 廈門大學經濟學院金融系, 廈門 361005)

?

跳躍風險如何影響期權復制收益?①
——基于多維跳躍擴散的模型與證據

劉楊樹1, 鄭振龍2, 陳蓉2

(1. 廈門大學管理學院財務學系， 廈門 361005; 2. 廈門大學經濟學院金融系, 廈門 361005)

文章在最一般的多維跳躍擴散過程假設下，推導出Delta對沖組合盈虧所遵循的隨機過程，從理論上證明了Delta對沖組合會受到跳躍風險以及跳躍風險的風險溢酬的影響.并且，通過美國SPX期權數據對理論推導的結論進行分樣本實證，實證結果表明，在考慮了模型風險、市場信息傳遞效率等以往學者未曾考慮到的控制變量后，跳躍風險對于對沖標的風險后的期權復制收益的影響仍然顯著，但其影響看漲看跌期權的內在途徑和機理在平時、危機時刻都不相同.

跳躍擴散過程； 期權復制收益； 跳躍風險； 跳躍風險溢酬

0　引　言

大量研究表明，影響期權價格的風險源有許多[1-3].其中，跳躍風險是最重要的影響因素之一[4,5]，其原因可以歸納為三個方面：第一，跳躍風險是偶然發(fā)生的價格大幅變動，它與擴散(diffusion)風險這種連續(xù)發(fā)生的價格小幅變動有著本質的不同.相對于市場的小幅波動而言，投資者更厭惡跳躍風險.Pan[4]的研究表明，在美國期權市場上，跳躍導致的價格波動在總波動率中占比不到3%，但跳躍的風險溢酬達到了3.5%；相比之下，占總波動率超過97%的連續(xù)波動部分的風險溢酬僅為5.5%，這個結果引發(fā)了之后學者對期權中跳躍風險和跳躍風險溢酬研究的興趣.第二，部分投資者(比如，套利者)會對期權中的標的資產風險進行對沖，但跳躍風險的存在使得這部分投資者無法完全對沖期權中標的資產的風險，此時，期權不再是標的資產的冗余證券，期權價格也將反映出投資者對跳躍風險敞口的態(tài)度.金融危機出現時，投資者對于期權中跳躍風險的敞口尤為厭惡，Santa-Clara和Yan[5]以及Broadie, Chernov和Johannes[6]的研究表明在危機時刻幾乎所有的超額收益都是對于跳躍風險所要求的補償.第三，期權中所隱含跳躍風險的信息還具有很強的預測性.比如，Yan[7]發(fā)現在美國金融市場上，期權中隱含的預期跳躍均值對個股的橫截面收益具有明顯的預測能力.總之，以往的研究都表明期權價格中隱含了大量跳躍風險的信息，而這些信息正是投資者的風險態(tài)度中最敏感的部分.由于我國目前期權交易量還較小，因此，雖然部分國內學者已經關注市場上跳躍特征[8-10]或風險溢酬[11, 12]，但對期權中隱含跳躍風險信息的研究還比較少.

在當前中國市場上，上海證券交易已經推出了上證50ETF期權，市場上做市商面臨的標的資產擴散風險可以被Delta對沖策略所對沖，而剩余的風險則來自標的資產的跳躍.未來中國必然推出更多的期權，在這一背景下，極端的跳躍風險將如何對Delta對沖后的組合產生影響，這不僅是做市商們需要關注的問題，也是監(jiān)管層所應考慮的問題.本文寫作的目的在于探尋Delta對沖組合背后殘留的風險，尤其是跳躍風險所帶來的影響.

本文的主要工作如下：首先，本文在一般化的多維跳躍擴散過程下，推導出Delta對沖組合(也可以看成Delta對沖策略下的期權復制收益)中所包含的風險和信息.從理論上證明了所有狀態(tài)變量的跳躍風險以及跳躍風險的風險溢酬都可能對期權的Delta復制收益產生影響；此外，除了標的資產的風險溢酬，其他所有狀態(tài)變量擴散風險的風險溢酬也可能會對期權的Delta復制收益產生影響*推導的結果僅表明跳躍對于Delta對沖組合可能產生影響，但其參數是否顯著，符號正負都不確定，因此，需要實證來驗證各個部分的參數是否顯著..其次，在實證中，本文借鑒以往的研究構建了跳躍風險的代理變量，并通過美國市場的期權數據進行檢驗.本文驗證了理論推導公式中的部分參數在現實中的確是顯著的，并且進行了分樣本的穩(wěn)健性檢驗，發(fā)現跳躍風險對看漲期權和看跌期權的Delta對沖組合影響是不同的.最后，本文進一步考慮了平時和危機時期期權中隱含跳躍風險的差異，并對相應的實證結果作出評述.

與以往的文獻相比，本文的貢獻主要體現在三個方面：第一，本文首次在一個一般化的多維跳躍擴散過程假設下，推導出Delta對沖組合盈虧(即Delta對沖策略下的期權復制收益)的隨機形式；第二，本文的實證研究表明，跳躍風險對于期權復制收益的影響途徑十分復雜，在不同時期對于不同期權跳躍風險的影響是不一樣的，這是以往學者并未注意到的；第三，在實證中，本文首次在類似的研究中將模型風險以及信息傳遞效率作為控制變量，并發(fā)現它們能夠在一定程度上顯著地影響Delta對沖組合的收益.

1　多維跳躍擴散模型下的期權復制

收益

討論在一般化的假設下，跳躍風險將如何影響Delta對沖組合的收益*為了與以往的研究具有可比性，本文的Delta對沖組合也是由一單位期權多頭和Δ單位標的資產空頭構成的..假設標的資產價格和影響期權價格的其他狀態(tài)變量均服從最一般的跳躍擴散過程[13]

(1)

(2)

當狀態(tài)變量服從式(1)時，根據Girsanov定理，在風險中性世界中，衍生品價格必須滿足偏微分方程，整理可得

(3)

(4)

(5)

可以看出，Πτ由三部分構成：期權多頭價值的變化；動態(tài)調整的標的資產空頭價值的變化；因標的資產數量的動態(tài)調整而產生的融資需求的變化.若標的資產可以完美地復制期權，那么Πτ應等于0.

此外，還必須假設標的資產St在現實世界與風險中性世界所服從的過程

(6)

(7)

上兩式里標的資產所對應的參數都用上標S標記.將式(4)和式(7)代入式(5)，可得

(8)

(9)

式(9)意味著Delta對沖后，剩余組合的收益取決于五個部分：第一部分是期權對標的資產之外其他狀態(tài)變量的一階偏導與其相應擴散風險風險溢酬的乘積；第二部分代表Delta對沖組合受其他狀態(tài)變量的擴散風險影響造成的波動；第三部分代表Delta對沖組合受其他狀態(tài)變量的跳躍的影響；第四部分是跳躍過程的補償項；第五部分即為跳躍風險溢酬.其中，第二部分和第三部分是隨機的.當時間間隔τ極短時，式(9)的期望可以寫成

(10)

式(10)表明一般化的Delta對沖組合的期望收益受四個因素影響：第一，受標的外其他狀態(tài)變量擴散風險溢酬的影響；第二，受其他狀態(tài)變量極短時間內跳躍幅度期望值總和的影響；第三，受標的資產跳躍的平均期望的影響；第四，受所有狀態(tài)變量跳躍風險溢酬影響.這意味著，理論上看，即使期權投資者(無論多空)對沖了標的資產，其頭寸仍可能受到標的和其他狀態(tài)變量跳躍的影響.但理論推導并不保證式(10)中的參數在現實中的顯著性.因此，下文將Delta對沖收益設為因變量，尋找式(10)中的各種狀態(tài)變量的風險溢酬的代理變量進行實證研究，回歸系數的顯著性能夠說明式(10)中系數的顯著性*Bakshi和Kapadia[3]用式(10)的一個特殊形式來檢驗波動率風險溢酬的..

2　實證設計

第一部分從理論上表明：在多維跳躍擴散模型下，跳躍風險是影響Delta對沖收益的重要因素之一.當代表跳躍風險溢酬或跳躍幅度的參數顯著時，跳躍對Delta對沖策略結果的影響無法忽略.但這些參數的顯著性要用實際市場數據一一檢驗.具體而言，在式(10)的基礎上，通過檢驗Delta對沖收益和跳躍風險之間關系的顯著性，可以表明跳躍風險能否在對沖時被忽略.

2.1實證數據與樣本篩選

實證研究的樣本從2001年1月3日至2011年4月28日的美國SPX指數看漲期權、看跌期權及其標的資產(美國S&P500指數)的日數據*因此，下文中的衍生品即為股指期權，標的資產則為S&P500股價指數，Delta對沖組合由股指期權和股票指數組成.，數據來自www.ivolatility.com.選擇這個樣本期的原因在于，這段期間包含了互聯網泡沫崩潰期和次貸危機，對跳躍風險的分析具有較大的意義.

借鑒Jackwerth和Rubinstein[14]、Buraschi和Jackwerth[15]以及Bakshi和Kapadia[3]的方法，樣本數據的篩選標準如下：1)看漲期權價格應處于上下限[St-K,St]之間，看跌期權價格應處于[K-St,K]之間*其中K代表期權合約的執(zhí)行價格.，此條件保證所采用的期權價格應不違背最基本的無套利原則，屬于合理價格；2)由于期限太長和太短的期權交易都很不活躍，因此本文借鑒Bakshi和Kapadia[3]剔除剩余期限太長和太短的數據，采用剩余期限在14天到60天之間的期權數據；3)深度實值和深度虛值期權的市場流動性不佳，且價格中帶有大量的市場微觀結構噪音，因此本文采用接近平價的期權*Yan[7]表明Delta絕對值為0.5的平價期權中也能包含跳躍的信息.，具體標準為ln(S/K)∈[0.951.05]；4)同樣出于流動性的考慮，最后還剔除了日交易量小于500手的期權，以保證期權價格的合理性.

經過篩選之后，本文所使用的期權樣本數據是一個面板數據，共包括2 482天，每天平均有8.29個期權的數據，最多一天有57個期權數據，最少一天有0個期權數據*由于期權復制收益的計算需要有同一個期權前后兩天期權交易數據，因此部分天數沒有Delta對沖收益，所有期權的平均剩余期限為0.091年(一個月左右)，期權每天的平均交易量為4 629手，平均的隱含波動率為18.73%.SPX期權的標的資產——S&P500指數則是一個2 482天的時間序列數據.

一般認為，2008年3月的貝爾斯登事件是次貸危機爆發(fā)的標志性事件.為了控制次貸危機的影響，更全面地考察跳躍風險和跳躍風險溢酬問題，本文除了進行全樣本分析，在穩(wěn)健性檢驗中進一步將樣本分為子樣本1(2008年3月以前)與子樣本2(2008年3月之后)進行分析，以得到更為詳細和全面的結論.需要說明的是，本文中所用的無風險利率采用歐洲美元的隔夜拆借利率，數據來自Bloomberg.在后續(xù)的變量設定中，有時還需要一些其他的數據作為補充，將在下文介紹變量設定時具體解釋.

2.2實證模型與變量的說明

與理論模型(10)對應，本文將通過包絡回歸驗證不同變量對于期權復制收益的影響，回歸式子如下

(11)

其中T-t是期權剩余期限，τ是兩個交易日間的時間長度(以年為單位)*針對樣本內的每個期權，在每兩個交易日之間，計算相應的DHGS值，將其作為一個觀測值..表1報告了分別針對整個樣本和子樣本計算得到的因變量DHGS的基本信息.從表1中，可以看出，首先，次貸危機爆發(fā)后Delta對沖收益的標準差比危機前要高，這顯然是符合直覺的：在次貸危機爆發(fā)后，市場的大幅波動必然導致Delta對沖收益的不穩(wěn)定性；其次，次貸危機爆發(fā)后期權多頭所對應的Delta對沖收益所獲得的收益率也較大，這可能是由于危機后，Gamma效應較大(因為市場波動率上升)的緣故.

表1　因變量DHGS的描述性統計

2.2.2跳躍因子的構造

構造跳躍因子的步驟如下：首先要偵測出市場是否存在跳躍；其次，基于偵測的結果計算每次跳躍發(fā)生的概率以及跳躍的大??；最后，將跳躍發(fā)生的概率和跳躍的大小作為跳躍因子，具體過程如下：

1)跳躍的偵測：常見的跳躍因子偵測方法包括Barndorff-Nielsen和Shephard[17]、Jiang和Oomen[18]以及Lee和Mykland[16].本文對于期權的標的資產跳躍的偵測是建立在Lee和Mykland[16]的非參數偵測方法基礎上的，具體構造方法如下，首先計算出

(12)

其中n是每年的觀測數，選擇n=252天

根據Lee和Mykland[16]，當

時，則在10%的顯著水平下拒絕原假設(市場不發(fā)生跳躍).

2)跳躍概率因子

從Lee和Mykland[16]的偵測過程中，不難看出ξ的值實際上反映了拒絕原假設的顯著水平，因此，ξ的值越大，則依據Lee和Mykland[16]，其發(fā)生跳躍的概率就越大.本文將這個置信水平作為跳躍發(fā)生概率的代理變量，即

Jumpprt=exp(-e-ξ)

(13)

3)跳躍大小因子

跳躍大小因子計算的是在發(fā)生跳躍的時候，跳躍幅度的大小.首先，根據Lee和Mykland[16]的方法，將10%的顯著水平上發(fā)生跳躍的交易日標記為1，沒有發(fā)生跳躍的交易日標記為0，即

(14)

其次，本文用Lee和Mykland[16]的L作為跳躍大小的代理.L衡量的是經過近期波動率標準化后的日收益率，因此跳躍幅度大小的因子如下

Jumpsizet=Indicatort×L(t)

(15)

其他5個控制變量選取的具體理由和因子構造方法如下.

2.2.3波動率因子(Vega)

由于Bakshi和Kapadia[3]已經發(fā)現，基于BS模型構造的Delta對沖組合盈虧中含有非常顯著的波動率風險溢酬，因此必須控制Delta對沖組合中波動率風險因子的影響.參照Bakshi和Kapadia[3]，對于期權來說，衡量其波動率風險暴露的最好指標就是Vega，即期權價格對波動率的一階偏導.鑒于此，本文采用BS模型計算出的Vega作為實證方程中波動率風險因子的代理變量.

2.2.4模型設定偏誤因子(Model)

無論何種模型都存在模型設定偏誤的可能，因此，研究者總會遇到類似Roll批評的困境，在本文的環(huán)境中即為：無法判斷參數的顯著性是由于模型的不精確，還是由于跳躍風險的確為系統性風險所致.為控制模型設定偏誤的影響，作者通過一個簡單而又有效的方法來打破聯合檢驗的困境，其思想來自于鄭振龍和劉楊樹[19]的研究.其經濟含義如下：在Delta對沖策略中，當對沖所選用的頭寸由于模型設定有誤而發(fā)生誤差時，Delta對沖組合的盈虧仍將受到標的資產價格在現實世界中漂移率的影響.因此在實證中，引入與計算DHGS時的τ期間對應的標的資產收益率作為控制模型設定偏誤的變量.這個控制變量的加入有兩個作用：第一，檢驗BS模型估計出的Delta是否合理.若不合理則控制變量的系數顯著，反之則不顯著.第二，剔除模型風險的影響.若BS模型存在較為嚴重的模型設定誤差，則回歸中標的資產收益率的系數就會是顯著的，而這一項就可以剔除模型設定偏誤的影響，從而保證跳躍風險以及跳躍風險溢酬估計的穩(wěn)健性.

2.2.5信息傳遞效率差異因子(Efficiency)

在期權隱含風險的現有研究中，大部分學者都沒有考慮期權市場的信息傳遞效率問題.但實際上，由于期權市場的高杠桿性質和低交易成本優(yōu)勢，期權價格對新信息的反應往往領先于標的資產價格.傳統的定價模型并沒有考慮信息傳遞效率問題，此時，Delta對沖組合是基于同一時刻的期權價格和股票價格構建的.這樣，倘若短期內期權價格領先于股票價格且套利還未發(fā)生作用，研究Delta對沖組合的收益率就會導致對結果的誤讀.

基于此，本文引入代表信息傳遞效率的指標作為控制變量，以剔除Delta對沖組合盈虧中期權市場相對標的資產市場的高效率帶來的影響.依據Garleanu, Pedersen和Poteshman[20]以及Cremers和Weinbaum[21]，本文用相同在值程度的看漲看跌期權的隱含波動率之差作為信息傳遞效率的代理變量.其原理很簡單，如果期權市場滿足無套利的看漲看跌平價(put-call parity，PCP)公式，相同在值程度的看漲看跌期權的隱含波動率之差應該為0；而當信息到來時，期權價格有可能因為短期內套利無法實現而偏離PCP公式.本文用每個交易日不同到期日、不同行權價、相同在值程度的看漲看跌期權的隱含波動率之差的加權和來構造當天的信息傳遞效率因子

(16)

表3報告了這五個控制變量在全樣本期間以及非危機和危機期間的描述性統計.

表3　控制變量的描述性統計

3　實證結果

本文最關注的自變量是跳躍的兩個風險因子跳躍概率和跳躍大小的系數β1,β2，其是否顯著能說明三個問題：第一，在建模時，是否需要考慮跳躍風險；第二，跳躍發(fā)生時，那些對沖標的風險的期權投資者所得到的盈虧的符號和大??；第三，從全市場角度看，是否存在跳躍風險溢酬.

表4與表5列出了全樣本包絡回歸的結果，為了觀察跳躍對看漲期權和看跌期權的影響，本文將看漲期權和看跌期權分開進行回歸.

表4與表5的結果揭示了許多信息：

1)在表4對看漲期權的檢驗中，跳躍概率因子系數都顯著，且為正.本文認為，此處跳躍概率因子代表了收益率超出近期正常波動的概率，因此，其系數顯著為正可以通過期權的Gamma收益來解釋，即標的資產的變動越大，即使經過線性對沖后，期權中隱含的非線性項仍然能夠帶來正收益.

2)對于看漲期權而言，跳躍大小因子的符號為負，且大多顯著，即使系數不顯著的模型5和模型6其顯著性也接近10%.主要原因是跳躍方向大多為負向，因此，當市場上持有看漲期權的一方未能對這種負向的跳躍有足夠預期時，發(fā)生負向跳躍就仍然會使得Delta對沖后的看漲期權持有者獲得收益(跳躍大小大多為負，系數也為負，負負得正).綜合前一點，這表明在看漲期權中跳躍的風險溢酬不僅存在，還分為跳躍概率的風險溢酬和跳躍大小的風險溢酬.

表4　全樣本看漲期權的回歸結果 (2001-01-03～2011-04-28)

表5　全樣本看跌期權的回歸結果(2001-01-03～2008-03-30)

3)在對看跌期權的檢驗中，發(fā)現看跌期權的跳躍概率因子以及跳躍大小因子均不顯著，這是一個很有趣的現象.它表明了，看跌期權市場上的投資者實際上已經合理的預期到未來的跳躍概率和跳躍的大小，且平均而言購買看跌期權的投資者是風險中性的，不需要跳躍風險的補償.因此，在對沖標的資產后看跌期權的盈虧在市場上真實發(fā)生跳躍時，并沒有受到太大的影響.結合看漲期權的結論，認為看跌期權的投資者比看漲期權的投資者更加理性，因此，其價格反應更加靈敏.

4)在全樣本中，波動率風險因子的影響總是顯著為負的，其與跳躍因子之間的相互影響并不大，這意味著從總體上看，市場對于跳躍風險和波動率風險還是有所區(qū)分的.

5)在回歸中，大部分控制變量的系數都是顯著的，且這些系數的顯著水平大部分都在1%以上.這表明，Delta對沖策略下的期權復制收益的確會受到波動率風險、模型設定偏誤、信息傳遞效率、期權的到期時間和在值程度的影響.

4　穩(wěn)健性檢驗

為了進一步檢驗跳躍風險的影響及其穩(wěn)健性，在這部分本文將以貝爾斯登事件為分界點將樣本分為2008年3月之前和2008年3月之后.首先，表6與表7報告了模型1、模型2和模型6的看漲期權與看跌期權在兩個子樣本的結果.

可以看到，在子樣本回歸中，因子的影響方向都并沒有太大改變，但全樣本的顯著性卻可以由兩個子樣本的不同表現來進一步分析.由兩個樣本來看，看漲期權的跳躍大小因子的顯著性在子樣本2中更為顯著，而在子樣本1中的顯著性則不穩(wěn)定.這意味著看漲期權的投資者在子樣本2期間對于向下跳躍的預期不足，因此，向下跳躍給對沖后的看漲期權組合會帶來意外的Gamma收益.而在看跌期權方面，無論在哪個樣本都是不顯著的，這表明，看跌期權的投資者更可能是機構投資者，其對于市場的判斷能力在兩個樣本期是一致的.

結合全樣本的結果，對應地總結出三點：第一，跳躍風險溢酬只存在于看漲期權之中，而幾乎不存在于看跌期權之中.第二，從建模角度出發(fā)，看漲期權的復制收益受到跳躍的影響較大，其市場價格中含有跳躍風險溢酬，因此，研究跳躍風險溢酬更應該對看漲期權進行建模和實證；看跌期權的價格幾乎不受已實現跳躍的影響，因此，預測跳躍風險時更應當對看跌期權價格進行建模和實證.第三，對于投資者而言，看漲期權投資者對沖標的資產后的收益會受到已實現跳躍的影響，而看跌期權的投資者對沖標的資產后的收益則不受已實現跳躍的影響.

表6　子樣本1(非危機時段)實證結果(2001-01-03～2008-03-30)

5　結束語

本文的研究首先從理論推導出發(fā)，得出了期權復制收益在一般情況下的解析表達式，之后，依據該結論對美國股指期權中所隱含的跳躍風險和跳躍風險溢酬進行了深入的實證分析，結果發(fā)現：

第1，理論上說，跳躍風險的跳躍方向以及跳躍的風險溢酬都會對期權的復制收益的產生影響，因此，即使對沖了期權標的風險，標的資產的跳躍仍然可能給投資者的帶來沖擊.但跳躍風險溢酬最后是否顯著，仍然取決于模型中的參數是否顯著不為零，因此，跳躍風險溢酬最終的顯著性取決于實證的結果，這也暗示著跳躍風險溢酬可能由于市場和期權種類的改變而有所不同.

第2，在進行實證研究時，本文發(fā)現在美國S&P指數期權上，跳躍的概率和跳躍的大小對于不同期權的影響是不同的.對于看漲期權而言，跳躍概率因子的系數為正，而對于跳躍大小因子而言，其系數為負；但對于看跌期權而言，跳躍概率因子和跳躍大小因子的系數都不顯著.其背后原因極有可能是看漲期權和看跌期權的投資群體的差異所造成.

第3，美國股票市場上的跳躍風險溢酬主要呈現在看漲期權中，并且，已實現的跳躍，無論是跳躍的概率或是跳躍的大小給對沖后的看漲期權組合帶來的都是正收益，因此，在為S&P的看漲期權建模時，必須充分考慮跳躍風險及其風險溢酬的存在性和時變性.另一方面，看跌期權不受已實現跳躍的影響意味著其投資者對于已實現跳躍的預期更為充分，因此，在研究期權信息的預測能力時，更應該使用看跌期權中的信息.

[1]Bakshi G, Cao C, Chen Z. Empirical performance of alternative option pricing models[J]. The Journal of Finance, 1997, 52: 2003-2050.

[2]Bates D S. Post-'87 crash fears in the S&P 500 futures option market[J]. Journal of Econometrics, 2000, 94(1-2): 181-238.

[3]Bakshi G, Kapadia N. Delta hedged gains and the negative market volatility risk premium[J]. Review of Financial Studies, 2003, 16(2): 527-566.

[4]Pan J. The jump-risk premia implicit in options: Evidence from an integrated time-series study[J] . Journal of Financial Economics, 2002, 63(1): 3-50.

[5]Santa-Clara P, Yan S. Crashes, volatility, and the equity premium: Lessons from S&P 500 options[J]. The Review of Economics and Statistics, 2010, 92(2): 435-451.

[6]Broadie M, Chernov M, Johannes M. Model specification and risk premia: Evidence from futures options[J]. The Journal of Finance, 2007, 62(3): 1453-1490.

[7]Yan S. Jump risk, stock returns, and slope of implied volatility smile[J]. Journal of Financial Economics, 2011, 99(1): 216-233.

[8]王春峰， 姚寧， 房振明, 等. 中國股市已實現波動率的跳躍行為研究[J]. 系統工程, 2008, 26(2): 1-6.

Wang Chunfeng, Yao Ning, Fang Zhenming, et al. An empirical research on jump behavior of realized volatility in Chinese stock markets[J]. System Engineering, 2008, 26(2): 1-6. (in Chinese)

[9]馬成虎, 汪先珍. 中國股市價格的跳躍行為: 基于上證綜指高頻數據的參數分析[J]. 中國金融評論， 2009， (4): 31-66.

Ma Chenghu, Wang Xianzhen. The jump behavior of China’s stock market prices: An analysis with the high frequency data of the SSECI[J]. Chinese Review of Financial Studies, 2009, (4): 31-66. (in Chinese)

[10]陳浪南, 孫堅強. 股票市場資產收益的跳躍行為研究[J]. 經濟研究, 2010, 45(4): 54-66.

Chen Langnan, Sun Jianqiang. Jump dynamics in stock returns[J]. Economic Research Journal, 2010, 45(4): 54-66. ( in Chinese)

[11]左浩苗, 劉振濤. 跳躍風險度量及其在風險—收益關系檢驗中的應用[J]. 金融研究, 2011， (10) : 170-184.

Zuo Haomiao, Liu Zhentao. Jump risk measurement and its application in the test of the relationship between risk and return[J]. Journal of Financial Research, 2011, (10): 170-184. (in Chinese)

[12]陳蓉， 方昆明. 波動率風險溢酬: 時變特征及影響因素[J]. 系統工程理論與實踐， 2011， (4): 761-770.

Chen Rong, Fang Kunming. Volatility risk premium in Hong Kong stock market[J]. Systems Engineering: Theory & Practice, 2011, (4): 761-770. (in Chinese)

[13]Duffie D, Pan J, Singleton K. Transform analysis and asset pricing for affine jump diffusions[J]. Econometrica, 2000, 68(6): 1343-1376.

[14]Jackwerth J C, Rubinstein M. Recovering probability distributions from option prices[J]. The Journal of Finance, 1996, 51(5): 1611-1631.

[15]Buraschi A, Jackwerth J. The price of a smile: Hedging and spanning in option markets[J]. Review of Financial Studies, 2001, 14(2): 495-527.

[16]Lee S S, Mykland P A. Jumps in financial markets: A new nonparametric test and jump dynamics[J]. Review of Financial Studies, 2008, 21(6): 2535-2563.

[17]Barndorff-Nielsen O E, Shephard N. Econometrics of testing for jumps in financial economics using bipower variation[J]. Journal of Financial Econometrics， 2006, 4(1): 1-30.

[18]Jiang G J, Oomen R C A. Testing for jumps when asset prices are observed with noise[J]. Journal of Econometrics, 2008, 144(2): 352-370.

[19]鄭振龍， 劉楊樹. 衍生品定價: 模型風險及其影響[J]. 金融研究， 2010， (2): 112-131.

Zheng Zhenlong, Liu Yangshu. Model risk and its effects on pricing derivatives[J]. Journal of Financial Research, 2010, (2): 112-131. (in Chinese)

[20]Garleanu N, Pedersen L H, Poteshman A M. Demand-based option pricing[J]. Review of Financial Studies, 2009, 22(10): 4259-4299.

[21]Cremers M, Weinbaum D. Deviations from put-call parity and stock return predictability[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 2010, 45(2): 335-367.

How does jump risk affect the Delta hedge gain? Evidence from multi-dimension jump diffusion model

LIUYang-shu1,ZHENGZhen-long2,CHENRong2

1. Department of Finance, School of Management, Xiamen University, Xiamen 361005, China;2. Departmetn of Finance, School of Economics, Xiamen University, Xiamen 361005, China

This paper derives the stochastic process of Delta hedge gain under the general jump diffusion process. Theoretically, Delta hedge gain contains four components, including jump risk and risk premium of jump risk in our assumption. The theoretical result is tested with SPX option data. The empirical result indicates that complex roles jump affects option prices. The result is significant when the model risk and market efficiency effects are controlled. It is found that in different financial environments, different types of options are affected differently by the jumps.

jump diffusion process; Delta hedge gain; jump risk; risk premium of jump risk

① 2014-06-20；

2014-09-30.

國家自然科學基金資助青年項目(71101121； 71401144)； 國家自然科學基金資助項目(71073023)； 教育部人文社科研究青年基金資助項目(11YJC790014); 福建省自然科學基金項目(2010J0619).

劉楊樹(1984—)， 男， 福建福州人， 博士， 助理教授. Email: ysliu@xmu.edu.cn

F832.5

A

1007-9807(2016)06-0074-13